专题2.2一元二次方程的解法：直接开平方法（重难点培优）-【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题（解析版）【浙教版】

【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【浙教版】专题2.2一元二次方程的解法：直接开平方法（重难点培优）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022秋•思明区校级月考）一元二次方程x2＝4的解是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．无解【分析】根据直接开平方法解一元二次方程即可求解．【解答】解：x2＝4，解得：x＝±2，故选：C．2．（2021秋•丹凤县期末）方程x2﹣4＝0的解为（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝2，x2＝﹣2【分析】利用直接开平方法求解即可．【解答】解：∵x2﹣4＝0，∴x2＝4，∴x1＝2，x2＝﹣2，故选：D．3．（2022秋•顺平县期中）一元二次方程x2+1＝0的根是（）A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝﹣1 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．无根【分析】根据根的判别式即可判定方程无实数根．【解答】解：x2+1＝0，∵a＝1，b＝0，c＝1，∴Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，故一元二次方程x2+1＝0没有实数根．故选：D．4．（2022秋•江都区期中）若x＝1是方程ax2﹣2＝1的解，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．3【分析】将x＝1代入原方程即可计算出a的值．【解答】解：将x＝1代入ax2﹣2＝1得：a﹣2＝1，解得a＝3．故选：D．5．（2022秋•建华区校级期中）对于方程37（x﹣2）2＝42的两根，下列判断正确的是（）A．一根小于1，另一根大于3 B．一根小于﹣2，另一根大于2 C．两根都小于0 D．两根都大于2【分析】先变形得到（x﹣2）2=4237，再利用直接开平方法解方程得到x1＝2+4237，x2＝2-42【解答】解：37（x﹣2）2＝42，（x﹣2）2=42x﹣2＝±4237解得x1＝2+4237，x2＝2∵1＜4237∴x1＞3，x2＜1．故选：A．6．（2022秋•奉贤区校级期中）要使方程ax2+b＝0有实数根，则条件是（）A．a≠0，b＞0 B．a≠0，b＜0 C．a≠0，a，b异号或b＝0 D．a≠0，b≤0【分析】由于ax2+b＝0可以变为ax2＝﹣b，若方程有解，那么a≠0，并且ab≤0，由此即可确定方程ax2+b＝0有实数根的条件．【解答】解：∵ax2+b＝0，∴ax2＝﹣b，若方程有解，∴a≠0，并且ab≤0，∴a≠0，a，b异号或b＝0．故选：C．7．（2021秋•防城港期末）如图是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为（）A．±2 B．±3 C．3或﹣1 D．2或﹣1【分析】利用运算程序得到2（x﹣1）2＝8，利用直接开平方法解方程即可．【解答】解：根据题意2（x﹣1）2＝8，∴（x﹣1）2＝4，∴x﹣1＝±2，∴x1＝3，x2＝﹣1．故选：C．8．（2022秋•南召县月考）关于一元二次方程2022（x﹣2）2＝2023的两个根判断正确的是（）A．一根小于1，另一根大于3 B．一根小于﹣2，另一根大于2 C．两根都小于0 D．两根都小于2【分析】先把方程变形为（x﹣2）2=20232022，再利用直接开平方法解方程得到x1＝2+20232022，x2＝2-【解答】解：2022（x﹣2）2＝2023，（x﹣2）2=2023x﹣2＝±20232022所以x1＝2+20232022，x2＝2∵20232022＞∴方程的一根小于1，另一根大于3．故选：A．9．（2022秋•路北区校级月考）关于x的方程（x﹣2）2＝1﹣m无实数根，那么m满足的条件是（）A．m＞2 B．m＜2 C．m＞1 D．m＜1【分析】方程左边是一个式的平方，根据平方的非负性，得关于m的不等式，求解不等式即可．【解答】解：当1﹣m＜0时，方程无解．即m＞1．故选：C．10．（2022秋•仪征市期中）关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x﹣m+2）2+b＝0的解是（）A．x1＝0，x2＝﹣3 B．x1＝0，x2＝3 C．x1＝﹣4，x2＝﹣1 D．无法求解【分析】把方程a（x﹣m+2）2+b＝0变形为a[（﹣x﹣2）+m]2+b＝0，所以可以把方程a（x﹣m+2）2+b＝0看作关于（﹣x﹣2）的一元二次方程，根据题意得﹣x﹣2＝﹣2或﹣x﹣2＝1，然后解一次方程即可．【解答】解：把方程a（x﹣m+2）2+b＝0变形为a[（﹣x﹣2）+m]2+b＝0，则方程a（x﹣m+2）2+b＝0看作关于（﹣x﹣2）的一元二次方程，∵a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，∴﹣x﹣2＝﹣2或﹣x﹣2＝1，解得x1＝0，x2＝﹣3，即方程a（x﹣m+2）2+b＝0的解是x1＝0，x2＝﹣3．故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋•青浦区校级期中）解方程：（x﹣2）2﹣9＝0的根是x1＝5，x2＝﹣1．【分析】移项，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：移项得：（x﹣2）2＝9，开方得：x﹣2＝±3，解得：x1＝5，x2＝﹣1．故答案为：x1＝5，x2＝﹣1．12．（2022春•南湖区校级期中）若关于x的一元二次方程x2＝a的两个根分别是2m﹣1与m﹣5，则a＝9．【分析】利用直接开平方法解方程x2＝a得到方程的两根互为相反数，则2m﹣1+m﹣5＝0，则可计算出m＝3，再计算2m﹣1的平方即可．【解答】解：根据题意得2m﹣1+m﹣5＝0，解得m＝2，∴2m﹣1＝3，∴a＝32＝9．故答案为：9．13．（2022秋•江阴市校级月考）给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y′＝nxn﹣1．例如：若函数y＝x5，则有y′＝5x4．已知函数y＝x3，y′＝12，则x的值是±2．【分析】根据定义的新运算可得3x2＝12，然后再利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答．【解答】解：∵y＝x3，y′＝12，∴3x2＝12，x2＝4，x＝±2，故答案为：±2．14．（2022秋•溧阳市期中）定义一种运算“⊕”，其规则为a⊕b＝a2﹣b2+5，则方程x⊕3＝0的解为x1＝2，x2＝﹣2．【分析】先根据新定义得到x2﹣32+5＝0，再移项得x2＝4，然后利用直接开平方法求解．【解答】解：∵x⊕3＝0，∴x2﹣32+5＝0，∴x2＝4，所以x1＝2，x2＝﹣2．故答案为：x1＝2，x2＝﹣2．15．（2022秋•尤溪县期中）对于解一元二次方程（x+3）2＝4，通过降次转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+3＝2，则另一个一元一次方程是x+3＝﹣2．【分析】利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答．【解答】解：（x+3）2＝4，∴x+3＝±2，∴x+3＝2或x+3＝﹣2，故答案为：x+3＝﹣2．16．（2022秋•梁溪区校级期中）已知关于x的方程a（x+m）2+p＝0（a、m、p为常数，a≠0）的解是x1＝1，x2＝﹣3，那么方程a（x+m+3）2+p＝0的解为x1＝﹣2，x2＝﹣6．【分析】把方程a（x+m+3）2+p＝0看作关于x+3的一元二次方程，则利用关于x的方程a（x+m）2+p＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，所以x+3＝1或x+3＝﹣3，然后解一次方程即可．【解答】解：把方程a（x+m+3）2+p＝0看作关于x+3的一元二次方程，∵关于x的方程a（x+m）2+p＝0（a、m、p为常数，a≠0）的解是x1＝1，x2＝﹣3，∴方程a（x+m+3）2+p＝0的解满足x+3＝1或x+3＝﹣3，解得x1＝﹣2，x2＝﹣6，即方程a（x+m+3）2+p＝0的解为x1＝﹣2，x2＝﹣6．故答案为：x1＝﹣2，x2＝﹣6．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解下列方程：（1）x2﹣1＝11；（2）16x2＝5；（3）0.2x2-35（4）9﹣（x﹣1）2＝0．【分析】根据直接开平方法解一元二次方程的步骤依次计算可得．【解答】解：（1）∵x2﹣1＝11，∴x2＝12，则x1＝23，x2＝﹣23；（2）∵16x2＝5，∴x2=5则x1=54，x2（3）∵0.2x2-35∴0.2x2=3则x2＝3，∴x1=3，x2=-（4）∵9﹣（x﹣1）2＝0，∴（x﹣1）2＝9，则x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，∴x1＝4，x2＝﹣2．18．用直接开方法解下列方程：（1）（x+5）（x-5）＝（2）4（2y﹣3）2＝9（y﹣1）2．【分析】（1）先将方程整理为x2＝13，再直接开平方即可得；（2）直接开平方可得2（2y﹣3）＝3（y﹣1）或2（2y﹣3）＝﹣3（y﹣1），再分别求解即可得．【解答】解：（1）∵（x+5）（x-5）＝∴x2﹣5＝8，则x2＝13，∴x＝±13，即x1=13，x2=-（2）∵4（2y﹣3）2＝9（y﹣1）2，∴2（2y﹣3）＝3（y﹣1）或2（2y﹣3）＝﹣3（y﹣1），解得：y1＝3，y219．用直接开平方法解方程：（1）（2x-2）2＝6（2）3（x﹣1）2﹣6＝0；（3）（x+3）（x﹣3）＝9；（4）（x+2）2＝（1+2）【分析】（1）利用直接开平方法求解可得；（2）利用直接开平方法求解可得；（3）先整理成x2＝18，再直接开平方可得；（4）利用直接开平方法求解可得．【解答】解：（1）∵（2x-2）2＝6∴2x-2＝±6解得x1=2（2）∵3（x﹣1）2﹣6＝0，∴3（x﹣1）2＝6，则（x﹣1）2＝2，∴x﹣1=±2∴x1=1+2（3）∵（x+3）（x﹣3）＝9，∴x2﹣9＝9，则x2＝18，∴x=±32，即x1＝32，x2＝﹣32（4）∵（x+2）2＝（1+2）∴x+2=1+2或x+解得x1＝1，x220．在实数范围内定义一种新运算“※”，其规则为a※b＝（a﹣1）2﹣b2．根据这个规则，求方程（x+3）※5＝0的解．【分析】根据新定义列出方程，利用直接开平方法解出方程．【解答】解：由题意得，方程（x+3）※5＝0，化为（x+3﹣1）2﹣52＝0，整理得，（x+2）2＝25，则x+2＝±5，解得，x1＝3，x2＝﹣7．21．用直接开平方法解一元二次方程4（2x﹣1）2﹣25（x+1）2＝0．解：移项，得4（2x﹣1）2＝25（x+1）2.①直接开平方，得2（2x﹣1）＝5（x+1）．②∴x＝﹣7．③上述解题过程有无错误？若有，错在第②步，原因是直接开平方求的是平方根，而不是算术平方根，请写出正确的解答过程．【分析】首先需要对4（2x﹣1）2﹣25（x+1）2＝0移项；通过移项可得4（2x﹣1）2＝25（x+1）2，对方程的两边直接开平方还可得到2（2x﹣1）＝±5（x+1）；再对方程2（2x﹣1）＝5（x+1）和方程2（2x﹣1）＝﹣5（x+1）分别求解，即可确定原方程的解，进而找到过程中错误之处．【解答】解：所给解题过程有错误，错在第②步，原因是直接开平方求的是平方根，而不是算术平方根．正确的解答过程如下：移项，得4（2x﹣1）2＝25（x+1）2，直接开平方，得2（2x﹣1）＝±5（x+1），即2（2x﹣1）＝5（x+1）或2（2x﹣1）＝﹣5（x+1），所以x1＝﹣7，x2=-1故答案为：②，直接开平方求的是平方根，而不是算术平方根．22．（2022秋•社旗县期中）填空：解方程：100（1﹣x）2＝81①你选用的解法是直接开平方法．②直接写出该方程的解是x1＝0.1，x2＝1.9．③请你结合生活经验，设计一个问题，使它能利用建立方程模型“100（1﹣x）2＝81”来解决．你设计的问题是：某种药品的原价是100元，经过两次降价后的价格是81元，那么平均每次降价的百分率是多少？．【分析】①利用解一元二次方程﹣直接开平方法，即可解答；②利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答；③根据生活经验，设计一个问题，即可解答．【解答】解：①我选用的解法是直接开平方法，故答案为：直接开平方法；②100（1﹣x）2＝81，（1﹣x）2＝0.81，1﹣x＝±0.9，1﹣x＝0.9或1﹣x＝﹣0.9，x1＝0.1，x2＝1.9，故答案为：x1＝0.1，x2＝1.9；③我设计的问题是：某种药品的原价是100元，经过两次降价后的价格是81元，那么平均每次降价的百分率是多少？故答案为：某种药品的原价是