13.2.4 平面与平面的位置关系（十一大题型）-2024学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）（解析版）

第第页13.2.4平面与平面的位置关系课程标准学习目标（1）能用自己的语言解释平面与平面平行的判定定理，并能用三种语言进行准确描述；会用定义和判定定理判定平面与平面平行．（2）能用自己的语言解释平面与平面平行的性质定理；能用平面与平面平行的性质定理解决问题．（3）能够在简单问题中识别应用定理的条件，用定理判定平面与平面垂直，证明直线与平面垂直．（4）能够在较复杂的问题情境中识别、应用判定定理和性质定理的条件，借助几何图形，综合运用定理解决空间中的垂直关系．能够在定理应用的过程中体会空间图形问题与平面图形问题的相互转化，感悟几何的公理化思想．（1）了解平面与平面的位置关系，掌握面面平行的判定定理、性质定理.（2）会利用“线线平行”“线面平行”及“面面平行”相互之间的转化，来证明“线线平行”“线面平行”及“面面平行”等问题．（3）理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角.（4）掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直.（5）掌握面面垂直的性质定理，并能利用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题．知识点01平面与平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点两平面平行无公共点两平面相交有无数个公共点，这些点在一条直线上【即学即练1】（2024·全国·高一专题练习）平面上有三个不共线点到平面距离相等，则平面与平面的位置关系是（

）A．相交 B．平行 C．垂直 D．相交或平行【答案】D【解析】如图1，若，则平面上任一点到平面距离相等，故平面上一定存在三个不共线点到平面距离相等；如图2，若与相交，则平面上一定存在位于异侧的三个不共线点到平面距离相等；故平面与平面的位置关系是相交或平行.故选：D.知识点02两平面平行的判定文字语言：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．图形语言：符号语言：若、，，且、，则．知识点诠释：（1）定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的．（2）定理充分体现了等价转化的思想，即把面面平行转化为线面平行，可概述为：线面平行面面平行．判定平面与平面平行的常用方法1、利用定义：证明两个平面没有公共点，有时直接证明非常困难，往往采用反证法．2、利用判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，于是这两个平面平行，或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行．3、平面平行的传递性：即若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面互相平行．【即学即练2】（2024·高三·全国·专题练习）如图，几何体为直四棱柱截去一个角所得，四边形是正方形，，，为的中点．证明：平面平面；【解析】连接，如图所示：依题意，，则四边形是平行四边形，于是，而平面，平面，因此平面，同理平面，∵，平面，∴平面平面．知识点03平面和平面平行的性质文字语言：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．符号语言：若，，，则．图形语言：知识点诠释：（1）面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理．（2）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线（否则将导致这两个平面有公共点）．空间平行关系的注意事项直线与平面平行，平面与平面平行的判定定理、性质定理，揭示了线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系，具体转化过程如图所示．【即学即练3】（2024·高三·全国·专题练习）如图，在多面体中，面是正方形，平面，平面平面，四点共面，，．求证：.【解析】因为平面平面，四点共面，且平面平面，平面平面，所以．知识点04二面角（1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面．图中的二面角可记作：二面角或或．（2）二面角的平面角：如图，在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直与直线的射线，，则射线和构成的叫做二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫做直二面角．作二面角的三种常用方法（1）定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则为二面角的平面角．（2）垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，为二面角的平面角．（3）垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点向另一个平面作垂线，垂足为，由点向二面角的棱作垂线，垂足为，连接，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角．【即学即练4】（2024·高二·全国·专题练习）四边形是正方形，平面，且．求：

(1)二面角的平面角的度数；(2)二面角的平面角的度数；(3)二面角的平面角的度数．【解析】（1）平面，平面，，又四边形为正方形，，平面，平面，又平面，平面平面，二面角的平面角的度数为；（2）平面，平面，平面，，．为二面角的平面角．又由题意可得，二面角的平面角的度数为；（3）平面，平面，平面，，．为二面角的平面角．又四边形为正方形，，即二面角的平面角的度数为.知识点05平面与平面垂直的定义与判定1、平面与平面垂直定义定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直．表示方法：平面与垂直，记作．画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直．如图：2、平面与平面垂直的判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．符号语言：图形语言：特征：线面垂直面面垂直知识点诠释：平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”．因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题．以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面内的一条直线垂直即可．【即学即练5】（2024·高二·上海崇明·期中）在正方体中．求证：(1)直线平面；(2)平面平面．【解析】（1）在正方体中，平面，平面，则，而，平面，于是平面，又平面，则，同理，而平面，所以直线平面.（2）在正方体中，，平面，而平面，则，又，平面，因此平面，而平面，所以平面平面.知识点06平面与平面垂直的性质1、性质定理文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．符号语言：图形语言：知识点诠释：面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到．这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法．2、平面与平面垂直性质定理的推论如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．垂直关系的综合转化线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示：【即学即练6】（2024·高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，，平面平面.求证：面；

【解析】取的中点，连接，，因为，，所以四边形为平行四边形，则，又，所以，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，即，且，平面，所以平面.题型一：平面与平面的位置关系【典例1-1】（2024·高一·全国·课时练习）已知，，且与确定的平面为，则与的位置关系是()A．相交 B．平行C．相交或平行 D．不确定【答案】B【解析】因为，所以与确定一个平面，又因为，，,所以.故选：B【典例1-2】（2024·高一·全国·课时练习）已知三条互相平行的直线，则两个平面的位置关系是（

）A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行或相交【答案】D【解析】如图，由题意易得：可能平行，也可能相交，故选：D.【变式1-1】（2024·高一课时练习）已知平面，直线，则直线a，b的位置关系为（

）A．相交 B．平行 C．异面 D．平行或异面【答案】D【解析】平面，直线，如图在正方体中，令平面，平面，当时，显然有，当时，显然有与异面，所以直线a，b的位置关系为平行或异面，故选：D【变式1-2】（2024·全国·高一专题练习）设为平面，点，则下列结论正确的是（

）A．过点有且只有一条直线与平行 B．过点没有直线与平行C．过点有且只有一个平面与平行 D．过点有无数个平面与平行【答案】C【解析】因为点，故过点有无数条直线与平行，故错误；过点有且只有一个平面与平行，故正确，错误.故选：.【方法技巧与总结】（平面与平面位置关系的解题思路）判断线线、线面、面面的位置关系，要牢牢地抓住其特征与定义、要有画图的意识，结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题，作出判断．常借助长方体模型进行判断．题型二：平面与平面平行的判定定理的理解【典例2-1】（2024·全国·高一专题练习）已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面．①a//c，b//c⇒a//b；②a//β，b//β⇒a//b；③a//c，c//α⇒a//α；④a//β，a//α⇒α//β；⑤a⊄α，b⊂α，a//b⇒a//α.其中正确的命题是（）A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤【答案】A【解析】对于①，由平行的传递性公理，则正确；对于②，由，，则共面或异面，故错误；对于③，由，，则或，故错误；对于④，由，，则平行或相交，故错误；对于⑤，由，，，根据线面平行判定定理，可得，故正确.故选：A.【典例2-2】（2024·全国·高一专题练习）在下列判断两个平面与平行的4个命题中，真命题的个数是（

）．①都垂直于平面r，那么②都平行于平面r，那么③都垂直于直线l，那么④如果l、m是两条异面直线，且，，，，那么A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】如图，易知在正方体中相邻两个侧面都垂直于底面，故①错误；由平面平行的传递性可知②正确；由线面垂直的性质可知③正确；过直线l做平面与分别交于，过直线m做平面与分别交于，因为，，所以，所以因为，，所以同理，又l、m是两条异面直线，所以相交，且，所以，故④正确.故选：D【变式2-1】（2024·全国·高一专题练习）下列条件中能推出平面平面的是（

）A．存在一条直线，，B．存在一条直线，，C．存在两条平行直线，，，，，D．存在两条异面直线，，，，，【答案】D【解析】A.如图所示：存在一条直线，，，但平面与平面相交，故错误；B.如图所示：存在一条直线，，，但平面与平面相交，故错误；C.如图所示：存在两条平行直线，，，，，，但平面与平面相交，故错误；D.如图所示：在平面内过b上一点作，则，又，且，所以，故正确；故选：D题型三：平面与平面平行的判定【典例3-1】（2024·高二·上海长宁·期末）如图，已知正四棱柱，(1)求证：平面；(2)求证：平面平面【解析】（1）因为正四棱柱，所以平面，且四边形为正方形，所以，又因为平面，所以，因为，且平面，所以平面.（2）因为，，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面，因为，，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面，又因为，且平面，所以平面平面.【典例3-2】（2024·高二·广东·学业考试）如图，在三棱锥中，、、、分别是、、、的中点，且，．(1)证明：；(2)证明：平面平面.【解析】（1）连接，，，是的中点，，，又平面，平面，，平面，又平面，．（2），，分别是，，的中点，，，又平面，平面，平面，同理可证平面，又，平面，平面，平面平面．【变式3-1】（2024·高一·辽宁阜新·期末）已知在正方体中，M、E、F、N分别是、、、的中点.求证：(1)E、F、D、B四点共面(2)平面平面.【解析】（1）证明：分别是、的中点，所以，又，所以四边形是平行四边形，.，即确定一个平面，故E、F、D、B四点共面.（2）（2）M、N分别是、的中点，.又平面，平面，平面.连接，如图所示，则，.四边形是平行四边形..又平面，平面.平面.都在平面,且,所以平面平面.【变式3-2】（2024·高三·全国·专题练习）如图，在正方体中，E，F分别为，中点，G，H分别为，中点，O为平面中心．证明：平面‖平面；【解析】连接，，∵为正方体，为平面的中心，∴‖，‖，，为中点，∵为中点，为中点，∴‖‖，，∴四边形为平行四边形，‖，∵分别为中点，分别为中点，∴‖，‖，∴‖，∵平面，平面，∴‖平面，∥平面，∵，平面，∴平面∥平面．题型四：补全平面与平面平行的条件【典例4-1】（2024·高一·陕西铜川·期中）如图所示，底面为正方形的四棱锥中，，，，与相交于点O，E为中点．

(1)求证：平面；(2)上是否存在点F，使平面平面．若存在，请指出并给予证明；若不存在，请说明理由．【解析】（1）因为分别是的中点，所以，且平面，平面，所以平面；（2）存在，点是的中点，此时，连结因为分别是的中点，所以，平面，平面，所以平面，由（1）可知，平面，且，且平面，所以平面平面，所以上存在中点，使平面平面.【典例4-2】（2024·高一·福建漳州·期中）如图，在三棱柱中，点分别在线段上，且满足，.(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在点，使得平面平面.若存在，求出；若不存在，请说明理由.【解析】（1），，即，，又，，平面，平面，平面.（2）存在点，，使得平面平面，证明如下：当时，连接，，，，平面，平面，平面，由（1）知：，又平面，平面，平面，又，平面，平面平面，存在点，当时，平面平面.【变式4-1】（2024·高一·江苏南京·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，交于点，是上一点且平面

(1)证明：为的中点；(2)在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，请给出点的位置，并证明，若不存在，请说明理由.【解析】（1）连接，设，连接，因为平面，平面，平面平面，所以，又底面为平行四边形，所以为的中点，所以为的中点．（2）存在，为中点时，平面平面，因为为中点，为的中点，所以，由于，所以，由于平面，平面，所以平面，同理可证得平面，由于，平面，所以平面平面.【变式4-2】（2024·高一·湖南长沙·期中）如图：在正方体中，M为的中点.

(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在一点N，使得平面平面，说明理由.【解析】（1）连接BD交AC于O，连接MO.∵为正方体，底面为正方形，∴O为BD的中点.∵M为的中点，在中，OM是的中位线，所以.又平面，平面，∴平面；（2）上的中点N即满足平面平面，∵N为的中点，M为的中点，∴，且，∴四边形为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面；由（1）知平面，又∵，∴平面平面.题型五：平面与平面平行的性质【典例5-1】（2024·高三·全国·专题练习）如图，平面ADE，．求证：．【解析】∵，平面ADE，平面ADE，∴平面ADE．∵平面ADE，，平面BCF，∴平面平面．又平面平面，平面平面，∴．【典例5-2】（2024·高二·黑龙江鸡西·期末）两个边长为2的正方形和各与对方所在平面垂直，、分别是对角线、上的点，且.

(1)求证：平面；(2)设，，求与的函数关系式；(3)求、两点间的最短距离.【解析】（1）过点作，交于点，连接、，因为，所以，由已知可得，，，所以，，，所以，，所以，，又，所以，因为平面，，平面，所以，平面，同理可得，平面，因为平面，平面，，所以，平面平面，因为平面，所以直线平面.（2）由（1）可知，，，所以，，所以，，同理可得，，又平面平面，平面平面，，平面，所以，平面，因为平面，所以，因为，，所以，所以，是直角三角形，所以，，即；（3）由，且，所以当，即、分别为线段、中点时，有最小值，、两点间的最短距离为.【变式5-1】（2024·高三·河北·专题练习）如图所示正四棱锥，，P为侧棱上的点．且，求：(1)正四棱锥的表面积；(2)侧棱上是否存在一点E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．【解析】（1）正四棱锥中，，，侧面的高，正四棱锥的表面积．（2）在侧棱上存在一点，使平面，满足．理由如下：取中点为，因为，则，过作的平行线交于，连接，．在中，有，平面，平面，平面，由于，．又由于，平面，平面，平面，，平面平面，得平面，【变式5-2】（2024·高一·浙江嘉兴·期中）如图所示，在四棱锥中，四边形ABCD是梯形，，，E是PD的中点.

(1)求证：平面PAB；(2)若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点，使平面PAB？说明理由.【解析】（1）如下图，取中点，连接，由E是PD的中点，所以且，因为，且，所以，所以四边形为平行四边形，故，而面，面，则面.（2）线段上存在点N，使得平面.理由：取中点N，连接，，∵E，N分别为，的中点，∴，∵平面，平面，∴平面.由（1）知：平面，又，平面，∴平面平面.又M是上的动点，平面，∴平面PAB∴线段存在点N，使得平面，此时N为中点.【方法技巧与总结】（性质定理应用的注意事项）面面平行的性质定理是由面面平行得到线线平行．证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，所以构造三个平面：即两个平行平面，一个经过两直线的平面，有时需要添加辅助面．题型六：由面面平行证线面平行【典例6-1】（2024·高一·浙江杭州·期末）如图，点S是所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且．求证：平面．

【解析】在上取，使得，则，因为平面，平面，所以平面，因为，所以，则，又中，，故，因为平面，平面，所以平面，因为平面，平面，，所以平面平面，因为平面，所以平面.【典例6-2】（2024·高一·河南郑州·期中）如图，在长方体中，E，M，N分别是的中点，求证：平面.

【解析】如图，取CD的中点K，连接MK，NK，∵M，K分别是AE，CD的中点，∴，又平面，平面，∴平面，又∵是的中点，K分别是CD的中点，∴，又平面，平面，∴平面，又平面MNK，平面MNK，，∴平面平面，又平面MNK，∴平面.【变式6-1】（2024·高一·天津北辰·期中）已知在直三棱柱中，，且分别是，的中点.证明：平面.

【解析】设是的中点，连接和，因为是直三棱柱，所以四边形是矩形，因为是的中点，所以，而平面，平面，所以平面，因为是的中点，所以，而平面，平面，所以平面，而平面，所以平面平面，而平面，所以平面.题型七：面面垂直的概念与定理的理解【典例7-1】（2024·高一·内蒙古赤峰·期末）设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列结论中正确的是（

）①若，，且，则；

②若，，且，则；③若，，且，则；

④若，，且，则：A．①②③ B．①③④ C．②④ D．③④【答案】D【解析】对于①，如图1，满足，，且，但不平行，①错误；对于②，如图2，满足，，且，则不垂直，②错误；对于③，因为，且，所以，又，故，③正确；对于④，因为，，所以直线之间的夹角即为平面之间的夹角，又，故平面之间的夹角为直角，则，④正确.故选：D【典例7-2】（2024·高二·湖南长沙·开学考试）已知a，b表示不同的直线，，，表示不重合的平面，则下列命题中正确的是（

）A．若，，，则B．若，a垂直于内两条直线，则C．若，，，则D．若，，，则【答案】D【解析】对A，，，，如图，，显然，不一垂直，故A错误；对B，a垂直于内两条直线，若两条直线不相交，不能推出，由面面垂直的判定定理，不能推出，故B错误；对C，，，，则可能垂直、平行、相交不垂直，如图满足条件，但，故C错误；对D，，可推出，由，可推出，故D正确.故选：D【变式7-1】（2024·高二·四川资阳·期末）设是直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若∥，∥，则∥ B．若∥，，则C．若，则 D．若，∥，则【答案】B【解析】设是直线，，是两个不同的平面，对于A，若，，则与相交或平行，故A错误；对于B，若，则内存在直线，因为，所以，由面面垂直的判定定理得，故B正确；对于C，若，，则与平行或，故C错误；对于D，若，，则与相交、平行或，故D错误．故选：B．【变式7-2】（2024·高一·陕西宝鸡·期末）已知，是不同的平面，，是不同的直线，则下列命题不正确的是（

）A．若，，，则B．若，，则，C．若，，则D．若，，则【答案】B【解析】对于A选项，由，可得，又因，故，故A项正确；对于B选项，由，，可知有三种情况：①，②，③，，故B项错误；对于C选项，显然正确；对于D选项，显然正确.故选：B.【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）在正三棱柱中，E，F分别为的中点，则下列结论错误的是（

）A．平面平面 B．C．平面平面 D．平面【答案】B【解析】对于A中，如图所示，由正三棱柱的性质知平面，为正三角形，因为是的中点，平面，所以，，又因为，平面，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，所以A正确；对于B中，由A知，平面，所以，假设，连接，则平面，因为平面FEC，所以，很显然不与垂直，所以不成立，所以B错误；对于C中，由棱柱的性质知，，且，因为分别为，的中点，所以，且，所以四边形和均为平行四边形，所以，且平面，平面，平面，平面，所以平面，平面，因为，所以平面平面，所以C正确；对于D中，因为平面，所以平面，所以D正确．故选：B.题型八：面面垂直判定定理的应用【典例8-1】（2024·高一·全国·专题练习）如图，在平面四边形中，为的中点，，且.将此平面四边形沿折成直二面角，连接.证明：平面平面.【解析】为直二面角的平面角，平面平面，又平面平面，且平面，平面，又平面，，又在平面四边形中，由题意可知，，，又，平面平面，平面，又平面，平面平面.【典例8-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知平面五边形如图1所示，其中，是正三角形．现将四边形沿翻折，使得，得到的图形如图2所示．求证：平面平面．【解析】如图，取的中点，连接，因为是等边三角形，为的中点，所以，因为，所以，因为，，，所以四边形为矩形，所以，又因为，所以，即，因为，，，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面．【变式8-1】（2024·高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为2的正方形，．证明：平面平面；【解析】连接，与相交于点，连接，四边形ABCD是边长为2的正方形，则，为和的中点，，则，平面，，平面，又因为平面，所以平面平面.【变式8-2】（2024·高一·河南洛阳·阶段练习）在四棱锥中，底面是正方形，平面．

(1)求证：平面⊥平面；(2)求证：平面⊥平面．【解析】（1）因为平面，平面，所以，又因为底面是正方形，所以，又因为平面，所以平面，又平面，所以平面⊥平面.（2）因为平面，平面，所以，又因为底面是正方形，所以，又因为平面，所以平面，又平面，所以平面⊥平面.【方法技巧与总结】（判定两个平面垂直的常用方法）（1）定义法：即说明两个平面所成的二面角是直二面角；（2）判定定理法：其关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；（3）性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．题型九：求二面角【典例9-1】（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知平面与底面所成角为，且．(1)求证：平面；(2)求二面角的大小．【解析】（1）因为平面，平面，所以，又由已知得，，则，即，又平面，所以平面；（2）因为平面，平面，所以，所以为二面角的平面角，因为平面与底面所成角为，所以为与底面所成角，由，得，在中，，则，所以二面角的大小为．【典例9-2】（2024·高三·甘肃·阶段练习）如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，．

(1)证明：与平面不垂直；(2)证明：平面平面；(3)如果，二面角等于，求二面角的大小．【解析】（1）若平面，则，由已知，得，这与矛盾，所以与平面不垂直．（2）取、的中点、，连接、、，由，，得，，为直角梯形的中位线，，又，平面，由平面，得，又且梯形两腰、必交，平面,又平面，平面平面,（3）由（2）及二面角的定义知为二面角的平面角,作于，连，由于平面,平面,故,,平面,故平面平面,所以故为二面角的平面角,即，由已知，得，又．，．，故二面角的大小为．【变式9-1】（2024·高二·上海普陀·期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，，E、F分别为棱、的中点．(1)求证：直线平面；(2)若直线与平面所成的角为，直线与平面所成角为，求二面角的大小．【解析】（1）∵E，F分别是棱、的中点，∴在中，，∵平面，平面，∴直线平面；（2）∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面，∴是直线与平面所成角，∵直线与平面所成角为，∴，∴，∵平面，，⊂平面，∴，，∵，，，平面，∴平面，∴是直线与平面所成角，∵直线与平面所成角为，∴，∴，，设，则，，，，∴为等腰直角三角形，，∵，，∴是二面角的平面角，∴二面角的大小为．【变式9-2】（2024·高一·山东青岛·阶段练习）如图，将边长为的正方形沿对角线折起，使得点到点的位置，连接，为的中点.(1)若平面平面，求点到平面的距离；(2)不考虑点与点重合的位置，若二面角的余弦值为，求的长度.【解析】（1）连接，，则，平面平面，平面平面＝AC，平面，平面，又平面，，又正方形的边长为，,，设点到平面的距离为，则，，，即点到平面的距离；（2）取的中点，连接，，，，，为二面角的平面角，，由题可知，在中，，，，，，.【变式9-3】（2024·高一·全国·专题练习）如图，两两垂直，过作，垂足为D.(1)求证：平面；(2)设，二面角的平面角为时，求三棱锥侧面积.【解析】（1）证明：，，，平面，平面，又平面，又，，平面平面（2），且，为BC中点，，，，是二面角的平面角，即，在直角中，，，又平面，又平面，在直角中，，，，所以三棱锥的侧面积为：【变式9-4】（2024·高三·重庆·阶段练习）如图1，在平行四边形中，，，，将沿折起，使得点到点的位置，如图2，经过直线且与直线平行的平面为，平面平面，平面平面.(1)证明：.(2)若二面角的大小为，求的长.【解析】（1）由于，平面，平面平面，所以，由于，平面，平面平面，所以，所以.（2）折叠前，四边形是平行四边形，，所以，折叠后，过作，则四边形是矩形，所以，所以是二面角的平面角，所以，由于，所以三角形是等边三角形，所以，由于平面，所以平面，而，所以平面，由于平面，所以，，所以.【方法技巧与总结】（作二面角的三种常用方法）（1）定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则为二面角的平面角．（2）垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，为二面角的平面角．（3）垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点向另一个平面作垂线，垂足为，由点向二面角的棱作垂线，垂足为，连接，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角．题型十：平面与平面垂直的性质定理的应用【典例10-1】（2024·高二·上海·专题练习）如图所示的几何体中，四边形为正方形，.(1)求证：平面；(2)若，平面平面.若为中点，求证：.【解析】（1）因为四边形为正方形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）若，则为等边三角形，如图，因为为中点，所以，因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面.又平面，所以.又，，平面，所以平面.又平面，所以.【典例10-2】（2024·高一·北京·期中）如图，在多面体中，平面⊥平面.四边形为正方形，四边形为梯形，且.(1)求证：⊥；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)线段BD上是否存在点M，使得直线平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）因为四边形为正方形，所以⊥，因为平面⊥平面，平面平面，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥；（2）因为⊥平面，平面，所以⊥，⊥，又，故，，两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，因为，所以，设平面的法向量为，则，解得，令，则，则，，设直线与平面所成角的大小为，则；（3）设，即，当时，与重合，此时与平面不平行，当时，设，则，解得，故，设平面的法向量为，则，令，则，故，则，解得，故线段BD上存在点M，使得直线平面AFM，此时.【变式10-1】（2024·高三·江西·期中）如图1，山形图是两个全等的直角梯形和的组合图，将直角梯形沿底边翻折，得到图2所示的几何体.已知，,点在线段上，且在几何体中，解决下面问题.(1)证明：平面；(2)若平面平面，证明：.【解析】（1）连接与相交于,连接，由于，且,所以,又,所以,平面,平面,所以平面，（2）过作交于，由于平面平面，且两平面交线为，平面，所以平面，平面,故，又四边形为直角梯形，故,是平面内的两相交直线，所以平面，平面，故.【变式10-2】（2024·高二·北京·阶段练习）如图示，正方形与正三角形所在平面互相垂直，是的中点.

(1)求证：；(2)在线段上是否存在一点N，使面面？并证明你的结论.【解析】（1），为的中点．，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，．（2）存在点，当为中点时，面面；证明如下：四边形是正方形，为的中点，则，所以，又，所以，由（1）知，平面，平面，，又，平面，平面，平面，平面平面．【方法技巧与总结】（性质定理应用的注意事项）利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：（1）两个平面垂直；（2）直线必须在其中一个平面内；（3）直线必须垂直于它们的交线．题型十一：平行与垂直的的综合应用【典例11-1】（2024·全国·模拟预测）如图1，在等边中，是边上的高，、分别是和边的中点，现将沿翻折成使得平面平面，如图2.

(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在一点，使？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）证明：如图1，在中，、分别是和边的中点，所以，，因为平面，平面，所以，平面.（2）在线段上取点，使，过点在平面内作于点，连接.由题意得，平面平面.因为，平面平面，平面平面，平面，所以，平面，因为平面，所以，.在中，因为，，所以，，所以，，翻折前，为等边三角形，则，因为为的中点，所以，，即，翻折后，仍有，所以，，故，在中，，因为，则.又因为，则平分，因为是斜边上的中线，则，且，所以，是等边三角形，则，又因为，、平面，所以，平面，因为平面，所以，，综上，在线段上存在一点，且当时，.【典例11-2】（2024·高一·宁夏石嘴山·期中）已知直三棱柱满足，，点，分别为，的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面.(3)求三棱锥的体积.【解析】（1）如图，连接，，四边形为矩形，为的中点，与交于点，且为的中点，又点为的中点，，又平面，且平面，平面.（2）直三棱柱满足，，又点为的中点，且面，面，所以，，又面，平面.（3）由图可知，，，，又三棱柱为直三棱柱，且，.，，点为的中点，所以.由（2）可知平面.所以点到平面的距离为，又点为的中点，所以点到平面的距离为，.【变式11-1】（2024·高一·陕西延安·期末）已知矩形所在的平面，且N，M，O分别为，，的中点．求证：

(1)平面平面；(2)平面．【解析】（1）因为N，M，O分别为，，的中点，所以，又因为平面，且平面，所以平面，同理平面，又平面,平面,且，所以平面平面．（2）由平面，且平面，所以，由在矩形中，有，又平面，平面，且，所以平面．【变式11-2】（2024·高二·上海·阶段练习）如图，正方形中，边长为4，为中点，是边上的动点．将沿翻折到，沿翻折到，(1)求证：平面平面；(2)设面面，求证：；(3)若，连接，设直线与平面所成角为，求的最大值．【解析】（1）因为ABCD是正方形，，又，面SFD，面SFD，又平面，所以平面平面SFD；（2）证明：因为，面，面，所以面，又因为面面，所以.（3）设S在面AEF上的射影为，连接EO，则为直线SE与平面DEF所成角．设，则．．在中，，．可得，，，又，，令，令，，当且时，，则，可得在上单调递减，当，即时，最大为，最大值为．【变式11-3】（2024·高三·北京海淀·阶段练习）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形.(1)求证：；(2)求点到平面的距离；(3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长.【解析】（1）点在底面上的射影是与的交点，平面，平面，，四边形为菱形，，，平面，平面，平面，；（2）由题意可得､与都是边长为2的等边三角形，，，，，，设点到平面的距离为，由得，即，解得.故点到平面的距离为.（3）设直线与平面所成的角为，，到平面的距离即为到平面的距离.过作垂线平面交于点，则，此时，要使最大，则需使最小，此时.由题意可知：，，平面，且，，，在中，由余弦定理可得：，，由面积相等，即，解得：，，，即点在线段上靠近点的4分点处，此时，.一、单选题1．（2024·高一·全国·专题练习）在正方体中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是（

）．A．截面与截面 B．截面与截面C．截面与截面 D．截面与截面【答案】B【解析】如图，选项A、B、C、D分别对应图1、图2、图3、图4．对于A，与相交，截面与相交，故A错误；对于B，截面与平行．证明：因为，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，同理可证平面，，平面，所以平面平面．故B正确；对于C，截面与相交于D点，故C错误；对于D，与相交，截面与相交，故D错误；故选：B．2．（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）在四面体中，为正三角形，与平面不垂直，则下列说法正确的是（

）A．与可能垂直B．在平面内的射影可能是C．与不可能垂直D．平面与平面不可能垂直【答案】A【解析】如图所示：取的中点，连接，假设，因为为等边三角形，所以，又因为，所以平面，所以又因为是中点，所以，只需满足，即可做到，故A正确C错误；对于B：若在平面内的射影为，则有平面，与题干矛盾，故B错误；对于D：过点可以做出一条直线，使得该直线垂直与平面，点只需在该直线上，即满足平面即可达到要求，故D错误.故选：A3．（2024·高三·北京丰台·期末）在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板折起，使得二面角为直二面角，得图2所示四面体．小明对四面体中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①平面；②平面；③平面平面；④平面平面．其中判断正确的个数是（

）A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【解析】对于①中，因为二面角为直二面角，可得平面平面，又因为平面平面，，且平面，所以平面，所以①正确；对于②中，由平面，且平面，可得，又因为，且，平面，所以平面，所以②正确；对于③中，由平面，且平面，所以平面平面，所以③正确；对于④，中，因为平面，且平面，可得平面平面，若平面平面，且平面平面，可得平面，又因为平面，所以，因为与不垂直，所以矛盾，所以平面和平面不垂直，所以D错误.故选：C.4．（2024·高一·河北石家庄·期中）如图一，矩形中，交对角线于点，交于点，现将沿翻折至的位置，如图二，点为棱的中点，则下列判断一定成立的是（）A． B．平面C．平面 D．平面平面【答案】D【解析】对于D选项，翻折前，，，翻折后，，，因为，、平面，则平面，因为平面，所以平面平面，故D正确；对于B选项，因为，，则二面角的平面角为，在翻折的过程中，的大小会发生变化，故与不一定垂直，所以与平面不一定垂直，故B错误；对于A选项，设，在图一中，，又因为，所以，，因为，所以，所以，则，在图二中，过点在平面内作，交于点，连接，则，故，则，因为，所以不是的中点，因为，，则，若，因为，、平面，则平面，因为平面，所以，因为、平面，且，所以，因为为的中点，则为的中点，与已知矛盾，故A错误；由选项A知，因为，平面，平面，所以平面，若平面，则，、平面，所以平面平面，因为平面平面，平面平面，则，因为为的中点，则为的中点，与已知条件矛盾，故C错误．故选：D．5．（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）如图，边长为2的两个等边三角形，若点到平面的距离为，则二面角的大小为（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】设的中点为E，连接，过点A作，垂足为F，因为均为等边三角形，故，故为二面角的平面角；又平面，故平面，而平面，故，又，平面，故平面，则点A到平面的距离为，又为等边三角形，边长为2，故，故在中，，则，即，故二面角的大小为，故选：A6．（2024·高一·福建龙岩·期末）如图，在正方体中，E、F为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是（

）．A．若，，则B．若，，则平面平面C．若，，则面D．若，，则【答案】D【解析】如图所示，对于选项A，易知，底面，底面，所以，又平面，所以平面，平面，所以，故A正确；对于选项B，易知，所以平面，因为平面，所以平面平面，显然平面即平面，故B正确；如上图所示，对于C项，由正方体的特征可知，因为平面，平面，所以平面，同理平面，平面，所以平面，显然平面，所以平面平面，由平面可得平面，故C正确；对于D项，显然时，与不平行，故D不正确.故选：D7．（2024·高二·上海金山·期中）已知二面角为，点、分别在、内且，到的距离为，到的距离为,则两点之间的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，作交于，连接，作，，因为，，，平面，平面，所以平面，因为平面，所以，所以为二面角的平面角，即，因为平面，平面，所以，又，，，，所以，所以，同理，所以，在中，，，所以，在中，，，所以，在中，，所以.故选：.8．（2024·高二·广西南宁·期中）如图，由矩形与矩形构成的二面角为直二面角，为中点，若与所成角为，且，则（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【解析】取的中点，连接，如图，矩形中，为中点，则，即四边形是平行四边形，有，因此是直线与所成的角或其补角，显然，则是二面角的平面角，有，即有，而平面，于是平面，平面，则，由，得，令，则，在中，由余弦定理得，解得，所以.故选：D二、多选题9．（2024·高三·云南昆明·阶段练习）已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论错误的是（

）A．，，则B．，，，，则C．，，，则D．，，，则【答案】ABD【解析】对于A，若，，则或，A错误；对于B，若，，，，则或，相交，只有加上条件m，n相交，结论才成立，B错误；对于C，若，，则，又因为，所以，C正确；对于D，若，，无法得到，只有加上条件才能得出结论，D错误.故选：ABD.10．（2024·高三·广东潮州·期末）如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的是（）

A．B．C．平面平面D．【答案】ABC【解析】对于选项A,C，因为底面，平面,则，因为,且平面,平面，所以平面，因为平面，所以，且平面，所以平面⊥平面，故A，C正确；对于B,由选项A知，，又，且平面,平面所以平面，且平面，所以，故B正确；对于D,若，则垂直于在平面内的射影，显然不成立，故D错误.故选：ABC.11．（2024·高二·宁夏吴忠·期末）如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为，底面为直角梯形，，点为棱上一点，满足，下列结论正确的是（

）

A．平面平面；B．在棱上不存在点，使得平面C．当时，异面直线与所成角的余弦值为；D．点到直线的距离；【答案】ACD【解析】A选项，因为平面，平面，平面，所以，，故即为与底面所成的角，即，故，而，所以，在直角梯形中，，则，故，又因为平面，所以平面，因为平面，故平面平面，故A正确；D选项：由A选项的证明过程可知：平面，因为平面，所以，故点到直线的距离即为的长度，因为平面，平面，故，而，即点到直线的距离，故D正确；对于C，当时，，即为的中点，设为的中点，连接，则，而，故，故四边形为平行四边形，则，故异面直线与所成角即为的夹角，在中，，则，则异面直线与所成角的余弦值为，C正确；对于B，由C选项知，当时，，因为平面，平面，所以平面，所以时，平面，故B错误.故选：ACD.三、填空题12．（2024·高一·河南洛阳·阶段练习）如图，空间中两个有一条公共边的正方形和．设分别是和的中点，那么以下4个命题中正确的是．①；②//平面；③//；④异面．【答案】①②③【解析】取的中点，连接,如下所示：对①：