重难点专题09 立体几何中的截面问题（六大题型）-2024学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）（解析版）

第第页重难点专题09立体几何中的截面问题【题型归纳目录】题型一：判断截面形状题型二：截面周长题型三：截面面积题型四：截面作图题型五：截面切割几何体的体积问题题型六：截面图形有关面积、长度及周长范围与最值问题【方法技巧与总结】1、突破思维定式，灵活分析问题解答高中数学立体几何截面问题要突破思维定式，多视角地进行观察、分析、对比，深人地理解截面对原立体几何图形体积造成的影响，避免掉进出题人设计的陷阱之中．2、注重应用经验，快速破解问题解答高中数学立体几何截面问题时应注重具体问题具体分析，尤其遇到似曾相识的问题时应注重联系已有的解题经验，应用所学的几何知识找到参数之间的内在关系，构建正确的数学方程，快速破解问题．3、借助几何模型，化陌生为熟悉在解答一些高中数学立体几何截面问题时，应用几何模型化陌生为熟悉，可大大降低解题难度，提高解题效率．解题时应认真审题，充分挖掘隐含条件，将陌生图形融人熟悉的情境中，以更好地找到解题思路，达到事半功倍的解题效果．【典型例题】题型一：判断截面形状【典例1-1】（2024·高一·山东青岛·期末）在正方体中，，分别为，的中点，则平面截正方体所得的截面多边形的形状为（

）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形【答案】B【解析】如图，把截面补形为四边形，连接，，因为，分别为，的中点，则，又在正方体中，所以，则四点共面.则平面截正方体所得的截面多边形的形状为四边形.故选：B.【典例1-2】（2024·高一·全国·单元测试）在长方体中，、，、分别为棱、的中点，点在对角线上，且，过点、、作一个截面，该截面的形状为（

）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【答案】C【解析】如图所示，延长、，使，连接、，∵、、，∴、，∵、分别为棱、的中点，∴，∴，∵，又、、三点共线，∴、、三点共线，∴在截面上，延长、，使，连接，使，∴在截面上，连接、，∵，且∴，∴且=，又为中点，、、三点共线，∴、、三点共线，∴截面为五边形，故选：C．【变式1-1】（2024·河南郑州·三模）用一个平面截正方体，截面可能出现的形状是（

）①等边三角形

②直角梯形

③菱形

④五边形A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】C【解析】如图，用一个平面截正方体，截面可能出现的形状是等边三角形，菱形，五边形，故选：C题型二：截面周长【典例2-1】（2024·高二·江西·期末）如图，正方体的棱长为2，点E，F分别是，的中点，过点，E，F的平面截该正方体所得的截面多边形记为，则的周长为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】延长，与直线相交于，连接与分别交于点，连接，则五边形即为截面，正方体的棱长为2，点分别是的中点，所以，由得，，，所以分别为靠近的三等分点，故，所以由勾股定理得，，，所以的周长为.故选：C.【典例2-2】（2024·高三·河北廊坊·期末）如图所示，正四棱台中，上底面边长为3，下底面边长为6，体积为，点在上且满足，过点的平面与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图所示，过点作于点，因为，所以，则四棱台的高为，则四棱台的体积为，解得，所以侧棱长为.如图所示：过于点，于点，连接，由对称性可知，所以，而，所以，所以，同理，分别在棱上取点，使得，易得，所以截面多边形的周长为.故选：D.【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，用过点，E，的平面截正方体，则截面周长为（

）

A． B．9 C． D．【答案】A【解析】如图，取AB的中点G，连接GE，，．因为E为BC的中点，所以，，又，，所以四边形为平行四边形，所以，，所以，，所以用过点，E，的平面截正方体，所得截面为梯形，其周长为．故选：A．题型三：截面面积【典例3-1】（2024·高一·江苏常州·期末）某圆锥的底面半径为4，母线长为5，则下列关于此圆锥的说法正确的是（

）A．圆锥的体积为 B．过圆锥两条母线的截面面积最大值为C．圆锥的侧面积为 D．圆锥的侧面展开图的圆心角为【答案】B【解析】圆锥底面半径，母线长为，如图，设圆锥高为，则，所以圆锥的体积为，故A错误；因为圆锥的轴截面是等腰三角形，顶角的余弦值，所以顶角为钝角，所以过圆锥两条母线的截面面积最大值，故B正确；圆锥的侧面积为，故C错误；圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的圆心角为，故D错误.故选：B【典例3-2】（多选题）（2024·浙江·模拟预测）已知正方体的棱长为2，过棱，，的中点作正方体的截面，则（

）A．截面多边形的周长为B．截面多边形的面积为C．截面多边形存在外接圆D．截面所在平面与平面所成角的正弦值为【答案】AB【解析】连，延长交直线，的延长线于点，，连交于，连交于，连，得到截面五边形，连接与的中点.由，为中点，，，，因此周长为，故A正确.，，，，，截面多边形的面积为，故B正确.与是公用一个顶点的全等三角形，两个三角形的外心不重合，所以这个五边形没有外接圆，故C错误.根据二面角定义可知为截面与底面所成角，，，根据余弦定理可得，故，故D错误.故选AB.题型四：截面作图【典例4-1】（2024·高一·河南·期中）如图，在正方体中，棱长为，是线段的中点，平面过点、、.(1)画出平面截正方体所得的截面，并说明原因；(2)求（1）中截面多边形的面积；(3)平面截正方体，把正方体分为两部分，求比较小的部分与比较大的部分的体积的比值.（参考公式：）【解析】（1）如下图，取的中点，连接、、.因为是的中点，所以.在正方体中，，，所以四边形是平行四边形，所以，所以，所以、、、四点共面.因为、、三点不共线，所以、、、四点共面于平面，所以面即为平面截正方体所得的截面.（2）由（1）可知，截面为梯形，，，，同理可得，如下图所示：分别过点、在平面内作，，垂足分别为点、，则，，，所以，，则，因为，，，则四边形为矩形，所以，，则，所以，，所以，梯形的面积为.（3）多面体为三棱台，，，该棱台的高为，所以，该棱台的体积为，故剩余部分的体积为.故比较小的那部分与比较大的那部分的体积的比值为.【典例4-2】（2024·高一·广东佛山·竞赛）如图，在正方体中，分别为棱的中点.

(1)请在正方体的表面完整作出过点的截面.（只需写出作图过程，不用证明）(2)请求出截面分正方体上下两部分的体积之比.【解析】（1）连接并延长交于，连接并延长交于，于，连接交于，则截面即为所求；（2）连接，如图，则截面下部的体积.设正方体的棱长为1，则，于是，因此截面上下两部分的体积之比为.【变式4-1】（2024·高一·湖北武汉·期末）如图，棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，

(1)求作过，，三点的截面（写出作图过程）；(2)求截面图形的面积【解析】（1）在正方体中，画直线与的延长线分别交于点，连接，分别与棱交于点，连接，如图1，抹去和得过三点的正方体的截面五边形，如图2.（2）在正方体中，，，分别为棱，的中点，由（1）及图1知，，即，，则，，等腰底边上的高，的面积，由，得，即有，因此，于是，同理，所以截面五边形的面积.题型五：截面切割几何体的体积问题【典例5-1】（2023·广东广州·高一统考期末）在棱长为a的正方体中，E，F分别为棱BC，的中点，过点A，E，F作一个截面，该截面将正方体分成两个多面体，则体积较小的多面体的体积为.【答案】【解析】如图，依次连接，四边形即为所求截面，因为点E、F分别为棱、的中点，所以∥，可知为三棱台，所以，其体积，且正方体的体积为，则另一部分的体积为，因为，所以体积较小的多面体的体积为.故答案为：.【典例5-2】（2023·辽宁锦州·校考一模）在正四棱锥中，为的中点，过作截面将该四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为，则的最大值是.【答案】2【解析】记正四棱锥的体积为，的最大值，由为定值知，只需求的最小值，设过的截面分别交和于，平面与平面的交线为与相交于，如图，则，令，则，即有，，当且仅当时取等号，此时，所以的最大值是2.故答案为：2【变式5-1】（2023·上海·高二专题练习）如图，正方体，中，E､F分别是棱AB､BC的中点，过点､E､F的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为，记，则.【答案】【解析】延长交的延长线与点，连接交于点，连接：延长交的延长线与点，连接交于点，连接：所以过的截面为，如下图示：设正方体的棱长为，则过的截面下方几何体的体积为，所以另一部分体积为，则.故答案为：题型六：截面图形有关面积、长度及周长范围与最值问题【典例6-1】（2024·高二·上海青浦·期中）已知正方体的棱长为2，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为.【答案】【解析】在正方体中，共有3组互相平行的棱，每条棱与平面所成的角都相等，如图所示的正六边形对应的截面面积最大.此时正六边形的边长为，其面积为故答案为：【典例6-2】（2024·广西·模拟预测）在三棱锥中，平面，，，，点为棱上一点，过点作三棱锥的截面，使截面平行于直线和，当该截面面积取得最大值时，（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意，在平面内，过点作，交于点；在平面内，过点作，交于点；在平面内，过点作，交于点，连接，如图所示，因为，则，设其相似比为，即，则；又因为，，，由余弦定理得，，则，即.又平面，，平面，所以，.又，则，.因为，则，则，因为，所以，即，同理可得，即，因为，，则，故四边形为平行四边形；而平面，平面，故平面，同理平面，即四边形为截面图形；又平面，平面，则，又，所以.故平行四边形为矩形，则，所以当时，有最大值，则，在中，.故选：C.【变式6-1】（2024·高二·江西抚州·期中）已知球O是正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点E为线段的中点.过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，是A在底面的射影，则点在线段上.由正弦定理得，的外接圆半径，所以.在中，由勾股定理得棱锥的高.设球O的半径为R，在中，由勾股定理得，即，解得，所以.在中，，.所以在中，有.又因为当截面垂直于时，截面面积最小，此时截面半径为，截面面积为.故选：A.【变式6-2】（2024·高一·福建宁德·期中）正四面体ABCD的外接球的半径为2，过棱AB作该球的截面，则截面面积的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，面积最小的截面是以为直径的截面，将四面体放置于正方体中，可得正方体的外接球就是四面体的外接球，设，则正方体棱长为，故，可求得，进而截面面积的最小值为．故选：C【过关测试】1．（2024·高二·福建泉州·期末）正三棱柱中，所有棱长均为2，点、分别为棱、的中点，若过点、、作一截面，则截面的周长为.【答案】【解析】如下图所示，将正三棱柱扩大成正三棱柱，其中，则点E为AH1的中点，点F为AC2的中点，设，则，所以过点A、E、F的截面为AEGF，因为和均为两直角边分别为2，1的直角三角形，所以，在中，连接H1F交于，则为的重心，所以，因为，所以，又因为平面，所以三角形为直角三角形，且，所以，所以截面的周长为.故答案为：.2．（2024·高二·上海宝山·期中）已知正三棱柱的底面边长为3cm，高为3cm，M、N、P分别是、、的中点.(1)用“斜二测”画法，作出此正三棱柱的直观图（严格按照直尺刻度）；(2)在（1）中作出过M、N、P三点的正三棱柱的截面（保留作图痕迹）.【解析】（1）①平面直角坐标系中作边长为3cm的等边三角形，原点为中点，如下图，②在线段上找到中点，过作与x轴成45°的轴，并在轴找点使，此时直观图底面确定；③过向上作与x轴垂直的射线，并在各射线上找一点使cm，连接，即得正三棱柱的直观图.（2）①过作直线分别交射线于，连接，分别交于，②连接，则截面即为所求.3．（2024·高二·江西·阶段练习）如图，正方体的棱长为2，点分别是的中点，过点的平面截该正方体所得的截面记为，则截面的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】延长，与直线相交于，连接与分别交于点，连接，则五边形即为截面，正方体的棱长为2，点分别是的中点，由≌≌得，，，故，因为⊥平面，平面，所以⊥，⊥，由勾股定理得，取的中点，连接，则⊥，且，由勾股定理，其中，由相似关系可知，，故.故选：D4．（2024·高三·陕西西安·阶段练习）若平面截球所得截面圆的面积为，且球心到平面的距离为，则球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由平面截球所得截面圆的面积为，得此截面小圆半径，而球心到此小圆距离，因此球的半径，有，所以球的表面积.故选：C5．（多选题）（2024·高一·全国·专题练习）如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（

）A．直线与是异面直线B．直线与是平行直线C．直线与是相交直线D．平面截正方体所得的截面面积为【答案】AD【解析】面，面，，所以直线与是异面直线，故A正确；面，面，，所以直线与是异面直线，即直线与是异面直线，故B错误；面，面，，所以直线与是异面直线，故C错误；明显，故四边形为平面截正方体所得的截面，，四边形是等腰梯形，则梯形的高是，所以梯形的面积，故D正确．故选：AD．6．（多选题）（2024·高一·重庆·阶段练习）已知正方体的棱长为2，棱、、分别是，，的中点，过、、三点作正方体的截面，是中点，则（

）A．截面多边形的周长为 B．截面多边形的面积为C．截面多边形存在外接圆 D．的正弦值为【答案】ABD【解析】正方体的棱长为2，过棱，，的中点作正方体的截面，对A,连，延长交直线，的延长线于点，，连交于，连交于，连，得到截面五边形，由，为中点，则，，，同理，又，，因此周长为，故B正确．对B,易知，，，，又，故，截面多边形的面积为，故B正确；对C:与是公有一个项点的全等三角形，两个三角形的外心不重合，这个五边形没有外接圆，故C错误；对D,，，，，，，根据二面角的定义得是截面与底面所成角，，，根据余弦定理得，，故D正确．故选：ABD．7．（多选题）（2024·高三·江苏扬州·期末）棱长为2的正方体中，下列选项中正确的有（

）A．过的平面截此正方体所得的截面为四边形B．过的平面截此正方体所得的截面的面积范围为C．四棱锥与四棱锥的公共部分为八面体D．四棱锥与四棱锥的公共部分体积为【答案】ABD【解析】连接与线段上任意一点，过作交于，所以过的平面截此正方体所得的截面为四边形，A对；由上分析及正方体结构特征易知：四边形为平行四边形，若为各线段上的中点时，四边形为菱形，此时截面最小面积为；根据正方体的对称性，从中点向或运动时，四边形面积都是由小变大，当与重合时，截面最大面积为；综上，过的平面截此正方体所得的截面的面积范围为，B对；令交于，交于，交于，显然是各交线的中点，若是中点，连接，所以四棱锥与四棱锥的公共部分为六面体，C错；其体积，D对.故选：ABD8．（多选题）（2024·高三·浙江宁波·期末）已知直三棱柱，，，，，，平面EFG与直三棱柱相交形成的截面为，则（

）A．存在正实数，，，使得截面为等边三角形B．存在正实数，，，使得截面为平行四边形C．当，时，截面为梯形D．当，，时，截面为梯形【答案】AC【解析】由题意，在直三棱柱中，，，，，，平面EFG与直三棱柱相交形成的截面为，A项，当时，截面为等边三角形，此时，且，A正确；B项，当时，点在三棱锥内部，为三角形，当时，不为平行四边形，当时，不为平行四边形，当时，不为平行四边形，当有两个大于时，不为平行四边形,当有三个大于时，截面为,∴不存在正实数，，，使得截面为平行四边形，B错误；C项，当，时，因为,所以三点共线，所以截面经过点与棱上的点（不含端点），再由面面平行的性质可得截面为梯形,故C正确；D项，当，，时，截面为四边形,易知与相交，假设，因为平面，平面，