高等数学教案

高等数学教案一、课程的性质与任务高等数学是计算机科学与技术；信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课，通过本课程的学习，也是该专业的核心课程。要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”，“微积分”，“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算；同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。第一章：函数与极限教学目的与要求18学时1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4.掌握基本初等函数的性质及其图形。5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。6.掌握极限的性质及四则运算法则。7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。第一节：映射与函数一、集合集合概念具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素1)2)元素与集合的关系：一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。常见的数集：N，Z，Q，R，N+元素与集合的关系：A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作。如果集合A与集合B互为子集，则称A与B相等，记作若作且则称A是B的真子集。空集：集合的运算并集：交集：差集：全集I、E补集：集合的并、交、余运算满足下列法则：交换律、结合律、分配律对偶律(笛卡儿积A×B区间和邻域开区间闭区间半开半闭区间有限、无限区间邻域：a邻域的中心邻域的半径去心邻域左、右邻域二、映射映射概念定义设X，Y是两个非空集合，如果存在一个法则，使得对X中的每一个元素，按法则，在Y中有唯一确定的元素与之对应，则称为从X到Y的映射，记作其中称为元素的像，并记作，即注意：1）集合X；集合Y；对应法则2）每个X有唯一的像；每个Y的原像不唯一3)单射、满射、双射映射、复合映射三、函数函数的概念：定义：设数集，则称映射为定义在D上的函数记为自变量、因变量、定义域、值域、函数值用、、函数相等：定义域、对应法则相等自然定义函数；单值函数；多值函数、单值分枝.例：１)ｙ＝２2)ｙ＝3)符号函数4)取整函数（阶梯曲线）5)分段函数函数的几种特性函数的有界性(上界、下界；有界、无界)有界的充要条件：既有上界又有下界。注：不同函数、不同定义域，有界性变化。2)函数的单调性（单增、单减）在x1、x2点比较函数值与的大小（注：与区间有关）3)函数的奇偶性(定义域对称、与关系决定)图形特点(关于原点、Y轴对称)4)函数的周期性(定义域中成立：)反函数与复合函数反函数：函数是单射，则有逆映射，称此映射为函数的反函数函数与反函数的图像关于对称复合函数：函数定义域为D1，函数在D上有定义、且。则为复合函数。(注意：构成条件)函数的运算和、差、积、商(注：只有定义域相同的函数才能运算)初等函数：1)幂函数：2)指数函数：3)对数函数 4)三角函数5)反三角函数，以上五种函数为基本初等函数6)双曲函数注：双曲函数的单调性、奇偶性。双曲函数公式反双曲函数：作业：同步练习册练习一第二节：数列的极限一、数列数列就是由数组成的序列。1）这个序列中的每个数都编了号。2）序列中有无限多个成员。一般写成：缩写为例1数列是这样一个数列，其中，也可写为：可发现：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近0，记为极限的定义：则称数列的极限为，记成也可等价表述：1）2）极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。二、收敛数列的性质定理1：如果数列收敛，那么它的极限是唯一定理2如果数列收敛，那么数列一定有界定理3：如果且a>0(a<0)那么存在正整数N>0，当n>N时，定理4、如果数列收敛于a那么它的任一子数列也收敛,且收敛于a。第三节：函数的极限一、极限的定义1、在点的极限1）可在函数的定义域内，也可不在，不涉及在有没有定义，以及函数值的大小。只要满足：存在某个使：。2）如果自变量趋于时，相应的函数值有一个总趋势-----以某个实数为极限，则记为：。形式定义为：注：左、右极限。单侧极限、极限的关系2、的极限设：如果当时函数值有一个总趋势------该曲线有一条水平渐近线-----则称函数在无限远点有极限。记为：在无穷远点的左右极限：关系为：二、函数极限的性质极限的唯一性函数极限的局部有界性函数极限的局部保号性函数极限与数列极限的关系第四节：无穷小与无穷大一、无穷小定义定义：对一个数列，如果成立如下的命题：则称它为无穷小量，即注：1、的意义；2、可写成；3、上述命题可翻译成：对于任意小的正数，存在一个号码N，使在这个号码以后的所有的号码，相应的与极限0的距离比这个给定的还小。它是我们在直观上对于一个数列趋于0的认识。定理1在自变量的同一变化过程（或中，函数具有极限A的充分必要条件是，其中是无穷小。二、无穷大定义一个数列，如果成立：那么称它为无穷大量。记成：。特别地，如果，则称为正无穷大，记成特别地，如果，则称为负无穷大，记成注：无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。三、无穷小和无穷大的关系定理2在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小；反之，如果为无穷小，且则为无穷大即：非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系：当时：有注意是在自变量的同一个变化过程中第五节：极限运算法则1、无穷小的性质设和是无穷小量于是：（1）两个无穷小量的和差也是无穷小量：（2）对于任意常数C，数列也是无穷小量：（3）也是无穷小量，两个无穷小量的积是一个无穷小量。（4）也是无穷小量：（5）无穷小与有界函数的积为无穷小。2、函数极限的四则运算若函数和在点有极限，则函数在点有极限，则对任何常数成立3、若函数和在点有极限，则若函数和在点有极限，并且，则极限的四则运算成立的条件是若函数和在点有极限例：求下述极限复合函数的极限运算法则定理6设函数是由函数与复合而成，在点的某去心邻域内有定义，若，，且存在，当时，有，则第六节：极限存在准则两个重要极限定理1夹逼定理：三数列、和，如果从某个号码起成立：1），并且已知和收敛，2），则有结论：定理2单调有界数列一定收敛。单调增加有上界的数列一定收敛；单调减少有下界的数列一定收敛。例：证明：例：证明：有界。求的极限第七节：无穷小的比较定义：若为无穷小且高阶、低阶、同阶、 k阶、等价～若为等价无穷小则若～、～且存在，则：例：第八节：函数的连续性与间断点函数在一点的连续性函数在点连续，当且仅当该点的函数值、左极限与右极限三者相等：或者：当且仅当函数在点有极限且此极限等于该点的函数值。其形式定义如下：函数在区间（a,b）连续指：区间中每一点都连续。函数在区间［a,b］连续时装意端点。注：左右连续，在区间上连续(注意端点)连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线二、间断点若：中有某一个等式不成立，就间断，分为：第一类间断点：即函数在点的左右极限皆存在但不相等，曲线段上出现一个跳跃。2、第二类间断点：左极限与右极限两者之中至少有一个不存在例：见教材第九节：连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的四则运算1.且，2且，3.且，反函数连续定理：如果函数是严格单调增加（减少）并且连续的，则存在它的反函数：并且也是严格单调增加（减少）并且连续的。注：1）反函数的定义域就是原来的值域。2）通常惯用X表示自变量，Y表示因变量。反函数也可表成复合函数的连续性定理：设函数和满足复合条件，若函数在点x0连续；，又若函数在点连续，则复合函数在点连续。注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换：从这些基本初等函数出,通过若干次四则运算以及复合，得到的种种函数统称为初等函数，并且：初等函数在其定义区间内连续。第十节：闭区间上连续函数的性质最大、最小值设函数：在上有界，现在问在值域中是否有一个最大的实数？如果存在，譬如说它是某个点的函数值，则记叫做函数在D上的最大值。类似地，如果中有一个最小实数，譬如说它是某个点的函数值，则记称为函数在上的最小值。二、有界性有界性定理：如果函数在闭区间上连续，则它在上有界。三、零点、介值定理最大值和最小值定理：如果函数在闭区间上连续则它在上有最大值和最小值，也就是说存在两个点和，使得亦即若x0使，则称x0为函数的零点零点定理：如果函数在闭区间上连续，且在区间的两个端点异号：则至少有一个零点，使中值定理：如果函数在闭区间上连续，则在上能取到它的最大值和最小值之间的任何一个中间值。作业：见课后各章节练习。导数与微分教学目的与要求22学时理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。会求分段函数的导数。会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。一、导数概念（）1、定义 左导数右导数∴ 可以证明： 可导→连续。即可导是连续的充分条件。连续是可导的必要条件。左右导数(注：与左右极限关系)2、导数的几何意义曲线 在点处切线：例1：讨论在x=0处可导性解：∵ 在x=0连续 不存在 ∴在x=0不可导例2：已知存在则 =例3：设函数可微，则例4：设 为使在x=x0处可导，应如何选取常数a、b解：首先必须在x0连续∴ ①（由①得）（由①得）∵存在 ∴ 从而例5：=x(x-1)(x-2)……(x-9),则∵例6：设在x=0领域内连续，，则∵ （分母→0）∴例7：设函数f(1+x)=af(x)，且 (a,b≠0)，问存在否?解：二、导数的求法1、显函数导数求一个显函数的导数需解决：①基本初等函数导数(P64);②导数四则运算法则(P65);③复合函数与反函数求导法则(P66)。定理：在X有导数，在对应点u有导数，则复合函数在X处也有导数，。例1： 求解：例2： 求解： 例3： 求解：例4： 求解：例5： 求解：例6： 求解：例7： 求解： 例8： 求解：例9： 求解：高阶导数、二阶：例10： ， 求解：先讲微分（后页）2、隐函数导数参数方程导数如方程F(x，y)=0确定了y=y(x)，只需方程两边对x求导，注意y=y(x)例10：求下列隐函数的导数（1）设 求解：方程两边对x求导，（2）设是由方程所确定的隐函数，求解：由原方程知当x=0时，，方程两边对x求导。，将x=0，代入得： ∴(3)是由方程所确定的隐函数,试求,。解:方程两边对x求导： ①方程两边再对x求导： ②由原方程知，当时，，代入①得再将，，代入②式，得 (4)设 求解：(5)设是由方程组所确定的函数，求：。解：3、分段函数的导数设求：解：当∴不存在，故高阶导数（n阶）略，例 2)设在（）上具有二阶连续导数，且，对函数 (1)确定的值，使在（）上连续(2)对（1）中确定的，证明在（）上一阶导数连续解：①即当在连续，也就是在（）连续②而在连续,即在连续三、微分一阶微分形式不变 （自变量）如 (中间变量)例：