2021年江苏省南通市中考数学真题试卷（含答案解析）

江苏省南通市2021年中考数学试题

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选

项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相

应位置上）］

1.计算1-2,结果正确的是（）

A.3B.1C.—1D.—3

2.据报道：今年“五一”期间，苏通大桥、崇启大桥、沪苏通大桥三座跨江大

桥车流量约1370000辆次.将1370000用科学记数法表示为（）

A.0.137x107B.1.37x107C.0.137x106D.

1.37x106

3.下列计算正确的是（）

A.a34-a3=a6B.a3-a3=a6C.（a2）3=a5D.

（ab）3=ab3

4.以下调查中，适宜全面调查的是（）

A.了解全班同学每周体育锻炼的时间B.调查某批次汽车的抗撞击能

力

C.调查春节联欢晚会的收视率D.鞋厂检测生产的鞋底能承受

的弯折次数

5.如图，根据三视图，这个立体图形名称是（）

V

俯视图

A.三棱柱B.圆柱C.三棱锥D.圆锥

6.菱形的两条对角线的长分别是6和8,则这个菱形的周长是（）

A.24B.20C.10D.5

7.《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四

尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，

绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺？设

木长x尺，绳长y尺，可列方程组为（）

'%=y+4.5（y=x+4.5（x=y+4.5

A.<i,.B.i,.C.{i.D.

[-x=y+l[-y=x+1[-x=y-l

ry=x+4.5

（-1y=x-rl

8.若关于x的不等式组恰有3个整数解，则实数。的取值范围是

（）

A.7<a<8B.7<a<8C.7<a<8D.7<

a<8

9.如图，四边形ABCD中，AB//DC,DELAB,CFLAB,垂足分别为E,F,且

AE=EF=FB=5cm，DF=12cm，动点P,。均以lcm/s速度同时从点A

出发，其中点P沿折线CB运动到点B停止，点。沿/B运动到点B

停止，设运动时间为t（s），△4PQ的面积为yGm?），则y与，对应关系的图象大

致是（）

其中点A在第一象限.设为双曲线y=；（k>2）上一点，直线/M,BM分

别交y轴于C，。两点，则0C-。。的值为（）

A.2B.4C.6D.8

二、填空题（本大题共8小题，第1rzi2题每小题3分，第13~18题每小题4

分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

11.分解因式：x2-9y2=

12.正五边形每个内角的度数是.

13.圆锥的母线长为2cm，底面圆的半径长为km，则该圆锥的侧面积为

2

----------cm•

14.下表中记录了一次试验中时间和温度数据.

时间/分钟0510152025

温度/℃102540557085

若温度的变化是均匀的，则14分钟时的温度是r.

15.如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60。方向，距离灯塔50海里的A处，它

沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45。方向上的3处，此时

B处与灯塔P的距离为海里（结果保留根号）.

16.若“，〃是一元二次方程/+3%-1=0的两个实数根,则窑学的值为

17.平面直角坐标系xOy中，已知点P(m,3n2—9),且实数满足m—n2+4=

0,则点P到原点。的距离的最小值为.

18.如图，在△ABC中，AC=BC,乙4cB=90。，以点A为圆心，长为半径

画弧，交AC延长线于点。，过点。作CE〃/W,交附于点E,连接8E,则fl的

DC

值为___________.

三、解答题(本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时

应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

19.(1)化简求值：(2%-1)2+(%+6)(%-2),其中％=一百；

(2)解方程专一：=0.

20.如图，利用标杆DE测量楼高，点A,D,B在同一直线上,DE_L4C,BC_LAC,

垂足分别为E,C.若测得4E=lm，DE=1.5m，CE=5m，楼高BC是多少？

B

21.某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西瓜的品质(大小、甜度等)，进行

了抽样调查.在相同条件下，随机抽取了两种西瓜各7份样品，对西瓜的品质进

行评分(百分制)，并对数据进行收集、整理，下面给出两种西瓜得分的统计图

表.

甲、乙两种西瓜得分表

序号1234567

甲种西瓜（分）75858688909696

乙种西瓜（分）80838790909294

甲、乙两种西瓜得分折线统计图

平均数中位数众数

甲种西瓜88a96

乙种西瓜8890b

（1）a=,b=；

（2）从方差的角度看，种西瓜的得分较稳定（填“甲”或“乙”）;

（3）小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些.请结

合统计图表中的信息分别写出他们的理由.

22.一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4

（1）随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为;

（2）随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球.求两次取出小球标号的

和等于5的概率.

23.如图，为。。的直径，。为。。上一点，弦/E的延长线与过点C的切线

互相垂直，垂足为。，^CAD=35°,连接BC.

D

C

（1）求zB的度数；

（2）若AB=2,求品的长.

24.A,B两家超市平时以同样的价格出售相同的商品.暑假期间两家超市都进行

促销活动，促销方式如下：

A超市：一次购物不超过300元的打9折，超过300元后的价格部分打7折；

8超市：一次购物不超过100元的按原价，超过100元后的价格部分打8折.

例如，一次购物的商品原价为500元，

去A超市的购物金额为：300x0.9+（500-300）x0.7=410（元）；

去8超市的购物金额为：100+（500-100）x0.8=420（元）.

（1）设商品原价为x元，购物金额为y元，分别就两家超市的促销方式写出〉

关于x的函数解析式；

（2）促销期间，若小刚一次购物的商品原价超过200元，他去哪家超市购物更

省钱？请说明理由.

25.如图，正方形ABCD中，点E在边AO上（不与端点A,。重合），点A关于

直线BE对称点为点G连接CF,设乙4BE=a.

A__E______DAEp

（备用图）

（1）求zBCF的大小（用含a的式子表示）；

（2）过点。作CG_L力F,垂足为G,连接DG.判断DG与CF的位置关系，并说

明理由；

（3）将4ABE绕点B顺时针旋转90。得到△CB”，点E的对应点为点H,连接

HF.当ABF"为等腰三角形时，求sina的值.

26.定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图

象的“等值点”.例如，点（1,1）是函数y=+3的图象的“等值点”.

（1）分别判断函数y=%+2,y=/一％的图象上是否存在“等值点”？如果存

在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；

（2）设函数、=久%>0）4=一兀+8的图象的“等值点”分别为点A,B,过点

8作BCJ.X轴，垂足为C.当△ABC的面积为3时，求。的值；

（3）若函数y=/-2Q2m）的图象记为明，将其沿直线％=m翻折后的图象

记为卬2.当W1，“2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出，〃的

取值范围.

参考答案及解析

1.【解析】c

1-2=-(2-1)=-1,

2•【解析】D

将1370000用科学记数法表示为：1.37X106

3.【解析】B

a3+a3=2a3；a3-a3=a6；(a2)3=a6；(ah)3=a3b3；

4.【解析】A

了解全班同学每周体育锻炼的时间适合全面调查；

调查某批次汽车的抗撞击能力适合抽样调查；

调查春节联欢晚会的收视率适合抽样调查；

鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数适合抽样调查；

5.【解析】A

根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个

几何体应该是三棱柱.

6.【解析】B

如图所示：

•四边形ABCD是菱形，BD=8,AC=6,

.*.AC±BD,OA=OC=3,OD=OB=4,

RtZkAOD中，AD=y/OA2+OD2=5,

则菱形ABCD的周长为：4X5=20

7.【解析】D

设木长*尺，绳长y尺，

fy=%+4.5

依题意得J,[

=Xv-1

8.【解析】C

解不等式2尤+3>12,得：x>p

解不等式％-aWO,得：x<a,

•.•不等式组只有3个整数解，即5,6,7,

7<a<8

9.【解析】D

在RtAADE中AD=y/AE2+DE2=

在RtACFB中，BC=ylBF2+CF2=13(cm),

AB=AE+EF^-FB=15(cm)9

①点尸在4。上运动，AP=t,AQ=t,§PO<t<13,

如图，过点P作PG_LA3于点G,

sinA=^=^,则PG=^t(O<t<13),

UninJLJ

此时产/2xPG*t2(owi<13),图象是一段经过原点且开口向上的抛物线;

②点P在DC上运动，且点。还未到端点5,即13Vt<15,

此时y=1AQxDE=6t(13<t<15),图象是一段线段;

③点P在。。上运动，且点。到达端点5,即15WtW18,

此时y=^ABxDE=90（15<t<18）,图象是一段平行于x轴的水平线段;

④点P在BC上运动，PB=31-f,即18<tK31,

如图，过点P作于点//,

sinB=^=^,则尸"W|(31T),

此时尸1外尸”=-存+詈（18<t工31）,图象是一段线段;

10•【解析】B

y=2x,

根据题意列方程得:k

'y=-x,

V2fcy/2k

X1==一丁

解得:~或%2

-

%=V2k.y2=V2k.

•点4在第一象限,

小（亨，画｝8（一学,一届）.

•••用（n2）为双曲线丫=：*>2）上一点,

•Qk

•・2=­m・

k

m=-2.

设直线AM的解析式为y=krx+bi,

V2k=匕・亨+b

将点4（学,低）与点M管,2）代入可得:lf

2=ki.T+bl,

,2y/2k-4

七=赤口

解得:

,2yf2k-ky/2k

瓦=E

•・・直线AM的解析式为、=需久+喘手

•.•直线AM与y轴交于。点，

••x(j—•0•

.2V2k-4,2y/2k-ky/2k2小一k版

•・=-==-----0n+

”>/2k-kV2k-kyj2k-k

./„2y[2k-k>[2k'

，，Cr42k-k).•

'：k>2,

.0c_|2V2k-W2fc|_2辰-

・・一Iy[2k-kI-yf2k-k-

设直线BM的解析式为y=k2x+b2,

-y/2k=/c2•(-苧)+b2,

将点B（-苧，-怎）与点M6,2）代入解析式可得:

2=k2-^+b2,

2麻+4

■

解得：＜-V2k+k'

2y[2k-kyf2k

92=V2k+k

・•・直线SM的解析式为，=等%+嘴等

•.•直线8M与y轴交于0点，

••X[)—0•

•2母+4,2y/2k-ky/2k2\[2k-k\f2k

•.y=-；=----0A+

DV2k+ky[2k+kV2k+k

•(2y[2k-kyf2k'

1°，抵+k),•

•:k>2,

・八c\2\[2k-k\[2k\ky/2k-2\/21c

••(7/7=-----7=-------=——p=-------

I抵+kI\[2k+k

•“cc2\[2k-kyf2kky/2k-2\[2k

・・-0D=—----------7=--------

\[2k-kV2k+/c

_(2V2fc-kV2k)(V2k+k)[k^2k-2V2fc)(V2fc-k)

(V2fc-k)(y/2k+k)[y/lk+k)(反-k)

4k—2k2+2k\[2k—k2y[2k2k2—4k—k2y[2k+2k>/2k

=2k-k22k-k2

_8k-4k2

=2k-k2

4(2k-/c2)

2k-k2

=4.

IL【解析】(％-3y)(x+3y).

x2—9y2=(%—3y)(x+3y).

12.【解析】108°

•.•正多边形的内角和为5-2)x180°,

正五边形的内角和是(5-2)x180°=540°,

则每个内角的度数是540。+5=108°.

13.【解析】2兀

依题意知母线长=2,底面半径r=1,

则由圆锥的侧面积公式得S=7t/7=n-xlx2=2n-.

14.【解析】52

设时间为，分钟，此时的温度为T,

由表格中的数据可得，

每5分钟，升高15Z,故规律是每过1分钟，温度升高3C,

函数关系式是丁=3什10；

则第14分钟时，即f=14时，T=3xl4+10=52℃

15.【解析】25V6.

如图，作PCL45于点C,

在R〃\4PC中，AP=50海里，N4PC=90。-60°=30°,

则4c=^AP=25海里，PC=V5O2-252=25遮海里，

在RdPCS中，PC=258海里，ZBPC=90°-45°=45°,

PC=5C=25g海里，

则PB=J(25行产+(25百/=25遍海里

16.【解析】3

根据题意：，〃2+3怯1=0,

/.3mA-nr9

V/n>n是一元二次方程X2+3X-1=0的两个根，

，/〃+〃=・3,

・m3+m2nm2(m+n),।.

••^-=^^=一(皿+切=3，

17•【解析】察

10

Vm—n2+4=0,

An2=m+4,贝!|3/-9=3m+3,

，点尸的坐标为(m,3m+3),

・••尸。幻病+(3m+37=VlOm2+18m+9,

V10>0,

:.10m2+18m+9当nt==-2时，有最小值,

且最小值为总，

.••尸。的最小值为叵=剋皿.

18•【解析】/

连接AE,过作延长EC交4F于点凡过E作EG_L6C于点G,如

图，

^AC=BC=a,

■:乙ACB=90°

：.AB=y]AC2+BC2=V2a»乙CAB="B4=45°

：.AE=V2a,4CA产=45°

VCE//AB

:.乙ECB=^CBA=45°

♦:乙ACB=90°

:.乙ACF=45

乙4FC=90°

'•AF=CF=—AC=-a

22

设CE=x,则/E=^a+比

2

在RtAAFE^,AF2+EF2=AE2

(ya)2+(ya+x)2=(V2a)2

解得，"上2=言及a(不符合题意，舍去)

・「厂V6-V2

••CE=-----a

2

•:乙ECB=45O/EGC=90°

:•乙CEG=45°

"口鱼「口

••CG=GE=—CE=—^2x-V-6--V--2a=V--3---1--a

2222

V3-13-V3

:・BG=BC-CG=a-------a---------n

22

在RtABGE中，BG2+GE2=BE2

BE=](专^<1)2+(W^a)2=(V3-l)a

3/6-V2

•・•_CE_—_=_—_。_—V_2

BE=(V3-l)a-2

19•【解析】(1)4；(2)x=9.

(1)(2x-1)2+(x+6)(x—2)

=4x2—4x+1+x2+4x—12

=5x2-11

当尤=一代时，原式=5%2-11=5x(-V3)2-11=4;

(2)-^---=0,

x-3x

2x—3(%—3)=0,

解得：x=9,

经检验，x=9是原方程的解.

20.【解析】楼高BC是9米.

AE=lm，CE=5m，

••AC=6m,

•••DEI",BC1AC9

：.DE//BC9

：.AADE^AABC,

•竺_竺

**4C一记’

•:DE=1.5m，

・11.5

••一,

6BC

：.BC=9；

即楼高是9米.

21.【解析】(1)a=88,。=90；(2)乙；(3)见解题过程。

(1)甲品种西瓜测评得分从小到大排列处在中间位置的一个数是88,所以中位

数是88o

将乙品种西瓜的测评得分出现次数最多的是90分，因此众数是90o

(2)由甲、乙两种西瓜的测评得分的大小波动情况，直观可得S乙2Vs甲2,

(3)小明认为甲种西瓜的品质较好些，是因为甲的得分众数比乙的得分众数高;

小军认为乙种西瓜的品质较好些，是因为乙的得分方差小和得分中位数比甲的

高.

22.【解析】(1)；；(2)p

24

(1)因为一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1,2,

3,4,

因此随机摸取一个小球，“摸出的小球标号是奇数”的概率为：：=

42

(2)画树状图得:

第一次

第二)欠1

由图可知，共有16种等可能的结果，两次取出小球标号的和等于5的情况有4

种;

所以两次取出小球标号的和等于5的概率沏

23.【解析】(1)55°；(2)—.

18

(1)连接。C,如下图所示，

••,CD是◎。的切线,

：.OCLCD,

'：AELCD,

J.OC//AE,

：.ZDAC=ZOCA,

VOA=OC,NC4D=35°,

:.NO4C=NOCA=NCW=35。,

,.IB为。。的直径，

:.ZACB=9d°,

.•.ZB=90o-ZOAC=55°；

(2)连接。E,OC,如下图，

由(D可知，NEAO=NOAC+NC4O=70。，

'：OA=OE,

：.ZAEO=ZEAO=7d°,

'：OC//AE,

：.ZCOE=ZAEO=70°,

.•.48=2,贝！JOC=OE=1,

•糜的长为吧=70n=7n

••刖仅为18018018,

f0,9x(0<%<300)；B

24.【解析】(1)A商场y关于x的函数解析式：yA=^6Q07x(x>300)

商场y关于x的函数解析式：如=K+x0(0.<8升%<>1100。)。)；

(2)当200<r<400时，去B超市更省钱；当x=400时，去A、8超市一样省钱;

当％>400时，去A超市更省钱.

一一(

(1)题，得，%=[o9X3000.9+x0(.07(<尤x-3<0300)0()尤>300)'即：%=

(09x(0<x<300)

；

(60+0.7x(x>300)

(x(0<x<100)_fx(0<x<100)

yB>P：yB=；

~[100+0.8(x-100)(x>100)(20+0,8x(x>100)

(2)•.•小刚一次购物的商品原价超过200元

:.当200<x<300时，yA-yB=0-(20-0.8比)=O.lx-20,

令"一如=°，x=200,

贝!I当200<rW300时，即发-冷>。，去5超市更省钱；

当x>300时，yA-yB=(60+0.7x)-(20+0.8x)=40-0.lx,

令力一坊=°，x=400,

所以，当x=400时，^yA-yB=0,此时去4、8超市一样省钱：

当300Vx<400时，即以-坊>0，去B超市更省钱；

当x>400时，即以-现〈0，去A超市更省钱；

综上，当200VCV400时，去B超市更省钱；当尤=400时，去A、8超市一样

省钱；当x>400时，去A超市更省钱.

25.【解析】(1)45。+戊.

⑵DGHCF.理由见解题过程。

(1)连接8R设AE和BE相交于点N.

则由题意可知，BE1AF,AB=BF

Z.BAF=Z.BFA

•・,Z-ABE=a

・・・乙BAF_90。a-Z-BFA

o

•••zEBF=180°.90.(90°.a)=a

根据四边形ABC。是正方形可得，AB=BC,乙4BC=90。

zF5C=90°.2a,AB=BC=BF

乙BFC=乙BCF

•••乙BFC+乙BCF+乙FBC=180°,乙FBC=90°-2a

乙BFC一乙BCF=产°°父9O°3)=45。+a.

一2

⑵位置关系：平行.

理由：连接BF,AC,DG

设。C和FG的交点为点M,Ab和BE相交于点N

由(1)可知,

^ABE=乙EBF=a,^BAF=乙BFA=90°-a,乙BFC=乙BCF=45°+a

•••^AFC=乙AFB+乙CFB=90°—a+45°+a=135°

乙CFG=180°-^AFC=45°

•••CG1AG

•••乙FGC=90°

•••乙GCF=180°-Z.FGC-乙CFG=45°=乙CFG

・•.△CGF是等腰直角三角形

.CG__

"CF-y/2

•••四边形ABC。是正方形

•••^BAD=乙40c=乙BCD=90°,AD=CD

・・・△/DC是等腰直角三角形

nr1

,^ACD=45°

ACy[2

•••NBC/=45°

BE垂直平分AF

UNE=90°

乙NAE=180°-±ANE-乙AEN=a

在△AOM和ACGM中，

(Z.ADC=^AGC=90°

I^AMD=乙CMG

•••△ADMCGM

•••乙MCG=Z.GAD=a

•••NBC/=45°,乙BCF=45。+a

:.Z.ACF=Z.BCF—乙BCA=a

在^DGC和△/EC中，

•D・,C一=CG—1=-p,cZ”.DCG=Z“.ALCF=a

ACFCV2

DGCAFC

・・・乙AFC=乙DGC=135°

・・・^DGA=乙DGC一^AGC=135°-90°=45°

・・・^DGA=乙CFG=45°

・・・CF//DG

为等腰三角形有三种情况：①FH=BH②BF=FH③BF=BH,要分三种情

况讨论：

①当/时，作MUJ.BP于点M

B

H

由（1）可知：AB=BF,乙ABE=LEBF=a

.:四边形ABC。是正方形

AB=BC,^ABC=90。，^BAE=90°

设AB=BF=BC=a

•••将△/BE绕点3顺时针旋转90。得到△CBH

乙CBH=^ABE=a,BH=BE

•••Z.FBH=/.ABC-^ABF+乙CBH=90°-2a+=90°—a

•••FH=BH

乙HBF=乙BFH=90°-a

Z.FHB=180°-Z.FBH-乙BFH=2a

BFH是等腰三角形，BH=HF,HM1BF

乙BHM=乙FHM=a,BM=MF=-BF=-

22

在△/BE和^MHB中，

(Z.BAE=乙BMH=90°

t乙BHM=乙ABE=a

・・・△ABEMHB

・B・M・——=BH—二y1

AEBE

...BM=AE=-

2

BE=>]AE2+AB2=

AEV5

・•・sina^—=—

—BE5

②当BF=FH^,

设FH与BC交苴为O

A