浙江省金华第一中学2023-2024学年高三下学期模拟考试数学试卷含解析

项是符合题目要求的.1.复数与下列复数相等的是()【分析】应用复数的除法化简，结合复数的三角表示、各项的形式判断正误即可.【详解】由题设，故A、C、D错误；而故B正确A.M∩(@N)B.N∩(a,M)c.MU(aN)【分析】利用集合的交集、并集、补集的运算法则求解.【详解】由已知得集合M表示的区间为(0,3),集合N表示的区间为(0,16),则M∩(为N)=②,N∩(9M)=(3,16),MU(⁰N)=(-1,3)U[16,20],着红绿交替变换(东西向红灯的同时，南北向变为绿灯；然后东西向变为绿灯，南示一个周期内东西方向到达该路口等待红灯的车辆数，V表示一个周期内南北方向到达该路口等待红灯的车辆数，R表示一个周期内东西方向开红灯的时间，S表示一个周期内所有到达该路口的车辆等待时间的总和(不考虑黄灯时间及其它起步因素),则S的计算公式为()【分析】根据条件分别求出东西方向路口等待时间的总和及南北方向路口等待时间的总和，即可求解【详解】由题意得：又交通信号灯红绿交替变换时间周期为T,又一个周期T内，南北方向路口等待红灯的车辆数为V,则一个周期T内，南北方向路口等待时间总和为V(T-R)一个周期T内，到达该路口的车辆等待时间的总和S=HR+V(T-R),故选：B.4.在△ABC中AB·AC=4,BC|=2,且点D满足BD=DC,则AD|=()、BC、BC²=(AC-AB³²,结合向量数量积的运算律转化求模长即可。BC中点，则BC中点，则A所以又BC²=(AC-AB)²=AC²-2AC·AB+AB²=4,即AC²+AB²=4+2AC·AB=125.已知a【分析】应用诱导公式、商数关系可得最后庄求值即可再由和角正切公式展开求得tanα=-√3,所以un²a+2√Suna+3=0,则uma=-√5,,6.已知动直线l的方程为(1-a²)x+2ay-3a²-3=0,a∈R,P(V3,1),,O为坐标原点，过点O作直线l的垂线，垂足为Q,则线段PQ长度的取值范围为()A.(0,5)B.[1,5]c.(5,+o)D.(0,3)【分析】利用万能公式将直线方程化为xcosθ+ysinθ-3=0,求出过原点与直线1垂直的直线方程，进而得出点Q的轨迹为圆心为(0,0)半径为3的圆，进而转化为点到圆的距离即可求解.【详解】由(1-a²)x+2ay-3a²-3=0可得由题意可知过原点与直线1垂直的直线方程为xsinθ-ycosθ=0②,①²+②²可得x²+y²=9,即表示点Q的轨迹为圆心为(0,0)半径为3的圆，于是线段PQ长度的取值范围为[r-PO,r+PO],因为|PO|=2,所以线段PQ长度的取值范围为[1,5],故选：B.7.已知a∈R,函数f(x)=e+|x-a|+e-x-all,记f(x)的最小值为m(a),则().A.m(a)在(-o,0)上是增函数，在(0,+o)上是B.m(a)在(-o,0)上是减函数，在(0,+o)【分析】根据题意，得到f(x)=2max{e,|x-al},令g(x)=max{e,|x-al},分别讨论-1≤a≤1a>1或a<-1,三种情况，画出对应函数图像，结合图像，即可得出结果【详解】函数f(x)=e+|x-a|+|e*¹-|x-a||=2max{e,|x-al}令g(x)=max{e*,|x-al},①当-1≤a≤1时，g(x)的图象如图所示，m(a)=2g(x)=2,且g(x)在(-o,0)上单调递减，在(0,+o)上单调递增.②当a>1或a<-1时，g(x)的图象如图所示，g(x)min在点A或A₁处取得，xy-e”yA根据图形对称性知，m(a)=2g(x)min=2g(x₄)=2g(x₄),且当a>1时，g(x)在(-o,x₄)上单调递减，在(x₄,+o)上单调递增.当a<-1时，g(x)在(-≈,x)上单调递减，在(xx,+x)上单调递增所以f(x)=2g(x)的最小值m(a)在R上是偶函数故选：D.常考题型.值时，则B与D之间距离为()值BB₁FEADBBADC【答案】C【分析】过B和D分别作BE⊥AC,DF⊥AC,根据向量垂直的性质，利用向量数量积进行转化求解即可.【详解】解：过B和D分别作BE⊥AC,DFLAC,BBFADCE在矩形ABCD,AB=1,BC=√3,∴AC=2即EF=2-1=1,∵平面ABC与平面ACD所成角的余弦值为故选：C.9.在的展开式中，下列说法正确的是()【分析】根据二项式定理，的通项公式为T=C82⁸^(-1)^x⁸-2*,对于A,令k=4进行判断；对于B,令k=3和k=5计算判断即可；对于C,因为n=8,所以各项的二项式系数之和为2⁸=256可进行判断；对于D,令x=1即可进行判断.【详解】根据二项式定理通项公式为T=C2⁸-(-1)^x⁸-2*,对于A,常数项为C;2(-1)⁴=1120,故A正确对于B,第四项的系数为C;2⁸-³(-1)³=-1792,第六项的系数为C2⁸-(-1)⁵=-448,故B错误；对于C,因为n=8,所以各项的二项式系数之和为2⁸=256,故C正确；10.已知公差为d的等差数列{a,}前n项和为S,,若存在正整数n₀,对任意正整数m,S·S+m<0恒成立，则下列结论一定正确的是()确，由条件可得S·S+<0,S·S+2<0,可得S+,S+2同号，可判断D.【详解】由S·S+m<0知d≠0,否则S与S+m同号.①当d>0时，有a₁<0(否则S与S+m同号或S·S+m=0),②当d<0时，有a₁>0(否则S与S+m同号或S·S+m=0),故A正确对于选项B,因为d≠0,所以等差数列{a,}的前n项和S,满足S=kn²+bn(k≠0)又y=kx²+bx(k≠0)的图象是抛物线所以|S,必有最小值，故B正确.对于选项C,例如数列-1,2,5,L,选项C不成立.由S·S+m<0恒成立，可得S·S<0,S·S+2<0,不妨设S+I,S+2都为负，则S为正，且S+I>S+2,即a+l=Si-S<0,am+2=S+2-S+<0故选：ABDA,B两点(点A和点C在点B的两侧),则下列命题正确的是()A.若BF为△ACF的中线，则|AF|=2|BF|D.对于任意直线1,都有|AF|+|BF|>2|CF|选项【详解】设题意，设l:x=ky-2,不妨令A(xj,yi),B(x₂,y₂)都在第一象限，C(-2,0),F(2,0),**DABEC联立则y²-8ky+16=0,且△=64(k²-1)>0,即k²>1,所以y₁+y₂=8k,yy₂=16,则x+x₂=8k²-4,x₁x₂=4,如上图所示，所以B(1,2√2),则|AF|=4+2=6,BF|=1+2=3,则|AF|=2|BF|,故A正确；作AD,BE垂直准线x=-2于D,E,则A=|AR且所以,将入整理，得+-4x-12=(x-6)(x+2)=0,则x=6,所以|AF|=x₁+2=8,故B正确；此时|CD|=AD,即A(y-2,yi),所以y²=8y₁-16,所以y²-8y₁+16=0,所以y₁=4,所以y₂=4,则此时A,B为同一点，不合题设，故C错误D.AF|+BF|=|AD|+BE|=x+x₂+4=8k²,而2|CF|=8,结合k²>1,可得8k²>8,即|AF|+|BF|>2|CF|恒成立，故D正确.【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据抛物线的几何关系，转化为坐标运算12.已知数列{a,}是等差数列，数列{b,}是等比数列，若a₂+a₄+a₆=5π,b₂b₂b₆=3√3,则【分析】根据等差和等比数列的性质，再结合特殊角的正切值，即可求解,而【详解】由等差数列的性质可知，a₂+a₄+a₆=3a₄=5π,即根据等比数列的性质可知，b₂b₁b₆=b²=3√3,则b₄=√3,b₂b₆=b²=3【分析】利用完全平方式即可得到ab的范围.又(a+b)²=2+3db≥0得,14.已知ABC内接于单位圆，以BC,AC,AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A',B',C'.若∠ACB=30°,则。A'B'C'的面积最出∠A'CB'=90°,则A'B'C'的边长可通过勾股定理用AB中余弦定理关系，由基本不等式求出其最大值.【详解】如图，根据题意A'B'C'为等边三角形(拿破仑三角形),稍后证明.记BC=a,AC=b,AB=c=2r·sin∠ACB=1,.由余弦定理得A'B²=A'C²+B'C²-2A'C·B'C·cos∠A故A'B'=A'C'=B'C',即。A'B'C'为等边三角形.解得a²+b²≤4+2√3AB靠近点B的一个三等分点，AD=1.(1)若,求c;(2)若b²+4c²=11,求sin∠BAC值.【答案】(1)【分析】(1)由CD=2BD得，【小问1详解】在ABD中，根据余弦定理得AB²=BD²+AD²-2AD·BD·cos∠ADB再,;【小问2详解】16.如图在三棱锥P-ABC中，△PAC和△ABC均为等腰三角形，且∠APC=∠BAC=90,PB=AB=4.(1)判断AB⊥PC是否成立?并给出证明；(2)求直线PB与平面ABC所成角的正弦值.【答案】(1)AB⊥PC不成立，证明见解析；(2)【解析】【分析】(1)假设AB⊥PC,得AB⊥平面PAC,由线面垂直的性质可得AB⊥PA,与PB=AB=4矛盾，从而可得AB⊥PC不成立；(2)取AC的中点O,BC的中点G,证明AC⊥平面POG,进而可得平面ABC⊥平面POG,再取OG的中点H,证明PH⊥平面ABC,根据线面角的定义知∠PBH为直线PB与平面ABC所成的角，在直角三角形中求解.【详解】(1)AB⊥PC不成立，证明如下：假设AB⊥PC,因为AB⊥AC,且PC∩AC=C,所以AB⊥平面PAC,所以AB⊥PA,这与已知PB=AB=4矛盾，所以AB⊥PC不成立.(2)如图，取AC的中点O,BC的中点G,连接PO,OG,PG,由已知计算得PO=OG=PG=2,由已知得AC⊥PO,AC⊥OG,且PO∩OG=O,所以AC⊥平面POG,所以平面ABC⊥平面POG.取OG的中点H,连接PH,BH,则PH⊥OG,PH⊥因为PH=5,PB=4,平面ABC,从而∠PBH是直线PB与平面ABC所成的角，所以即直线PB与平面ABC所成角的正弦值为【点睛】本题主要考查线面垂直的判定与性质，直线与平面所成的角，意在考查考生的推理论证能力、空间想象能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象.17.已知函数f(x)=(cosx-1)e*.(1)求函数f(x)在x=0处的切线方程；(2)当x∈(0,π)时，求函数f(x)的最小值.【答案】(1)y=C【分析】(1)由导数的几何意义得出切线方程；【小问1详解】由f(x)=(cosx-1)e-*所以f(0)=0,f'(0)=0,函数f(x)在x=0处的切线方程y=0【小问2详解】,.,.所以单调递减；所以f()在单调递减；所以f(x)在单调递增，所以当时，函数f(x)取得最小值；(1)记总的抽取次数为X,求E(X);(2)现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个口袋中，甲袋装3个小球，其中2个是黑球；乙袋总抽取次数为Y,求E(Y)并从实际意义解释E(Y)与(1)中的E(X)的大小关系.(2)6,答案见解析【分析】(1)确定X可能取值为4,5,6,7,分别求出概率后，由期望公式计算出期望E(X);(2)Y可能取值为4,5,6,7,设甲袋和乙袋抽取次数分别为Y₁和Y₂,利用独立事件概率公式求得P(Y=k)(k=4,5,6,7)的概率，再由期望公式计算出期望E(Y),根据白球对取到黑球的的大小关系.【小问1详解】X可能取值为4,5,6,7,,,【小问2详解】Y可能取值为4,5,6,7,设甲袋和乙袋抽取次数分别为Y和Y₂,在将球分装时，甲袋中的黑球取完后直接取乙袋，若此时甲袋中还有其它球，则该球的干扰作用已经消失，所以同样是要取出4个黑球，调整后的方案总抽取次数的期望更低19.已知双曲线T:F为双曲线T的右焦点，过F作直线L交双曲线厂于A,B两点，过F(1)求双曲线T的离心率；3(2)若直线OP的斜率为2’求AB的值3(3)设直线AB,AP,AM,AN的斜率分别为k,k₂,k₃,k₄,且k₁k₂k₃k₄≠0,k₁+k₂≠