数理统计课后习题解答

数理统计课后习题解答

学院：电子与信息工程学院

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指导老师：

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时间:2015年1月21日

应用数理统计

第一章

2

L1解:已知总体X口则齐口N(4,J),

n

2

灭-〃口N(0二)

n

pfx-J<1}=尸{卜一“」<—}=0.95

11aa

J-----!—□N(0/)，从而上式P=(D(—)

CT(T

查标准正态分布表得①(1.96)=0.975,

n最小要取1.962CT2

1.2解：(1)单个元件寿命长于800小时的概率为

O00l5x800

P{X>800}=1-P{X,<800}=1-0.0015xe-=0,9995

该事件的概率为0.99956

(2)单个元件寿命短于3000小时的概率为

00()l5x3000-4

P{Xt<3000}=0.0015xe-=0.1666x10

/.该事件的概率为0.1666x10-i0

1.3解：(1)X1,X2,X3的联合概率函数为

34演+与+”3

Ps(X”々,X3)=nP(x，)=,,,e-算

i=\Xj!X2lx3!

(2)XhX2,X3的联合概率密度为

3

+

Z(x„x2,x3)=n/(x,)=/le-^^^

/=1

(3)XHX^X,的联合概率密度为

31

当a<七W力时，工(X”看,七)=II/(X，)=77一J

/=1(。一

3

当X,.取其他值时,£(为,)=n/(x,)=0

/=1

(4)X1,X2,X3的联合概率密度为

£（西.八）=立/⑴=Q口

i=\

1.4ft?：的联合概率密度为

.〃.1_2->^（lnx/-//尸

当0<x<8时，£（X1,...,x“）=n/（x,）=-;^—（2^-cr2）2e

,=1

Ei=kl

当X为其他值时，x,）=0

1.5证明：原式=tKX-又）+（X-a）］2

i=l

=力（乂—一）2+2（、-a这&_幻+汽（反—a）2

i=lr=l/=1

•；£（x；—又）=o

i=l

原式（Xj-又y+£（反-a）2=〃S?+£（又-a）2

i=li=li=l

当a=》时，力（X,有最小值且其值等于〃S?。

;=1

1.6证明：⑴等式左边=£引—2〃£X,+〃〃2

1=1/=1

等式右边=支X；_2反汽X,+nX2+nX2-2夜〃+nf.r

/=1/=!

〃“

222

=ZX；—2nX+nX+nX-2工X串+〃"

/=1/=1

=£X；-2〃tXi+nf.r

i=\i=\

=等式右边

命题得证。

2

（2）等式的左边=—2元£x,+〃区2=fX；-nX=等式的右边

j=lZ=1f=l

命题得证。

_]n1n_

L7证明：⑴元

1〃+11n1n

：.x.=——y%.=——（£x,+x“+j=——yx+

ll+/»+1,1l,1vZrfIw+l7,1l

〃+IMM+l—~7〃+1方〃+1

也+45+--匕）

〃+1〃+1

.*.命题得证。

1_1.+1_1

⑵S,"而五区一无+心商自匹-无一商（Z+/元）］2

1"+1_1_

=-7Z[（%一x,）---（x„+1-x.）F

〃+1富〃+l

i〃+i_2—_1_

22

=­Z[（^-^,）--（^-^）（^,+I-^）+—^T（^,+I-^）]

774-1TZf〃+l（724-1）

1«_1_1_

=—7Z（X,—£）2+I（X“M—尺）2--—7（X,,M-冗）2]

=用一元）2=号⑶+；（x.「£,）2]

命题得证。

1.10解：

（1）.E（力=£自£巧）,££（七）

〃/=1/=1

1

=—•np=p

n

一]〃]〃

。（入）=。（一》,）=。吸）

〃Z=1n/=1

_mpQ-p）

E"E（*（…¥）

1"

=-仇之(而2)-％]

=，£E(X：)_〃E点力

〃/=1

1"—一-

=-E(Z)(x,.)+E(x,.)2)-n(D(x)+E(x)2)]

=—[n(tnp(l-p)+m2p2)-n(-mp(\一0)+m2p2)]

nn

=---7W/?(l-p)

n

同理，

(2).E(X)=E(—Zx，)=—ZE(x，)=4

n,=]n,=i

0反)=。(巷外)=。°(4)

〃/=1〃，=】

=-2

n

ES),这项不2)一〃£丘力

1«___

=一[Z(D(x,)+E(x：>)-n(D(x)+E(x)2)]

ni=\

n

a+b

(3).

2

。(灭)=。(工££)=3£。(%)

〃/=1〃/=1

=3-。)2

12/7

1〃_

E(S2)=TZE(X：)_〃E(X)2]

〃,=1

=-K(。(毛)+£区)2)-〃(。3)+颐才)]

H/=!

_w-1(b-a)2

~~nX2~

_i«]”

(4).E(X)=E(—»A—£E(x-

i

n/=n/=1

。(斤)=。(1£匕)=二£。(不)

H/=1〃Z=1

n

i"_

E(S2)=—0E(X：)_〃E(X)2]

〃Z=1

=-E(。(%)+E(斤)一〃(。丘)+E&¥)]

〃I

n

_1n1n

(5).E(X)=E(—£xJ=-工E(xj=〃

n/=in/=1

一1n1n

Z)(X)=Z)(—2%)=不工。口)

ni=\n-/=1

_(T2

n

E(S2)="£E(X,2)—〃成)2]

1«——_

=一0(O(xJ+E(x,)2)_〃(。(x)+E(xy)]

〃/=1

n—12

=-----------(J

n

1.11解：由统计量的定义知，1,3,4,5,6,7为统计量，5为顺序统计量

1.12解：该样本的顺序统计量：42L-2.1,-0.1,・0.1,0,0,1.2,1.2,2.01,2.22,

3.2,3.21

样本中位数加"X,=占=°

(T)

样本极差—=为3一&=3.21—(-4)=7.21

抽取2.7后的顺序统计量：-4,-2.1,-2.1,-0.1,-0.1,0,0,1.2,1.2,2.01,2.22,

2.7,3.2,3.21

样本中位数加*=；(X7+玉)=。・6

1.16

~N(0,1),毛|,乜,X”是i.id

(J

有上幺，…，匕二幺也是i.i.d

CT(T

据定理1.2.1,有£(2?)~/(〃)

43)=P{Y”}=P{-<切=P[X<ky}

k

kyx

=j,fx(x)dx=Jkfx(ky)dy(y>0)

—QO—00

F久y)=*g

••・X~r(a,/I),，Fy'(y)=’^3>0)

「(a)

.1.r-r(a,u)

1.18

•••x□伙a,b)

13(q+l,b)

E(X)=jxax)h^dx-

B(a,b)0B(a,b)

又.•加力)=黑翳，/+】)="⑷

「(a+l)=S)_a「(a)「S)a

：.5((74-1,6)=B(a,b)

r(a+b+l)(a+b)r(a+b)a+b

・"亲

E(X2)=―1—fxa+1(1-x尸dx8(。+2,6)a(a+l)

B(a,b)(a+h)(a+6+1)

ab

・•.D(X)=E(X2)-E2(X)=

g+b)2(a+b+l)

1.19解：：XE3F(〃,”?)分布

nn

P（r<y）=P（-X/（l+-X）<y）

m/m

P（X<-y）

War）

=向+y）工广（i+4产公

Jor（|）r（y）mmm

f（y）=Pf（Y<y）

=「（哨（上/T（1+上）-号_L^

v7

r（1）r（f）i-yi-/（i—刃2

_产（5产

B墙盘）

y='x/（i+'x）口"看遣）分布

m/m

1.20解：：X口/（〃）分布

""）=P（X2”）

=p（-6&x&6）

=2

0n

f（y）=P'（Y<y）

>/〃乃r（g）n

=朦山（1+］消（上产

r（1）r（1）nnn

丫=X2口/（1,］）分布

1.21解:（1）；XDN（8,4）分布

-45（：-8）口Ng）

:.X口N（8,——）分布,即

25

样本均值落在7.8□8.2分钟之间的概率为：

P(7.8-M8.2)=P(电以号以笔出)

=0.383

(2)样本均值落在7.5口8分钟之间的概率为:

尸(7.5«XK8)=P(^|^K，《竺)

=P(0<5^-8^<1.25)

=0.3944

若取100个样品，样本均值落在7.5口8分钟之间的概率为：

P(7.84148.2)=尸(吗-8)<10(X-8)<10(82-8))

=2*(0.8413-0.5)

=0.6826

单个样品大于11分钟的概率为：^=1-0.7734=0.2266

25个样品的均值大于9分钟的概率为P2=1-0.9798=0.0202

100个样品的均值大于8.6分钟的概率为乙=1-0.9987=0.0013

所以第一种情况更有可能发生

1.23解：⑴：X口N(0,4)分布

_CT2

・・・%□7V(0,——)分布

e22-，，G又2

心X)2=an2X2-ancr2(------)2

/=1°

a=——

nb

同理—L

mo

(2)VX口N(0,cr2)分布

W•口72(1)分布

(7

由％2分布是可加性得：力与□/(〃)

Z=1b

苗X,4nX

cGb叵

/=1(J□t(m)

⑶由（2）可知

d£x：

i=l

n+m□F(n,m)

/=«+!

：.d=—

n

1.25证明:；X口N（M）分布

・•・⑴

・•・£（第皿加

同理）7皿3

“2°■这区-自)2之(生与/外

M5/

i=l

口E(〃|,〃2)

2

〃lb；£(Z-4)2X(^)A

J=1/=I0-2!

第二章

1—1—

2.1解：⑴X〜弥(4),；总体均值〃=一，令。=X,即==丫，

4A

...参数4的矩估计为上。

X

(2)X〜U(a,b),•.•总体均值〃=与，令"=又，即q)=了.........(1)

又•••总体方差o"2=色二"令《2=s2,即-=S?.................................(2)

1212

联立(1)(2),得：&=收-底,B=5+GS

'].a_f)—

(3)•;a,=E(X)=JxOx°-'dx=J0x°dx=,令«=丫，即二=X

oo8+18+1

Y

：.参数6的矩估计为上=。

l-X

(4)=E(X)=[x——x"微dx=fepxdx^—,令

\(%-1)!](D!B

：.参数月的矩估计为《0

•KM[

A(xa)

(5)Vax=E(X)=JxAe~~dx=a+-,

+811

%=E(X?)=jx2Ae'2(x-fl)Jx=(a+j)2+^

22

令4+9=m，(a+l)+J?=-^X,,解之得

(6)，・,总体均值M=加夕，令口=X、BPmp=X,

V

・・・参数p的矩估计为一。

m

2.2解：⑴X〜&p（/l）,则X的概率密度为/（局4）=］&，X>0

0,x<0

"一月乙不

，/1的似然函数为£(/1)=1[(笈"”)=矛2fel,(x,.>0,z=1,2,­••,«)

对数似然函数为InL(/l)=〃In2—x,.

.51nZ(/l)2/

令--------=----/

dA〃占

Ani

解得

f=l

.../I的极大似然估计量几=

,a<x<b

⑵X〜U(a,b),X的概率密度为j\x-,a,b^\b-a

0,其他

由于4«西户2,…，％Wb,等价于a4x（i）,x（“）<b,,

1

-------,a

作为a,b的函数的似然函数为L（a,b）=\（b-ay

0,其他

对于满足条件aWx（］）,x（,）<6的任意2,1）有£（4/）=-^———<---------------

(b—a)(玉“)-x([))

即L（a,b）在a=x（］）,b=x（,）时取到最大值（%“）一工⑴）一"。

a,b的极大似然估计值为a=x（i）,b=x（“）

⑶e的似然函数为L（e）=j］（。短）=e"（Y\x,产，其中（o<X1,吃,…,毛<i）

对数似然函数为InL(6)=〃Ine+(，-1)(£Inxj

n

解得，0=--——

f=I

・・・。的极大似然估计量是。人=-—72—

1>X,

e-网、

/

对数似然函数为InL(/3)=nk\n/3-nln[(w-1)!]+(左一1)fInx「xi

i=\/=1

令四幺竺*£=o

得，B=*=t

Ex/，

/=1

...夕的极大似然估计量是2=£

⑸4。的似然函数为

n/I

A(Xia)nMia}

L(A,a)=]j[Ae"=Xe=A"e,(x19x2,---,xw>a)

i=\

由上式易知，a<min(x(/))=x(1),当。二工⑴时，A(4a)取最大值，

on11

・・丸=--------=-----=------

x-ax-x

x-nam⑴

Ef

f=1

-1

A2的极大似然估计量为2=------,。的极大似然估计量为&=X(n

亍-/(,)

(6)X的分布律为P{X=x}=C>x(l-p)"f,x=0,1,…加

nn

nn/.xi

•••似然函数为〃P)=1[[GP*(1—P)"f]=(□4)*-.(I-P)H

/=1/=1

对数似然函数In上(p)=VInC：+(X七)Inp+(〃•m-X玉)ln(l-p)

/=]i=1i=l

d£Xjn-m-Xxi

令上-InL(p)=史----------J=0

dpp1-72

n

力玉X

解得)=二」=±

nmm

・・・P的极大似然估计量力=±

m

2.3解：X的概率因数为P{x=Q=Ml—P)z(A:=1,2,……)

：.p的似然函数为:z（p）=n—口严］=p”a—P）-"（i_0）t

/=1

对数似然函数为LnL(p)=nLn(p)一一p)+Z为£〃(1一p)

i=\

令3£〃(p)

.•./+〃J---L£x,=/+〃，-o

pi-/?i-ppi-p]—p

解得p的极大似然估计为力=二,

X

•••P的极大似然估计为力=2.

X

2.4解：山题知X应服从离散均匀分布,

1

1WN

p(x=k)=<N

0其它

N

E(X)~2

矩估计：令一=710.•.JV=1420

2

1

极大似然估计：•••£（"）=1犷1<710<^

0其它

要使L(N)最大，则N=710

JV=710

2.5

令”:口~

(7

+3=0।(K-n-+K0O0]

J—j—=~~c2°dx=J,—c2du=0.025

0J27rb8—NJ27r

•6—〃—

,二”0.975

(J

?.0=1.96cr+〃

又的极大似然估计分别为x,s2

.•/=1.96日+/=1.96斤+又

2.6解：⑴7?=X(“)-X(|)=2.14-2.09=0.05

a=—=0.4299*0.05=0.21495«0.0215

“5

(2)把这些数据等分为三组，每组6个数据：

2.14,2.10,2.15,2.13,2.12,2.13,

2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,

2.11,2.14,2.10,2.11,2.15,2.10,

4=0.05,R>-0.05,R3-0.05

-1

R=-(0.05+0.05+0.05)=0.05

a=—R=0.3946x0.05=0.0197

2.7解：(1)x服从均匀分布。(e,e+i)

0+0+1(e+i—op1

E(X)D(x)=

21212

•_巴i卒«七i,»区)=—=%i

x是。的有偏估计量，其偏差为E(x)-e=j

--1-—1—111

(2)V^Y=X--,-：E(Y)=E(X-^)=E(X)-E(^)=&+---=&

—1

X-士是。的无偏估计量。

2

(3)均方误差为

(万超)=0(又)+[E(5)一+但+_L__L)2=J_+4

n2212〃

121212

2.8证明：；E^)^E(-X1+-X2)^-EX1+-EX2^-^+-^^p

32

E(口C=《EX\+飞EX1=N

附)=；%+；%=〃

出,4，人都是4的无偏估计量。

45

1212

。3)=叱乂+产=产+9-29-

o417

D@)=—DX\+—DX,=—(y2

-25125225

1110

。(%)=产1+严2=”

v。(4)最小•••估计量A最有效。

2.9解：要使c£(X,u-王)2为er2的无偏估计，需£(。£。川-X,)2]=〃

»-1、(n-\、

cjM「4)2=CE\马-2X,.J,+X,2)

(/=17k/=1)

,一!，一!.一1

=C2醺片1)-2ZE(XQE(XJ+ZE(X；)

_/=1i=\i=l_

=。[£[。(屏|)+£(")2]_2£以X川)£(王)+£卬(％)+4%)2卜

、/=1/=1/=1,

=1)(4+M2)-2(/?-1)M2+(??-1)(M2+〃)]

=2C(M-1)CT2

...C

2(n-1)

2.10证明：X〜尸(㈤，E(X)=LD(X)=2

E[aX+(1-a)S*2]=a£(X)+(1-a)E(S*2)=aX+(1-a)4=4

:.命题得证。

2.11

令瓦€%所以£(①)=0

2屋今wg噜…

须。的)?方仇的=。

•・，&%。(左)=0.-.e"£"-%°(Z)=0

令/二一4

k=\k!a=]无！

...fIz^r3。⑻=0E(/。)=£乙丸_1)娱=WIz^-花。=0

*=iA!k=ik!*=ik\

0=(-1/是e=e-22的唯一无偏估计。

2.12

设g(X)是p2的无偏估计

•••XU6(1,p)

•••E(g(X))=g⑴p+g(O)(l-p)=[g(l)-g(O)]p+g(0)#p2

所以p?的无偏估计不存在

2.13证明：(1)X〜3(l,p),E(X)=p,D(X)=p(l-p)

E(X2)=D(X)+E(X)2=+P27P2

n

：.命题得证。

⑵E(X&)=E(M)E(X“)=pxp=p2

命题得证。

1_

⑶•••/(p)，则有

P(l—P)

4P2/

”/(p)/=4P2______________1______________

/D(XE)nE(XjX,,2)-E(X|X“)2

P(l-P)

4P3(1一p)1=4p3(l-p)

p2一/74〃(夕2—禺

2.14解：泊松分布尸{X=x}=-e-"即分布律是p(x；/l)=—eT(x=0,l,2,i)

xlxl

则有Inp(x;2)=xln/l-2-ln(x!)

A1(A)=E[-I~\np(X;2)]2=E(y-l)2=

OA,/t/t

已知E(X)=/L,D(X)=；l

设T是。即外的无偏估计量，则有

国(到24分4分

D(r)>

〃/(2)/n

I

423

二参数。的无偏估计量的R-C下界是丝-。

2.15解：因为，是8的有效估计量

£,(«)=E(a0+b)=aE(0)+b=a0+b=u

D(u)=D(a0+b)=a2D(0)</。(«)

(其中，@是。的任意无偏估计量中的一个)

所以自是〃的有效估计量

产{乂=加占=9,叫X.二怎|灭=先="":花吗：=Z，X=x}

___]MX

P{Xx=x1,X2=x2^W,Xn=xn,X=x}=-^—e

n%!

/=1

___XX-XiX-Xi-X2^-Xn_}1

P{X=x}=/T5ZE™E—

$=0x2=0xn=0]]x,I

/=1

反=q=]]_______

・••P{X|=X],x?—x2,nnn,x“=xnI~'〃XX-X1》一项一刀2皿1X”-1

Eh!"皿Y-

‘'=1x(=0x2=0xw=0

/=1

P{Xl=x[,X2=x2，皿IX“=xn\x=*不依赖于2

又是/l的充分统计量。

2.21

(1)

•.•X0ExpQ)：.E(X)=j,D(X)=

设OoeU。;.E(3o)=O

+CO+00

w,aX

「.JEHUj0o(Xj,x2W)cn)Ae~dx{dx2\Wdxn=0

00

两边对力求导：

4-00+00_]

nAx

「JUDj0Q(XJ,x2Wxn)nVe~(----x)dxxdx1Wdxn=0

00%

£(^o(--x))=0E(0oX)=0

A

—/1

又「E(X)=E(X)=-

—1

X是一的一致最小方差无偏估计。

A,

(2)

—11

Z)(X)=-Z)(X)=-

L(X“)=2"”Q，

In£(x;4)=〃In4—nAx

^ln£(x;A)1—、

=«(z--%)

siA

：./⑷=£产*;"))2=〃24文_J)2=〃2°(©=n

OAAA

1

[gV)]2_r_1

nIWnJL/储

回⑷]2

.-.D(X)丰

M/(A)

—1

X不是上的有效估计。

K"rryfn(^X—A)

2.24解：。=—\=~-，当n充分大时,根据中心极限定理，U近似服从N(O,1)分布

因此〃充分大时，P^U\<ua/2}^l-a

即>«1-a

P"2VMy<U/2

I7人

将不等式一心2<■臂㈤<Ual2化成

于+-4^-(w«/2-“22+4而)<2<x+(%/2++4而)

2n2n

所以2的置信度近似为1-a的置信区间为

(亍+("a/2一+4疝^),x+(ua/2+y]ul/2+4nx)]

IIn2/7)

2.26解：因为总体服从正态分布，所以

.=〃(*〃)口Mo」)

a

对于给定的l-a,查标准正态分布表可得％2,使得P(|U|<%2)=l-a

即：

_S_s

尸(X-7”a/2<P<X+a/2)=1-a

(y

区间的长度d=2<L,

4b2嗫

所以

2.27解：X满足8(1,p)分布

因为p的置信度近似为1-a的置信区间为

22

—(6-yjb-4ac),-(6+y]b-4ac)\a-n+ul/2,b-2rix+ul/2,c-nx

2a2a)

精度为0.04,抽样得》=0.72

所以区间应为(0.68,0.76)

\lb2-4ac

即”——竺_=0.08，解得n工485

a

2.30解:⑴

in——*21—\2676.4

n=10,x=576.4,5=--->(xz-x)=-----

〃-1片9

总烟(9)=19.032,君.9)=2.7

所以得置信区间为

，l)s”(«-1)/](676.4676.41

〔焉2(〃—1)屋a/2(〃T)J119.0322.7广

。的置信区间为(5.963,15.829).

⑵尤。5(9)=16.919

<T2的单侧置信下限为『1"=包组=39.979

竭(〃-1)16.919

所以b的单侧置信下限为6.3229.

__r»2o2

2.33解：大样本时，(X-丫)〜N(M—一~—~)

~nn

.二M-〃2的置信区间为((X-丫)+Ua12~)

〃=100斤=171百=3.57=161S2=3.8

S

—0.5166“a/2="0025=L96

从-4的置信区间为强.9874,11.0126]

b阳二

2.35解：一^〜尸（勺一1,〃2-1）

07九

的置信区间为

#/%(〃「1,2-1),卡产回2(〃-1，〃2T)]

单侧置信下限为%

单侧置信上限为q,*2

2/J2

n{-n2-10

S：=S：=0.5419S；：=S；=0.6065

1B|勺一1冽々一1B

ST—…。32,9)=小1

T03

1

入05(9,9)=-—=3.18

005弓95。,9)

端/b；的置信区间为[0.2217,3.6008]

单侧置信下限为0.2810,单侧置信上限为2.8413

第三章

3.1证明:

(1x25):5x<-1.645)=^(-1.645)=1-(p(\.645)=1-0.95=0.05

(2).P{(X„...,X25):1.48<5X<2.066)=夕(2.066)-夕(1.48)=0.9806-0.9306=0.05

(3).P{(xp...,x25):5x<—1.96}o{(x,,...x