山东省烟台市莱州玉皇中学高一数学文联考试题含解析

山东省烟台市莱州玉皇中学高一数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知一个长方体的同一顶点处的三条棱长分别为1，，2，则其外接球的表面积为A．

B．

C．

D．

参考答案：D2.已知函数，则f(-2)的值为（

）A．1

B．2

C．4

D．5参考答案：C略3.过两点A(4，y)、B(2，－3)的直线的倾斜角是45°，则y等于()A．－1B．－5

C．1

D．5参考答案：A略4.设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0，恰有4个不同的实数根，则实数a（a＞0，a≠1）的取值范围是（）A．（，1） B．（1，4） C．（1，8） D．（8，+∞）参考答案：D【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意求得函数的周期，根据偶函数的性质，及当x∈[﹣2，0]时，函数解析式，画出函数f（x）的图象，则数y=f（x）与y=loga（x+2），在区间（﹣2，6）上有四个不同的交点，由对数函数的运算性质，即可求得a的取值范围．【解答】解：对于任意的x∈R，都有f（2+x）=f（2﹣x），∴f（x+4）=f[2+（x+2）]=f[（x+2）﹣2]=f（x），∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4．又∵当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，若在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0，恰有4个不同的实数解，则函数y=f（x）与y=loga（x+2），在区间（﹣2，6）上有四个不同的交点，如下图所示：又f（﹣2）=f（2）=f（6）=1，则对于函数y=loga（x+2），根据题意可得，当x=6时的函数值小于1，即loga8＜1，由此计算得出：a＞8，∴a的范围是（8，+∞），故选D．5.已知函数是奇函数，若，则m的取值范围是（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】由题意首先求得m的值，然后结合函数的性质求解不等式即可.【详解】函数为奇函数，则恒成立，即恒成立，整理可得：，据此可得：，即恒成立，据此可得：.函数的解析式为：，，当且仅当时等号成立，故奇函数是定义域内的单调递增函数，不等式即，据此有：，由函数的单调性可得：，求解不等式可得的取值范围是.本题选择C选项.【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．6.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（

）A.1盏 B.2盏 C.3盏 D.4盏参考答案：C【分析】由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列前项和公式列出方程，即可求出塔的顶层的灯数。【详解】设这个塔顶层有盏灯，宝塔一共有七层，相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、为首项的等比数列，，解得：，故答案选B【点睛】本题主要考查等比数列的定义，以及等比数列前项和公式的实际应用，属于基础题。7.三棱锥的高为，若，则为△的（

）A．内心

B．外心

C．垂心

D．重心参考答案：B略8.直线与圆相交于两点，若，则k的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略9.圆:与圆:的位置关系是A．相交 B．外切 C．内切 D．相离参考答案：A10.已知奇函数在为减函数，且，则不等式的解集为

A.

BC.

D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数（，）的图象必过定点P，P点的坐标为

．参考答案：(2,2)函数的图象可以看作把的图象向右平移一个单位再向上平移2个单位而得到，且一定过点，则应过点12.若，则与垂直的单位向量的坐标为__________。参考答案：

解析：设所求的向量为13.函数的部分图象如图，则

.参考答案：6由图可知，，∴.

14.满足条件｛0，1｝∪A={0,1}的所有集合A的个数是

个参考答案：415.函数的最小正周期为．参考答案：【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的周期等于T=，得出结论．【解答】解：函数的最小正周期为，故答案为：．16.如图所示为某几何体的三视图，则该几何体最长棱的长度为_____，体积为______.参考答案：

【分析】先找到三视图对应的几何体原图，再求最长的棱长和体积.【详解】由三视图得几何体原图是如图所示的四棱锥P-ABCD,底面是边长为2的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD,PA=2,所以最长的棱为PC=,几何体体积.故答案为：

【点睛】本题主要考查三视图还原几何体和几何体体积是计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.17.若圆与圆外切，则的值为

．参考答案：3或-5

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.高一年级共有学生1500人，为了了解某次考试数学成绩的分布情况，从50个考场的1500名考生中抽取了每个考场中的3号和23号考生的成绩组成样本，这100名考生的成绩都在区间内，样本频率分布表如下：(Ⅰ)指出本题中抽取样本的方法，并求出表中w的值；(Ⅱ)作出样本频率分布直方图；(Ⅲ)根据样本估计全年级数学成绩在130分以上的人数.参考答案：解：(Ⅰ)本题中抽取样本的方法是系统抽样，表中w的值是0.15；----------------4分(Ⅱ)样本频率分布直方图如图；

----------------10分(Ⅲ)根据样本估计全年级数学成绩在130分以上的人数.从频率分别表中可以得出成绩在区间的频率约为0.15，

---------12分所以成绩在区间上的频率约为0.30，所以成绩在上的人数大约有450人.----------14分略19.已知向量=（cosx+sinx，1），=（cosx+sinx，﹣1）函数g（x）=4．（1）求函数g（x）在[，]上的值域；（2）若x∈[0，2016π]，求满足g（x）=0的实数x的个数；（3）求证：对任意λ＞0，都存在μ＞0，使g（x）+x﹣4＜0对x∈（﹣∞，λμ）恒成立．参考答案：【考点】根的存在性及根的个数判断；平面向量数量积的运算．【分析】（1）求出函数解析式，即可求函数g（x）在[，]上的值域；（2）g（x）=0，可得x=，k∈Z，利用x∈[0，2016π]，求满足g（x）=0的实数x的个数；（3）分类讨论，可得当x≤时，函数f（x）的图象位于直线y=4﹣x的下方，由此证得结论成立．【解答】（1）解：向量=（cosx+sinx，1），=（cosx+sinx，﹣1），∴函数g（x）=4?=4sin2x．∵x∈[，]，∴2x∈[，]，∴sin2x∈[，1]，∴g（x）∈[2，4]；（2）解：g（x）=0，可得x=，k∈Z，∵x∈[0，2016π]，∴∈[0，2016π]，∴k∈[0，4032]，∴k的值有4033个，即x有4033个；（3）证明：不等式g（x）+x﹣4＜0，即g（x）＜4﹣x，故函数g（x）的图象位于直线y=4﹣x的下方．显然，当x≤0时，函数g（x）的图象位于直线y=4﹣x的下方．当x∈（0，]时，g（x）单调递增，g（）=2，显然g（）＜4﹣，即函数g（x）的图象位于直线y=4﹣x的下方．综上可得，当x≤时，函数g（x）的图象位于直线y=4﹣x的下方．对任意λ＞0，一定存在μ=＞0，使λμ=，满足函数g（x）的图象位于直线y=4﹣x的下方．20.（本题满分12分）旅行社为某旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15000元，旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数不超过35人，飞机票每张收费800元；若旅游团的人数多于35人，则给予优惠，每多1人，机票费每张减少10元，但旅游团的人数最多不超过60人，那么当旅游团的人数为多少时，旅行社可获得最大利润？最大利润是多少？参考答案：设旅游团的人数为人，飞机票为元，依题意得，当时，；当时，；设利润为，

…6分当时，，当时，

，又当时，，答：当旅游团人数为人时，旅行社可获得最大利润元。……12分21.计算下列式子的值：（1）；（2）．参考答案：【考点】同角三角函数基本关系的运用；三角函数的化简求值．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；三角函数的求值．【分析】（1）由条件利用对数的运算性质，计算求得结果．（2）由条件利用诱导公式，计算求得结果．解：（1）原式====1．（2）原式==．【点评】本题主要考查对数的运算性质，诱导公式的应用，属于基础题．22.如图，在三棱柱中，⊥底面，且△为正三角形，，为的中点．(1)求证:直线∥平面；(2)求证:平面⊥平面；(3)求三棱锥的体积．参考答案：（1）证明：连接B1C交BC1