重难点08 解直角三角形及其应用（解析版）-2024中考数学查缺补漏

重难点08解直角三角形及其应用考点一：特殊角的三角函数值及其运算锐角三角函数的定义和运算是中考数学中的必考考点，单独考察时虽然难度不大，但是也需要熟记对应考点。其中特殊角的三角函数值是必须记住的。题型01锐角三角函数的定义易错点：解直角三角形相关：在Rt△ABC中，∠C=90°AB=c，BC=a，AC=b三边关系：两锐角关系：边与角关系：，，，锐角α是a、b的夹角面积：【中考真题练】1．（2023•攀枝花）△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．已知a＝6，b＝8，c＝10，则cos∠A的值为（）A． B． C． D．【分析】先利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再利用三角形的边角间关系得结论．【解答】解：在△ABC中，∵a＝6，b＝8，c＝10，a2+b2＝62+82＝36+64＝100，c2＝100．∴a2+b2＝c2．∴△ABC是直角三角形．∴cosA＝＝＝．故选：C．2．（2023•衢州）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆，AB＝b，AB的最大仰角为α．当∠C＝45°时，则点A到桌面的最大高度是（）A． B． C．a+bcosα D．a+bsinα【分析】过点A作AF⊥BE于F，过点B作BG⊥CD于G，利用解直角三角形可得AF＝bsinα，BG＝a，根据点A到桌面的最大高度＝BG+AF，即可求得答案【解答】解：如图，过点A作AF⊥BE于F，过点B作BG⊥CD于G，在Rt△ABF中，AF＝AB•sinα＝bsinα，在Rt△BCG中，BG＝BC•sin45°＝a×＝a，∴点A到桌面的最大高度＝BG+AF＝a+bsinα，故选：D．3．（2023•益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，有三点A（0，1），B（4，1），C（5，6），则sin∠BAC＝（）A． B． C． D．【分析】过C作CD⊥AB交AB延长线于D，计算出CD、AC的长，根据正弦计算方法计算即可．【解答】解：过C作CD⊥AB交AB延长线于D，∵A（0，1），B（4，1），C（5，6），∴D（5，1），∴CD＝6﹣1＝5，AD＝5，∴AC＝5，∴sin∠BAC＝＝，故选：C．4．（2023•宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则sin∠ABC＝．【分析】连接AC，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°，根据正弦的定义计算，得到答案．【解答】解：如图，连接AC，由勾股定理得：AB2＝22+42＝20，BC2＝12+32＝10，AC2＝12+32＝10，则BC2+AC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴sin∠ABC＝＝＝，故答案为：．5．（2023•常州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在边AB上，连接CD．若BD＝CD，＝，则tanB＝．【分析】设AD＝t，根据已知表示出AC＝2t，AB＝AD+BD＝4t，即可得tanB＝＝＝．【解答】解：设AD＝t，∵BD＝CD，＝，∴BD＝CD＝3t，∴AC＝＝2t，AB＝AD+BD＝4t，∴tanB＝＝＝，故答案为：．【中考模拟练】1．（2024•绥化模拟）在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（）A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB【分析】根据正弦、正切的定义计算，判断即可．【解答】解：A、sinB＝，则b＝csinB，本选项说法错误；B、b＝csinB，本选项说法正确；C、tanB＝，则b＝atanB，本选项说法错误；D、b＝atanB，本选项说法错误；故选：B．2．（2024•湖州一模）如图，小明想利用“∠A＝30°，AB＝6cm，BC＝4cm”这些条件作△ABC．他先作出了∠A和AB，在用圆规作BC时，发现点C出现C1和C2两个位置，那么C1C2的长是（）A．3cm B．4cm C．2cm D．2cm【分析】过点B作BM⊥AC2于点M，根据含30°角的直角三角形的性质求出BM＝3cm，根据等腰三角形的性质、勾股定理求出C1M＝C2M＝cm，根据线段的和差求解即可．【解答】解：过点B作BM⊥AC2于点M，∵∠A＝30°，BM⊥AC2，AB＝6cm，∴BM＝AB＝3cm，∵BC1＝BC2＝4cm，BM⊥AC2，∴C1M＝C2M＝＝cm，∴C1C2＝2cm，故选：D．3．（2024•越秀区一模）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰△ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝40cm，则高AD为10.2cm．（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）【分析】先利用等腰三角形的三线合一性质可得BD＝20cm，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝BC＝20（cm），在Rt△ABD中，∠ABC＝27°，∴AD＝BD•tan27°≈20×0.51≈10.2（cm），∴高AD约为10.2cm，故答案为：10.2．4．（2024•温州模拟）“圭表”是中国古代用来确定节气的仪器．某“圭表”示意图如图所示，AC⊥BC，AC＝3米，测得某地夏至正午时“表”的影长CD＝1米，冬至时的正午太阳高度角∠ABC＝α，则夏至到冬至，影长差BD的长为（）A．（3sinα﹣1）米 B．米 C．（3tanα﹣1）米 D．米【分析】根据垂直定义可得∠ACB＝90°，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∠ABC＝α，AC＝3米，∴BC＝＝（米），∵CD＝1米，∴BD＝BC﹣CD＝（﹣1）米，∴影长差BD的长为（﹣1）米，故选：D．5．（2024•西湖区一模）如图，在4×5的网格中，每个小正方形的边长均为1．若△ABC的顶点都在格点上，则sinC的值为．【分析】连接格点B、D，利用勾股定理先求出AB、AD、BD、BC的长，再利用勾股定理的逆定理判断△ABD是直角三角形，最后利用直角三角形的边角间关系得结论．【解答】解：连接格点B、D．由题图知：AB＝＝，BC＝＝，BD＝＝2，AD＝＝．∵AD2+BD2＝2+8＝10，AB2＝10，∴AD2+BD2＝AB2．∴△ABD是直角三角形．∴∠ADB＝90°．∴∠BDC＝90°．在Rt△BDC中，sinC＝＝＝．故答案为：．6．（2024•雨花台区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CD＝3，tanA＝，则AB＝6.5．【分析】根据CD⊥AB，得出tan∠BCD＝，再根据∠A＝∠BCD，得出tan∠BCD＝，根据CD＝3，则BD＝2，AD＝4.5，即可得出AB的长．【解答】解：∵CD⊥AB，∴tan∠BCD＝，∵∠ACB＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴tan∠BCD＝tanA＝＝，∴＝＝，∴BD＝2，AD＝4.5，∴BC＝AD+BD＝6.5．故答案为：6.5．题型02含三角函数的实数的运算易错点：特殊角的三角函数值表αsinαcosαtanα30°45°60°特殊角的三角函数值，可以直接记数值，也可以记定义，然后现退对应函数值，但显然，直接熟记对应数值会便捷很多。【中考真题练】1．（2023•云南）计算：|﹣1|+（﹣2）2﹣（π﹣1）0+（）﹣1﹣tan45°．【分析】利用绝对值的性质，有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行计算即可．【解答】解：原式＝1+4﹣1+3﹣1＝4+3﹣1＝6．2．（2023•内蒙古）计算：|﹣2|+（π﹣2023）0+（﹣）﹣2﹣2cos60°．【分析】根据绝对值的性质、零指数幂和负整数指数幂、特殊角的三角函数值计算即可．【解答】解：原式＝2﹣2+1+4﹣2×＝2﹣2+1+4﹣1＝2+2．3．（2023•眉山）计算：（2）0﹣|1﹣|+3tan30°+（﹣）﹣2．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．【解答】解：原式＝1﹣（﹣1）+3×+4＝1﹣+1++4＝6．4．（2023•泸州）计算：3﹣1+（﹣1）0+2sin30°﹣（﹣）．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及减法法则计算即可求出值．【解答】解：原式＝+1+2×+＝+1+1+＝（+）+（1+1）＝1+2＝3．5．（2023•北京）计算：4sin60°+（）﹣1+|﹣2|﹣．【分析】根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质计算．【解答】解：原式＝4×+3+2﹣2＝2+3+2﹣2＝5．6．（2023•湘西州）计算：（π+2023）0+2sin45°﹣（）﹣1+|﹣2|．【分析】先计算零次幂，特殊角的正弦值，负指数幂，求解绝对值，再合并即可．【解答】解：＝＝＝1．【中考模拟练】1．（2024•历城区一模）计算：．【分析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值、开平方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【解答】解：＝1+4×+﹣2＝1+2+﹣2＝．2．（2024•雁塔区模拟）计算：．【分析】首先计算乘方、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【解答】解：＝﹣|2×﹣2|﹣4＝3﹣|﹣2|﹣4＝3﹣（2﹣）﹣4＝3﹣2+﹣4＝﹣3．3．（2024•南山区二模）计算．【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．【解答】解：原式＝4﹣（3﹣）﹣2×+1＝4﹣3+﹣+1＝2．4．（2024•南山区二模）计算：．【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开平方、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【解答】解：＝2﹣1﹣3+﹣1+＝﹣．5．（2024•文山州一模）计算：．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：＝2+1﹣2×+（﹣2）﹣1＝2+1﹣﹣2﹣1＝﹣2．考点二：解直角三角形及其应用解直角三角形的应用主要包含解答题中的仰角、俯角问题；坡角问题；方位角问题等。另外还经常会和圆、三角形、网格等几何图形结合，计算中需要更加仔细一点。题型01解直角三角形的计算解题大招01：解直角三角形口诀“直乘斜除，对正临余”——求直角三角形的直角边，多用乘法；求斜边，多用除法。求已知角的对边，多用正弦或正切值；求已知角的临边，多用余弦值。常见辅助线：做垂线解题大招02：此类计算更多的是注意审题，因为题目中可能会要求精确位数，或者保留几位有效数字，这时候要注意，一般计算到最后一步才带入参考数据计算，然后四舍五入。【中考真题练】1．（2023•广元）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），点B（0，﹣3），点C在x轴上，且点C在点A右方，连接AB，BC，若tan∠ABC＝，则点C的坐标为（，0）．【分析】设C（a，0），结合A，B两点的坐标利用两点间的距离可得OA＝1，AC＝a﹣1，OB＝3，BC＝，通过解直角三角形可得∠OBA＝∠ABC，过C点作CD∥y轴交BA的延长线于点D，利用平行线的性质可得△OBA∽△CDA，∠ABC＝∠D，列比例式再代入计算可求解a值，进而可求解．【解答】解：设C（a，0），∴OC＝a，∵点A（1，0），点B（0，﹣3），∴OA＝1，AC＝a﹣1，OB＝3，BC＝，在Rt△OAB中，tan∠OBA＝，tan∠ABC＝，∴∠OBA＝∠ABC，过C点作CD∥y轴交BA的延长线于点D，∴∠OBA＝∠D，∠AOB＝∠ACD，∴△OBA∽△CDA，∠ABC＝∠D，∴，CD＝BC，∴，∴，解得a＝0（舍去）或a＝，∴C（，0），故答案为：（，0）．2．（2023•牡丹江）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上；顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm，若按相同的方式将22.5°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为（2+2）cm．【分析】由等腰直角三角形的性质得到OB＝BD＝2cm，由平行线的性质推出BC＝OB，即可求出CD长，得到OC与尺上沿的交点C在尺上的读数．【解答】解：∵∠AOB＝45°，∠AOC＝22.5°，∴∠BOC＝∠AOC，∵BC∥OA，∴∠BCO＝∠AOC，∴∠BCO＝∠BOC，∴BC＝OB，∵△ODB是等腰直角三角形，∴OB＝BD＝2cm，∴CD＝BC+BD＝（2+2）cm．∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为（2+2）cm．故答案为：（2+2）．3．（2023•丹东）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，已知点A（3，0），B（0，4），点C在x轴负半轴上，连接AB，BC，若tan∠ABC＝2，以BC为边作等边三角形BCD，则点C的坐标为（﹣2，0）；点D的坐标为（﹣1﹣2，2+）或（﹣1+2，2﹣）．【分析】过点C作CE⊥AB于E，先求处AB＝5，再设BE＝t，由tan∠ABC＝2得CE＝2t，进而得BC＝，由三角形的面积公式得S△ABC＝AC•OB＝AB•CE，即5×2t＝4×（3+OC），则OC＝﹣3，然后在Rt△BOC中由勾股定理得，由此解出t1＝2，t2＝10（不合题意，舍去），此时OC＝﹣3＝2，故此可得点C的坐标；设点D的坐标为（m，n），由两点间的距离公式得：BC2＝20，BD2＝（m﹣0）2+（n﹣4）2，CD2＝（m+2）2+（n﹣0）2，由△BCD为等边三角形得，整理：，②﹣①整理得m＝3﹣2n，将m＝3﹣2n代入①整理得n2﹣4n+1＝0，解得n＝，进而再求出m即可得点D的坐标．【解答】解：过点C作CE⊥AB于E，如图：∵点A（3，0），B（0，4），由两点间的距离公式得：AB＝＝5，设BE＝t，∵tan∠ABC＝2，在Rt△BCE中，tan∠ABC＝，∴＝2，∴CE＝2t，由勾股定理得：BC＝＝t，∵CE⊥AB，OB⊥AC，AC＝OC+OA＝3+OC，∴S△ABC＝AC•OB＝AB•CE，即：5×2t＝4×（3+OC），∴OC＝﹣3，在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC2﹣OB2＝OC2，即，整理得：t2﹣12t+20＝0，解得：t1＝2，t2＝10（不合题意，舍去），∴t＝2，此时OC＝﹣3＝2，∴点C的坐标为（﹣2，0），方法二：设BE＝2t，CE＝4t，AE＝3t，AC＝BC＝5t，∴点C的坐标为（﹣2，0），设点D的坐标为（m，n），由两点间的距离公式得：BC2＝（﹣2﹣0）2+（0﹣4）2＝20，BD2＝（m﹣0）2+（n﹣4）2，CD2＝（m+2）2+（n﹣0）2，∵△BCD为等边三角形，∵BD＝CD＝BC，∴，整理得：，②﹣①得：4m+8n＝12，∴m＝3﹣2n，将m＝3﹣2n代入①得：（3﹣2n）2+n2﹣8n＝4，整理得：n2﹣4n+1＝0，解得：n＝，当n＝时，m＝3﹣2n＝，当n＝时，m＝3﹣2n＝，∴点D的坐标为或．D在BC左侧时，倍长BD，可得Rt△BCF，作FH⊥x轴于H，则CH＝4√3，FH＝2√3F（﹣2﹣4√3，2√3），中点公式可求点D，在BC右侧的点D同理可求D．故答案为：（﹣2，0）；或．4．（2023•自贡）如图，分别经过原点O和点A（4，0）的动直线a，b夹角∠OBA＝30°，点M是OB中点，连接AM，则sin∠OAM的最大值是（）A． B． C． D．【分析】作△AOB的外接圆⊙T，连接OT，TA，TB，取OT的中点K，连接KM．证明KM＝TB＝2，推出点M在以K为圆心，2为半径的圆上运动，当AM与⊙K相切时，∠OAM的值最大，此时sin∠OAM的值最大．【解答】解：如图，作△AOB的外接圆⊙T，连接OT，TA，TB，取OT的中点K，连接KM．∵∠ATO＝2∠ABO＝60°，TO＝TA，∴△OAT是等边三角形，∵A（4，0），∴TO＝TA＝TB＝4，∵OK＝KT，OM＝MB，∴KM＝TB＝2，∴点M在以K为圆心，2为半径的圆上运动，当AM与⊙K相切时，∠OAM的值最大，此时sin∠OAM的值最大，∵△OTA是等边三角形，OK＝KT，∴AK⊥OT，∴AK＝＝＝2，∵AM是切线，KM是半径，∴AM⊥KM，∴AM＝＝＝2，过点M作ML⊥OA于点L，KR⊥OA于点R，MP⊥RK于点P．∵∠PML＝∠AMK＝90°，∴∠PMK＝∠LMA，∵∠P＝∠MLA＝90°，∴△MPK∽△MLA，∴＝＝＝＝，设PK＝x，PM＝y，则有ML＝y，AL＝x，∴y＝+x①，y＝3﹣x，解得，x＝，y＝，∴ML＝y＝，∴sin∠OAM＝＝＝．故选：A．【中考模拟练】1．（2024•高青县一模）如图（1），在△ABC中，AB＝AC＝4，射线AN∥BC，D为AN上一点，过点D作DE∥AB，交射线BC于点E．研究发现线段CE的长y与线段AD的长x之间的关系可用图（2）的图象表示，已知点M（8，2），则∠B的正切值为（）A． B． C． D．【分析】根据点M的坐标可求出BC的长，再过点A作BC的垂线，构造直角三角形即可解决问题．【解答】解：因为点M的坐标为（8，2），如图所示，AD′＝8，CE′＝2．过点C作D′E′的平行线，交AN于点F，∵CF∥D′E′，AN∥BC，∴四边形CE′D′F是平行四边形，∴D′F＝CE′＝2，∴AF＝8﹣2＝6．同理可得，四边形ABCF是平行四边形，∴BC＝AF＝6．过点A作BC的垂线，垂足为M，∵AB＝AC，AM⊥BC，∴BM＝．在Rt△ABM中，AM＝，∴tan∠B＝．故选：A．2．（2024•雁塔区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝7，，将△ABC沿BC方向平移得到△A'B'C'，若AB'平分∠BAC，则B'C的长为（）A． B． C． D．【分析】根据平移的性质可得：AB∥A′B′，从而可得∠BAC＝∠B′EC＝90°，∠BAB′＝∠AB′E，∠B＝∠A′B′C，进而可得tan∠EB′C＝tanB＝，然后在Rt△B′EC中，利用锐角三角函数的定义可设EC＝4x，则B′E＝3x，从而利用勾股定理可得B′C＝5x，再利用角平分线的定义和平行线的性质可得△AEB′是等腰三角形，从而可得AE＝EB′＝3x，最后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．【解答】解：由平移得：AB∥A′B′，∴∠BAC＝∠B′EC＝90°，∠BAB′＝∠AB′E，∠B＝∠A′B′C，∵，∴tan∠EB′C＝tanB＝，在Rt△B′EC中，tan∠EB′C＝＝，∴设EC＝4x，则B′E＝3x，∴B′C＝＝＝5x，∵AB′平分∠BAC，∴∠BAB′＝∠B′AC，∴∠AB′E＝∠B′AC，∴AE＝EB′＝3x，在Rt△ABC中，AB＝7，∴tanB＝＝＝，解得：x＝，∴B′C＝5x＝，故选：B．3．（2024•松北区一模）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时，根据上述角的正对定义，则sad60°的值为（）A． B． C． D．1【分析】根据题意可知三角形是等边三角形，依据正对定义进行解答即可．【解答】解：∵AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时，且∠A＝60°，∴AB＝BC＝AC，∴sad60°＝＝1，故选：D．4．（2024•南通模拟）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的格点上，那么sin∠BAC的值为（）A． B． C． D．【分析】过点C作CM⊥AB于M，利用等面积法求出CM，然后利用正弦是定义求解即可．【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB于M，由题意得AB＝，AC＝，∵S，即，解得CM＝，∴sin∠BAC＝．故选：C．5．（2024•凉州区一模）如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，则cosA的值是（）A． B． C． D．【分析】根据勾股定理求出AC，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解答】解：如图，从图形可知：AE＝4，CE＝2，由勾股定理得：AC＝＝2，cosA＝．故选：D．6．（2024•金牛区模拟）如图，已知点C为线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝AB＝8，连接AD，BE⊥AB，且交∠DAB的平分线AE于点E，AE与DC相交于点F，EH⊥DC于点G，交AD于点H，则AH的长为10﹣2．【分析】由∠ACD＝90°，CD＝AB＝8，AC＝BC＝AB＝4，求得AD＝4，再证明四边形BCGE是矩形，则EG＝BC＝4，EG∥BC，所以∠HEA＝∠BAE，而∠HAE＝∠BAE，则∠HEA＝∠HAE，所以EH＝AH，由＝＝sinD，得＝，求得AH＝10﹣2，于是得到问题的答案．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠ACD＝90°，∵点C为线段AB的中点，CD＝AB＝8，∴AC＝BC＝AB＝4，∴AD＝＝4，∵BE⊥AB，EH⊥DC，∴∠B＝∠BCG＝∠CGE＝90°，∴四边形BCGE是矩形，∴EG＝BC＝4，EG∥BC，∴∠HEA＝∠BAE，∵AE平分∠DAB，∴∠HAE＝∠BAE，∴∠HEA＝∠HAE，∴EH＝AH，∴HG＝EH﹣EG＝AH﹣4，HD＝AD﹣AH＝4﹣AH，∵∠HGD＝∠ACD＝90°，∴＝＝sinD，∴＝，∴解得AH＝10﹣2，故答案为：10﹣2．7．（2024•张店区一模）如图，分别经过点A（﹣1，0）和点B（1，0）的动直线l1，l2交于点C，在线段AC上取点D，连接BD．若∠ACB＝30°，且，则当tan∠ABD的值最大时，点C的坐标为或．【分析】作△ABC的外接圆⊙M，连接AM，BM，CM，在AM上取点N，使，连接ND，BD，BN，过点N做NK⊥AB于K，过D作DG⊥x轴于G，过C作CH⊥x轴于H，证明△ABM是等边三角形，可得出AM＝AB，∠MAB＝60°，根据三线合一性质可判断M在y轴上，证明△NAD∽△MAC，可求出，则点D在以N为圆心，ND为半径的⊙N上运动，当BD与⊙N相切时，∠ABD最大，即tan∠ABD的值最大，此时利用勾股定理可求出，设设D（m，n），证明△ADG∽△ACH，可求出CH＝3n，AH＝3m+3，OH＝3m+2，则C（3m+2，3n），根据，CM＝2，结合两点距离公式列方程组，然后解方程组即可求解．【解答】解：作△ABC的外接圆⊙M，连接AM，BM，CM，在AM上取点N，使，连接ND，BD，BN，过点N做NK⊥AB于K，过D作DG⊥x轴于G，过C作CH⊥x轴于H，∵∠ACB＝30°，∴∠AMB＝2∠ACB＝60°，又AM＝BM，∴△ABM是等边三角形，∴AM＝AB，∠MAB＝60°，∵A（﹣1，0），B（1，0），∴AO＝BO＝1，AM＝AB＝2，∴MO⊥AB，，∴M在y轴上，在Rt△ANK中，，∠NAK＝60°，∠AKN＝90°，∴，，∴，∴，∵，∴，又∠NAD＝∠MAC，∴△NAD∽△MAC∴，即∴，∴点D在以N为圆心，ND为半径的⊙N上运动，当BD与⊙N相切时，∠ABD最大，即tan∠ABD的值最大此时∠BDN＝90°，∴，设D（m，n），∵DG⊥x轴，CH⊥x轴，∴DG∥CH，∴△ADG∽△ACH，∴，即，解得CH＝3n，AH＝3m+3，∴OH＝3m+2，∴C（3m+2，3n），∵，CM＝2，∴，化简的，①﹣②，得，∴，即3n2＝（5m+3）2把3n2＝（5m+3）2代入①，得3m2﹣6m+（5m+3）2＝5，整理，得7m2+6m+1＝0，解得，，当时，，∴，，∴点C坐标为；当时，，∴，，∴点C坐标为；综上，点C坐标为或．故答案为：或．题型02解直角三角形的应用解题大招01：解直角三角形应用常见辅助线在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合平面几何知识构造直角三角形，利用三角函数或相似三角形来解决问题，常见的构造的基本图形有如下几种：（1）不同地点看同一点，如图①（2）同一地点看不同点，如图②（3）利用反射构造相似，如图③（4）常用结论：【中考真题练】1．如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材约21m（结果取整数）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【分析】根据等腰三角形的三线合一性质可得AD＝BD＝AB，然后在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AC，AD的长，从而求出AB的长，最后进行计算即可解答．【解答】解：∵CA＝CB，CD⊥AB，∴AD＝BD＝AB，在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，CD＝3m，∴AC＝≈＝5（m），AD＝≈＝4（m），∴CA＝CB＝5m，AB＝2AD＝8（m），∴共需钢材约＝AC+CB+AB+CD＝5+5+8+3＝21（m），故答案为：21．2．（2023•盐城）如图1，位于市区的“铁军”雕塑“大铜马”是盐城市标志性文化名片，如图2，线段AB表示“铁军”雕塑的高，点B，C，D在同一条直线上，且∠ACB＝60°，∠ADB＝30°，CD＝17.5m，则线段AB的长约为15m．（计算结果保留整数，参考数据：≈1.7）【分析】由外角的性质可求∠ADB＝∠CAD＝30°，可得AC＝CD＝17.5m，由锐角三角函数可求解．【解答】解：∵∠ACB＝60°，∠ADB＝30°，∠ACB＝∠ADB+∠CAD，∴∠ADB＝∠CAD＝30°，∴AC＝CD＝17.5m，∵∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，∴AB＝AC•sin∠ACB＝AC≈15m，故答案为：15．3．（2023•枣庄）如图所示，桔槔是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆AB＝6米，AO：OB＝2：1，支架OM⊥EF，OM＝3米，AB可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时∠AOM＝45°，此时点B到水平地面EF的距离为（3+）米．（结果保留根号）【分析】过点O作OC⊥BT，垂足为C，根据题意可得：BC∥OM，从而可得∠AOM＝∠OBC＝45°，再根据已知易得AO＝4米，OB＝2米，然后在Rt△OBC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：过点O作OC⊥BT，垂足为C，由题意得：BC∥OM，∴∠AOM＝∠OBC＝45°，∵AB＝6米，AO：OB＝2：1，∴AO＝4米，OB＝2米，在Rt△OBC中，BC＝OB•cos45°＝2×＝（米），∵OM＝3米，∴此时点B到水平地面EF的距离＝BC+OM＝（3+）米，故答案为：（3+）．4．（2023•湘潭）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当t＝0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM＝30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．问题解决：（1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；（2）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据≈1.414，≈1.732）【分析】（1）求出筒车每秒转过的度数，再根据周角的定义进行计算即可；（2）根据直角三角形的边角关系分别求出OD、OC即可．【解答】解：（1）由于筒车每旋转一周用时120秒．所以每秒转过360°÷120＝3°，∴∠BOM＝360°﹣3°×95﹣30°＝45°；（2）如图，过点B、点A分别作OM的垂线，垂足分别为点C、D，在Rt△AOD中，∠AOD＝30°，OA＝2米，∴OD＝OA＝（米）．在Rt△BOC中，∠BOC＝45°，OB＝2米，∴OC＝OB＝（米），∴CD＝OD﹣OC＝﹣≈0.3（米），即该盛水筒旋转至B处时到水面的距离约为0.3米．5．（2023•贵州）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线夹角为45°，A、B两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A、E、F在同一水平线上）（1）求索道AB的长（结果精确到1m）；（2）求水平距离AF的长（结果精确到1m）．（参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.96，tan15°≈0.26，）【分析】（1）通过解Rt△ABE可求得AB的长；（2）延长BC交DF于G，证明四边形BEFG是矩形，可得EF＝BG，∠CGD＝∠BGF＝90°，再解Rt△CDG可求解CG的长，进而可求解．【解答】解：（1）在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠A＝15°，AE＝576m，∴AB＝（m），即AB的长约为600m；（2）延长BC交DF于G，∵BC∥AE，∴∠CBE＝90°，∵DF⊥AF，∴∠AFD＝90°，∴四边形BEFG为矩形，∴EF＝BG，∠CGD＝∠BGF＝90°，∵CD＝AB＝600m，∠DCG＝45°，∴CG＝CD•cos∠DCG＝600×cos45°＝600×＝（m），∴AF＝AE+EF＝AE+BG＝AE+BC+CG＝576+50+≈1049（m），即AF的长为1049m．6．（2023•金昌）如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下：课题检测新生物到皮肤的距离工具医疗仪器等示意图说明如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠DBN；再在皮肤上选择距离B处9cm的C处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠ECN．测量数据∠DBN＝35°，∠ECN＝22°，BC＝9cm请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．（结果精确到0.1cm）（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）【分析】过点A作AF⊥MN，垂足为F，设BF＝xcm，则CF＝（x+9）cm，然后在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，再在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．【解答】解：过点A作AF⊥MN，垂足为F，设BF＝xcm，∵BC＝9cm，∴CF＝BC+BF＝（x+9）cm，在Rt△ABF中，∠ABF＝∠DBN＝35°，∴AF＝BF•tan35°≈0.7x（cm），在Rt△ACF中，∠ACF＝∠ECN＝22°，∴AF＝CF•tan22°≈0.4（x+9）cm，∴0.7x＝0.4（x+9），解得：x＝12，∴AF＝0.7x＝8.4（cm），∴新生物A处到皮肤的距离约为8.4cm．7．（2023•山西）2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022﹣2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选，在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸（也叫护坡）．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算BC和AB的长度（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73，≈1.41）．课题母亲河驳岸的调研与计算调查方式资料查阅、水利部门走访、实地查看了解调查内容功能驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物材料所需材料为石料、混凝土等驳岸时剖面图相关数据及说明：图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，AE和CD均与地面平行，岸墙AB⊥AE于点A，∠BCD＝135°，∠EDC＝60°，ED＝6m，AE＝1.5m，CD＝3.5m．计算结果…交通展示…【分析】过E作EF⊥CD于F，延长AB，CD交于H，得到∠EFD＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过E作EF⊥CD于F，延长AB，CD交于H，∴∠EFD＝90°，由题意得，在Rt△EFD中，，cos，∴（m），∴FD＝ED•cos∠EDF＝6×cos60°＝6×＝3（m），由题意得，∠H＝90°，四边形AEFH是矩形，∴，HF＝AE＝1.5m，∵CF＝CD﹣FD＝3.5﹣3＝0.5（m），∴CH＝HF﹣CF＝1.5﹣0.5＝1（m），在Rt△BCH中，∠H＝90°，∠BCH＝180°﹣∠BCD＝180°﹣135°＝45°，∵，∴1.4（m），∴BH＝CH•tan∠BCH＝1×tan45°＝1（m），∴AB＝AH﹣BH＝3．答：BC的长度约为1.4m，AB的长度约为4.2m．8．（2023•河南）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB＝30cm，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H．经测量，点A距地面1.8m，到树EG的距离AF＝11m，BH＝20cm．求树EG的高度（结果精确到0.1m）．【分析】由题意可知，∠BAE＝∠MAF＝∠BAD＝90°，FG＝1.8m，易知∠EAF＝∠BAH，可得tan∠EAF＝＝tan∠BAH＝，进而求得，利用EG＝EF+FG即可求解．【解答】解：由题意可知，∠BAE＝∠MAF＝∠BAD＝90°，FG＝1.8m，则∠EAF+∠BAF＝∠BAF+∠BAH＝90°，∴∠EAF＝∠BAH，∵AB＝30cm，BH＝20cm，则tan∠EAF＝＝，∴tan∠EAF＝＝tan∠BAH＝，∵AF＝11m，则，∴EF＝，∴EG＝EF+FG＝1.8≈9.1m．答：树EG的高度约为9.1m．9．（2023•济南）图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC＝123°，该车的高度AO＝1.7m．如图2，打开后备厢，车后盖ABC落在AB'C'处，AB'与水平面的夹角∠B'AD＝27°．（1）求打开后备厢后，车后盖最高点B'到地面l的距离；（2）若小琳爸爸的身高为1.8m，他从打开的车后盖C'处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．（结果精确到0.01m，参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，≈1.732）【分析】（1）作B′E⊥AD，垂足为点E，先求出B′E的长，再求出B′E+AO的长即可；（2）过C′作C′F⊥B′E，垂足为点F，先求得∠AB′E＝63°，再得到∠C′B′F＝∠AB′C′﹣∠AB′E＝60°，再求得B′F＝B′C′•cos60°＝0.3m，从而得出C′到地面的距离为2.15﹣0.3＝1.85（m），最后比较即可．【解答】解：（1）如图，作B′E⊥AD，垂足为点E，在Rt△AB′E中，∵∠B′AD＝27°，AB′＝AB＝1m，∴sin27°＝，∴B′E＝AB′sin27°≈1×0.454＝0.454m，∵平行线间的距离处处相等，∴B′E+AO＝0.454+1.7＝2.154≈2.15m，答：车后盖最高点B′到地面的距离为2.15m．（2）没有危险，理由如下：如图，过C′作C′F⊥B′E，垂足为点F，∵∠B′AD＝27°，∠B′EA＝90°，∴∠AB′E＝63°，∵∠AB′C′＝∠ABC＝123°，∴∠C′B′F＝∠AB′C′﹣∠AB′E＝60°，在Rt△B′FC′中，B′C′＝BC＝0.6m，∴B′F＝B′C′•cos60°＝0.3m．∵平行线间的距离处处相等，∴C′到地面的距离为2.15﹣0.3＝1.85m．∵1.85＞1.8，∴没有危险．【中考模拟练】1．（2024•洛龙区一模）如图，某汽车车门的底边长为0.95m，车门侧开后的最大角度为72°，若将一扇车门侧开，则这扇车门底边上所有点中到车身的最大距离是（）m．A．0.95 B．0.95sin72° C．0.95cos72° D．0.95tan72°【分析】过点N作NH⊥OM于点H，则NH为最大距离，根据三角函数作答即可．【解答】解：过点N作NH⊥OM于点H，则NH为最大距离，在Rt△OMN中，ON＝0.95m，∠NOH＝72°，∴NH＝ON•sin∠NOH＝0.95sin72°，故选：B．2．（2024•福田区二模）我校数学兴趣小组的同学要测量建筑物CD的高度，如图，建筑物CD前有一段坡度为i＝1：2的斜坡BE，小明同学站在山坡上的B点处，用测角仪测得建筑物屋顶C的仰角为37°，接着小明又向下走了米，刚好到达坡底E处，这是测到建筑物屋顶C的仰角为45°，A、B、C、D、E、F在同一平面内，若测角仪的高度AB＝EF＝1.5米，则建筑物CD的高度约为（）米．（精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．38.5米 B．39.0米 C．40.0米 D．41.5米【分析】设CD＝x米．延长AB交DE于H，作AM⊥CD于M，FN⊥CD于N，求出BH＝4（米），EH＝8（米），由矩形的性质得出AM＝DH，AH＝DM，FN＝DE，FE＝DN＝1.5（米），在Rt△CFN中，求出CN＝FN＝DE＝（x﹣1.5）（米），AM＝DH＝（8+x﹣1.5）（米），CM＝（x﹣5.5）（米），在Rt△ACM中，由AM＝≈，得出方程，解方程即可．【解答】解：设CD＝x米．延长AB交DE于H，作AM⊥CD于M，FN⊥CD于N，如图所示：在Rt△BHE中，∵BE＝4米，BH：EH＝1：2，∴BH＝4（米），EH＝8（米），∵四边形AHDM是矩形，四边形FEDN是矩形，∴AM＝DH，AH＝DM，FN＝DE，FE＝DN＝1.5（米），在Rt△CFN中，∵∠CFN＝45°，∴CN＝FN＝DE＝（x﹣1.5）（米），∵AM＝DH＝（8+x﹣1.5）（米），CM＝（x﹣5.5）（米），在Rt△ACM中，∵∠CAM＝37°，∴AM＝≈，∴8+x﹣1.5≈，∴x≈41.5（米），∴CD≈41.5米，故选：D．3．（2024•光明区二模）如图，在坡比为的斜坡上有一电线杆AB．某时刻身高1.7米的小明在水平地面上的影长恰好与其身高相等，此时电线杆在斜坡上的影长BC为30米，则电线杆AB的高为（）米．A． B． C． D．【分析】过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，根据坡度的概念、勾股定理分别求出BD、CD，根据平行投影求出AD，进而求出AB．【解答】解：过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，设BD＝x米，∵斜坡AB的坡度为1：，∴CD＝x米，由勾股定理得：BC2＝CD2+BD2，即302＝（x）2+x2，解得：x＝15（负值舍去），则BD＝15米，CD＝15米，由题意可知：AD＝CD＝15米，∴AB＝AD﹣BD＝（15﹣15）米，故选：C．4．（2024•安丘市一模）如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，点M，A，B在同一条直线上，经测量得到如下数据：AM＝5米，AB＝10米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为3.7米．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.73）【分析】根据题意可得：CM⊥MB，然后分别在Rt△ADM和Rt△CMB中，利用锐角三角函数的定义求出DM和CM的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：CM⊥MB，在Rt△ADM中，AM＝5米，∠MAD＝45°，∴DM＝AM•tan45°＝5（米），∵AB＝10米，∴MB＝AM+AB＝15（米），在Rt△CMB中，∠CBM＝30°，∴CM＝BM•tan30°＝15×＝5（米），∴CD＝CM﹣DM＝5﹣5≈3.7（米），∴警示牌的高CD约为3.7米，故答案为：3.7．5．（2024•洪山区模拟）黄鹤楼位于湖北省武汉市，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑．身高1.4m的小伟今天在司门口黄鹤楼地铁站C出口（图中点A处）观察黄鹤楼的仰角α＝12.8°，前行120m来到民主路上（图中点B处）后，观察黄鹤楼的仰角β＝26.6°．那么据此可以估算出黄鹤楼的高度为51.4m．（精确到0.1米，参考数据：，）【分析】在Rt△BEF中，根据三角函数求出BF，AF＝BF+AB，在Rt△AEF中，根据三角函数求出EF，EF＝（+120）×tan12.8°，EG＝EF+FG，进而作答即可．【解答】解：如图，标记相关字母，在Rt△BEF中，BF＝，∴AF＝BF+AB＝+120，在Rt△AEF中，EF＝AF•tan12.8°，即EF＝（+120）×tan12.8°，∴EF＝120÷（）≈50（m），EG＝EF+FG＝50+1.4＝51.4（m），故答案为：51.4．6．（2024•兴庆区校级一模）如图，图1是一辆电动车，图2为其示意图，点A为座垫，AB⊥BC，AB高度可调节，其初始高度为35cm，CD为车前柱，CD＝122cm，∠C＝70°，根据该款车提供信息表明，当骑行者手臂DE与车前柱DC夹角为80°时，骑行者最舒适，若某人手臂长60cm，肩膀到座垫的高度AE＝42cm．若要想骑行最舒适，则座垫应调高的厘米数为8cm．（结果按四舍五入法精确到1cm，参考数据sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）【分析】过点D作DF⊥CB，垂足为F，过点E作EG⊥DF，垂足为G，过点A作AH⊥DF，垂足为H，利用垂直定义可得∠DFC＝90°，再根据题意可得：EB＝GF，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠CDF＝20°，从而可得∠EDF＝60°，再在Rt△DCF中，利用锐角三角函数的定义求出DF的长，最后在Rt△DEG中，利用锐角三角函数的定义求出DG的长，从而求出GF的长，进而求出AB的长，即可解答．【解答】解：过点D作DF⊥CB，垂足为F，过点E作EG⊥DF，垂足为G，过点A作AH⊥DF，垂足为H，∴∠DFC＝90°，由题意得：EB＝GF，∵∠C＝70°，∴∠CDF＝90°﹣∠C＝20°，∵∠CDE＝80°，∴∠EDF＝∠CDE﹣∠CDF＝60°，在Rt△DCF中，CD＝122cm，∴DF＝CD•sin70°≈122×0.94＝114.68（cm），在Rt△DEG中，DE＝60cm，∴DG＝DE•cos60°＝60×＝30（cm），∴GF＝EB＝DF﹣DG＝114.68﹣30＝84.68（cm），∵AE＝42cm，∴AB＝EB﹣AE＝84.68﹣42＝42.68（cm），∵初始高度为35cm，∴42.68﹣35＝7.68≈8（cm），∴座垫应调高的厘米数约为8cm，故答案为：8cm．7．（2024•广安二模）如图1，某款台灯由底座、支撑臂AB、连杆BC、悬臂CD和安装在D处的光源组成．如图2是该款台灯放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂AB⊥l，AB＝22cm，BC＝35cm，CD＝40cm，固定∠ABC＝143°，可通过调试悬臂CD与连杆BC的夹角提高照明效果．（1）求悬臂端点C到桌面l的距离约为多少？（2）已知光源D到桌面l的距离为30cm时照明效果较好，那么此时悬臂CD与连杆BC的夹角∠BCD的度数约为多少？（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33）【分析】（1）过点C作l的垂线，垂足为点E，过点B作BF⊥CE于点F，则EF＝AB＝22cm，∠ABF＝90°，得出∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝53°，根据CF＝BC⋅sin53°，求出CF，最后根据CE＝CF+EF，即可求解；（2）过点D作DH⊥CE于点G，DG⊥l于点G，推出CH＝CE﹣HE＝20cm，则，求出∠DCH＝60°，得出∠BCF＝37°，最后∠BCD＝∠DCH﹣∠BCF，即可求解．【解答】解：（1）过点C作l的垂线，垂足为点E，过点B作BF⊥CE于点F，∵AB⊥l，CE⊥l，BF⊥CE，∴四边形ABFE为矩形，∴EF＝AB＝22cm，∠ABF＝90°，∵∠ABC＝143°，∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝53°，∴CF＝BC⋅sin53°＝35×0.8＝28（cm），∴CE＝CF+EF＝50（cm），即悬臂端点C到桌面l的距离约为50cm；（2）过点D作DH⊥CE于点G，DG⊥l于点G，∵DH⊥CE，DG⊥l，CE⊥l，∴四边形DHEG为矩形，∴DG＝HE＝30cm，∴CH＝CE﹣HE＝20cm，∵CD＝40cm，∴，∴∠DCH＝60°，∵∠CBF＝53°，BF⊥CE，∴∠BCF＝90°﹣53°＝37°，∴∠BCD＝∠DCH﹣∠BCF＝23°．8．（2024•湖州一模）用某型号拖把去拖沙发底部地面的截面示意图如图所示，拖把头为矩形ABCD，AB＝16cm，DA＝2cm．该沙发与地面的空隙为矩形EFGH，EF＝55cm，HE＝12cm．拖把杆为线段OM，长为45cm，O为DC的中点，OM与DC所成角α的可变范围是14°≤α≤90°，当α大小固定时，若OM经过点G，或点A与点E重合，则此时AF的长即为沙发底部可拖最大深度．（1）如图1，当α＝30°时，求沙发底部可拖最大深度AF的长．（结果保留根号）（2）如图2，为了能将沙发底部地面拖干净，将α减小到14°，请通过计算，判断此时沙发底部可拖最大深度AF的长能否达到55cm？（sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）【分析】（1）设DC的延长线交GF于点N．易得GN的长度，根据30°的正切值可得ON的长度，再加上OD的长度即为DN的长度，也就是AF的长度；（2）根据14°的正切值可得ON的长度，再加上OD的长度即为DN的长度，也就是AF的长度，即可判断沙发底部可拖最大深度AF的长能否达到55cm．【解答】解：（1）设DC的延长线交GF于点N．∵四边形ABCD和四边形EFGH是矩形，HE＝12cm，AB＝16cm，∴∠A＝∠D＝∠F＝90°，CD＝AB＝16（cm），GF＝HE＝12（cm）．∴四边形ADNF是矩形．∴NF＝AD＝2（cm），∠DNF＝90°，AF＝DN．∴∠ONG＝90°，GN＝GF﹣NF＝10（cm）．∵∠GON＝∠α＝30°，∴ON＝10（cm）．∵点O是CD的中点，∴OD＝8（cm）．∴DN＝OD+ON＝（8+10）cm．∴AF＝（8+10）cm．答：沙发底部可拖最大深度AF的长为（8+10）cm；（2）由（1）得：∠ONG＝90°，GN＝10cm，OD＝8cm．∵∠GON＝∠α＝14°，∴ON＝＝≈10÷0.25＝40（cm）．∴DN＝OD+ON＝8+40＝48（cm）．∵48＜55，∴此时沙发底部可拖最大深度AF的长不能达到55cm．9．（2024•海口一模）木栏头灯塔是矗立在海南岛文昌市的一座航标灯塔（如图1），被称为”亚洲第一灯塔”，如图2，虎威岛A位于木栏头灯塔O的南偏西50°方向上．一艘轮船在B处测得灯塔O位于它的北偏西45°方向上，轮船沿着正北方向航行3km后，到达位于灯塔O正东方向上的C处，该船继续向北航行至直线AO上的点D处．（1）填空：∠BOC＝45度，∠D＝50度．（2）求点D到灯塔O的距离．（3）若轮船的航行速度为20km/h，求轮船在BD段航行了多少小时．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，≈1.73．结果精确到小数点后一位）【分析】（1）根据方位角的，利用角的和差关系以及三角形内角和定理即可求出∠BOC和∠D的度数；（2）先在Rt△BOC中，求出OC，再在Rt△DOC中，利用直角三角形的边角关系求出OD即可；（3）在Rt△DOC中，利用直角三角形的边角关系求出CD，进而求出BD，再除以速度即可得到答案．【解答】解：（1）由题意可知，OC⊥BD，∵∠CBO＝45°，∴∠BOC＝90°﹣∠CBO＝45°，∴∠COD＝180°﹣50°﹣90°＝40°，∴∠D＝90°﹣∠COD＝50°，故答案为：45，50；（2）由题意可知：BC＝3km，在Rt△BOC中，∠CBO＝45°，∴OC＝BC＝3km，在Rt△DOC中，∠D＝50°，∴OD＝＝≈3.9（km），答：点D到灯塔O的距离约为3.8km；（3）在Rt△DOC中，CD＝＝≈2.5（km），∴BD＝BC+CD＝3+2.5＝5.5（km），∵轮船的航行速度为20km/h，∴轮船在BD段航行了≈0.3（小时）．答：轮船在BD段航行了约0.3小时．10．（2024•辽宁模拟）如图1，在水平桌面上摆放着一个主体部分为圆柱体的透明容器．容器的截面示意图如图2所示，其中CE＝21cm，∠CEF＝90°．（1）如图3，点C固定不动，将容器倾斜至A1B1CD1位置，液面刚好位于M1E1处，点E1到直线l的距离E1K，记为hcm，测得∠E1CK＝60°，求h的值；（2）如图4，在（1）的条件下，再将容器缓慢倾斜倒出适量的液体，此时容器位于A2B2CD2位置，液面刚好位于M2E2处，E1F1，E2F2的延长线分别与直线l相交于点H，G，点C，G，H都在直线l上，测得∠E2CG＝37°，求GH的长．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，，结果精确到0.1cm）【分析】（1）根据题意可得：E1K⊥l，CE1＝CE＝21cm，然后在Rt△CKE1中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答；（2）先在Rt△CE1H中，利用锐角三角函数的定义求出CH的长，再在Rt△CE2G中，利用锐角三角函数的定义求出CG的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：（1）由题意得：E1K⊥l，CE1＝CE＝21cm，在Rt△CKE1中，∠E1CK＝60°，∴E1K＝CE1•sin60°＝21×≈18.2（cm），∴h的值约为18.2cm；（2）在Rt△CE1H中，∠E1CH＝60°，CE1＝21cm，∴CH＝＝＝42（cm），在Rt△CE2G中，∠E2CG＝37°，CE2＝CE＝21cm，∴CG＝≈＝26.25（cm），∴GH＝CH﹣CG＝42﹣26.25≈15.8（cm），∴GH的长约为15.8cm．题型03解直角三角形与几何的综合【中考真题练】1．（2023•淄博）勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接EG，DG．若正方形ABCD与EFGH的边长之比为：1，则sin∠DGE等于（）A． B． C． D．【分析】由题意得：，解得：，进而求解．【解答】解：过点D作ND⊥GE交GE的延长线于点N，由题意知，两个正方形之间是4个相等的三角形，设△ABG的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为x，小正方形的边长为x，即ED＝BG＝HC＝AF＝b，AG＝BH＝CE＝DF＝a，EG＝b，由题意得：，解得：，在△GDE中，EG＝GH＝b，则NE＝ND＝ED＝b＝x，EG＝GH＝（a﹣b）＝x，则tan∠DGE＝＝，则sin∠DGE＝，故选：A．2．（2023•内蒙古）如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为α，则cosα的值为（）A． B． C． D．【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形较短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，再利用勾股定理得到关于a的方程，解方程可求出直角三角形的两个个直角边的边长，最后根据锐角三角函数的定义可求出cosα的值．【解答】解：∵小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，∴小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，设直角三角形中较短的直角边为a，则较长的直角边是a+1，其中a＞0，由勾股定理得：a2+（a+1）2＝52，整理得：a2+a﹣12＝0解得：a1＝3，a2＝﹣4（不合题意，舍去）．∴a+1＝4，∴．故选：D．3．（2023•杭州）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，tanα＝tan2β，则n＝（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，解直角三角形可得，化简可得（b﹣a）2＝ab，a2+b2＝3ab，结合勾股定理及正方形的面积公式可求得S正方形EFGH；S正方形ABCD＝1：3，进而可求解n的值．【解答】解：设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，∵tanα＝，tanβ＝，tanα＝tan2β，∴，∴（b﹣a）2＝ab，∴a2+b2＝3ab，∵a2+b2＝AD2＝S正方形ABCD，（b﹣a）2＝S正方形EFGH，∴S正方形EFGH：S正方形ABCD＝ab：3ab＝1：3，∵S正方形EFGH：S正方形ABCD＝1：n，∴n＝3．故选：C．4．（2023•黄石）“神舟”十四号载人飞行任务是中国空间站建造阶段的首次载人飞行任务，也是空间站在轨建造以来情况最复杂、技术难度最高、航天员乘组工作量最大的一次载人飞行任务．如图，当“神舟”十四号运行到地球表面P点的正上方的F点处时，从点F能直接看到的地球表面最远的点记为Q点，已知PF＝km，∠FOQ＝20°，cos20°≈0.9，则圆心角∠POQ所对的弧长约为πkm（结果保留π）．【分析】设OP＝OQ＝rkm．由FQ是⊙O的切线，可得cos∠FOQ＝，由此构建方程求出r，再利用弧长公式求解．【解答】解：设OP＝OQ＝rkm．由题意，FQ是⊙O的切线，∴FQ⊥OQ，∵cos∠FOQ＝，∴0.9＝，∴r＝6400，∴的长＝＝π（km）．故答案为：π．5．（2023•绥化）如图，直线MN和EF为河的两岸，且MN∥EF，为了测量河两岸之间的距离，某同学在河岸FE的B点测得∠CBE＝30°，从B点沿河岸FE的方向走40米到达D点，测得∠CDE＝45°．（1）求河两岸之间的距离是多少米？（结果保留根号）（2）若从D点继续沿DE的方向走（12+12）米到达P点．求tan∠CPE的值．【分析】（1）根据直角三角形的边角关系得出CH﹣CH＝40，进而求出答案；（2）求出HP，根据锐角三角函数的定义进行计算即可．【解答】解：如图，过点C作CH⊥EF于点H，在Rt△CHB中，∵tan∠CBH＝＝，∴HB＝CH，在Rt△CHD中，∠CDH＝45°，∴CH＝DH，又∵BH﹣DH＝BD＝40，∴CH﹣CH＝40，解得CH＝20+20，即河两岸之间的距离是（20+20）米；（2）在Rt△CHP中，HP＝HD＝PD＝20+20﹣（12+12）＝8+8，∴tan∠CPE＝＝＝＝．6．（2023•乐至县）如图，在某机场的地面雷达观测站O，观测到空中点A处的一架飞机的仰角为45°，飞机沿水平线MN方向飞行到达点B处，此时观测到飞机的仰角为60°，飞机继续沿与水平线MN成15°角的方向爬升到点C处，此时观测到飞机的仰角为60°．已知OA＝9千米．（A、B、C、O、M、N在同一竖直平面内）（1）求O、B两点之间的距离；（2）若飞机的飞行速度保持12千米/分钟，求飞机从点B飞行到点C所用的时间是多少分钟？（≈1.414，结果精确到0.01）【分析】（1）过点O作OD⊥AB，垂足为D，根据题意可得：∠AOM＝45°，∠BOM＝60°，AD∥MN，从而可得∠A＝∠AOM＝45°，∠DBO＝∠BOM＝60°，然后在Rt△ADO中，利用锐角三角函数的定义求出OD的长，再在Rt△BDO中，利用锐角三角函数的定义求出OB的长，即可解答；（2）过点B作BE⊥OC，垂足为E，根据题意可得：∠CBD＝15°，∠BOM＝60°，∠CON＝60°，从而利用平角定义可得∠BOC＝60°，∠CBO＝75°，然后利用三角形内角和定理可得∠C＝45°，从而在Rt△BOE中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，再在Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，最后进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点O作OD⊥AB，垂足为D，由题意得：∠AOM＝45°，∠BOM＝60°，AD∥MN，∴∠A＝∠AOM＝45°，∠DBO＝∠BOM＝60°，在Rt△ADO中，OA＝9千米，∴OD＝OA•sin45°＝9×＝9（千米），在Rt△BDO中，OB＝＝＝6（千米），∴O、B两点之间的距离为6千米；（2）过点B作BE⊥OC，垂足为E，由题意得：∠CBD＝15°，∠BOM＝60°，∠CON＝60°，∴∠BOC＝180°﹣∠BOM﹣∠CON＝60°，∵∠DBO＝60°，∴∠CBO＝∠CBD+∠DBO＝75°，∴∠C＝180°﹣∠CBO﹣∠BOC＝45