2021年安徽示范高中高一自主招生考试数学试卷真题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页安徽省示范高中2021年自主招生考试数学学科试题本试卷共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟.★祝考试顺利★考生注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号.2.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交.一、选择题（本题共有10小题，每小题4分，共40分.）1．与实数最接近的整数是（

）A．2 B．3 C．4 D．52．如图所示零件的左视图是（

）A． B． C． D．3．若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．4．甲打字员计划用若干小时完成文稿的电脑输入工作，两小时后，乙打字员协助此项工作，且乙打字员文稿电脑输入的速度是甲的倍，结果提前小时完成任务，则甲打字员原计划完成此项工作的时间是（

）A．小时 B．小时C．小时 D．小时5．某组数据方差计算公式为：，由公式提供的信息，下列说法错误的是（

）A．样本的容量是3 B．样本的中位数是3C．样本的众数是3 D．样本的平均数是36．物理某一实验的电路图如图所示，其中K1，K2，K3为电路开关，L1，L2为能正常发光的灯泡.任意闭合开关K1，K2，K3中的两个，那么能让两盏灯泡同时发光的概率为（

）

A． B． C． D．7．已知是方程的两根，且，，实数的大小关系可能是（

）A． B．C． D．8．如图，在中，，，，，的平分线相交于点E，过点E作交于点F，则的长为（

）

A． B． C． D．9．如图，点D在半圆O上，半径，，点C在弧上移动，连接，H是上一点，，连接，点C在移动的过程中，的最小值是（

）

A．5 B．6 C．7 D．810．如图在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与二次函数交于点、点，点、、三点的横坐标分别是、、.已知四个等式：①；②；③；④；它们一定成立的是（

）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④二、填空题（本题共有4小题，每小题5分，共20分.）11．分解因式：.12．矩形的一组邻边长为，，矩形的一组邻边长为，.按如图所示的方式重叠后两阴影部分的面积分别为、，则（填“或”）.

13．对于每个x，函数y是，这两个函数的较小值，则函数y的最大值是.14．在等腰中，，且，则的度数为.三、（本题共有2小题，每小题8分，共16分.）15．先化简，再求值：，其中是的整数部分.16．观察一组数据：1，1，2，3，5，8，13，…，它们有一定的规律，若记第一个数为，第二个数记为，…，第个数记为.(1)计算的值；(2)请直接写出的值.四、（本题共有2小题，每小题8分，共16分.）17．某县位于沙漠边缘地带，治理沙漠、绿化家乡是全县人民共同愿望，到2018年底，全县沙漠的绿化率已达30%，此后政府计划在近几年内，每年将当年年初未被绿化的沙漠面积的m%进行绿化，到2020年底，全县沙漠的绿化率已达43.3%，求m的值.（注：沙漠绿化率=）18．如图，四边形是平行四边形，E为上任意一点.(1)如图①，只用无刻度的直尺在边上作出点F，使；(2)如图②，用直尺和圆规作出菱形，使得点F、G、H分别在边、、上.（不写作法，只保留作图痕迹）五、（本题共有2小题，每小题10分，共20分.）19．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点，与反比例函数（）的图象交于点.

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)设M是反比例函数图象上一点，N是直线上一点，若以A、O、M、N为顶点的四边形是以为边的平行四边形，请直接写出点N的坐标.20．如图1，四边形是某市休闲广场一个供市民休息和观赏的看台侧面示意图.已知：在四边形中，，米，，.从底边上点测得点的仰角，且米.

(1)求的长度；(2)如图2，为了避免白天市民在看台和的位置受到与水平面成角的光线照射，想修建一个遮阳篷，求这个遮阳篷的宽度是多少米?（计算结果都保留根号）六、（本题满分12分）21．在如图所示平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，过点作直线轴，点是直线上的一个动点，将线段以为旋转中心逆时针旋转得到，连接，.

(1)如果点的坐标为，则的值为____________；(2)当时，求出点运动轨迹图象的表达式，并注明自变量的取值范围；(3)求出周长的最小值.七、（本题满分12分）22．设二次函数（、为常数，），且.(1)若该二次函数的图象经过点，求该二次函数的解析式；(2)无论取何常数，这个二次函数的图象始终经过一个定点，求出这个定点坐标；(3)已知点和都在二次函数的图象上，若，且，求的取值范围（用含的代数式表示）.八、（本题满分14分）23．如图，四边形内接于，为的直径.

(1)求证：；(2)若，，是否存在一个值使四边形的面积最大?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．B【分析】先根据无理数的估算可得，再比较与的大小得出答案.【详解】因为，所以，即，，因为，所以，所以，即，所以与实数最接近的整数是3.故选：B.2．D【分析】根据左视图的定义，找到从左面看得到的图形即可.【详解】从左侧看，看见的用实线，看不见的用虚线，中间空心圆柱体上下产生两条虚线.零件的左视图是两个竖叠的矩形，中间有2条横着的虚线.故选：D.3．D【分析】首先解不等式组，利用m表示出不等式组的解集，然后根据不等式组有4个整数解即可求得m的范围．【详解】，由解得，又解得，所以不等式组的解为，因为不等式组的整数解有4个，即3,4,5,6，所以.故选：D.4．C【分析】设甲打字员原计划完成此项工作的时间是小时，则甲的工作效率是，乙的工作效率是．根据根据“提前小时完成任务”列出方程并解答．【详解】设甲打字员原计划完成此项工作的时间是小时，则甲的工作效率是，乙的工作效率是甲的倍，即，依题意得：，整理得：，解得：，经检验，是所列分式方程的解，即甲打字员原计划完成此项工作的时间是小时；故选：C．5．A【分析】根据给定的公式信息，写出样本数据，再逐项判断即得.【详解】依题意，样本数据为，因此样本容量为7，中位数为3，众数为3，平均数，A错误，BCD都正确.故选：A6．A【分析】由已知列举出闭合两个开关的所有结果，能使两个灯泡发光的结果，再求出概率即可.【详解】先后闭合两个开关的结果有，共6个，先后闭合的两个开关中能使灯泡发光的结果有，共2个，所以能让两盏灯泡同时发光的概率为.故选：A7．A【分析】转化为函数图象与直线交点、函数图象与轴交点的问题可得答案.【详解】函数的图象为开口向上的抛物线，如图，由已知可得与轴交点的横坐标为，在抛物线的对称轴的左侧，在抛物线的对称轴的右侧，可化为，可得是函数的图象与直线的两个交点的横坐标，由可得函数在抛物线的对称轴的左侧，在抛物线的对称轴的右侧，结合图象可得.故选：A.

8．C【分析】延长交于，过作，垂足分别为，利用角平分线的性质、勾股定理及相似三角形性质列式计算得解.【详解】延长交于，过作，垂足分别为，如图，

由，，得，显然，即四边形是矩形，而分别平分，，则，矩形是正方形，显然，同理，在中，由，，得，令正方形边长为，则由，得，解得，又由，得，则，即，所以.故选：C9．D【分析】取的中点，连结，由题意点在以为圆心，为半径的圆上，推出共线时，的值最小.【详解】如图，取的中点，连结，

，,点在以为圆心，为半径的圆上，共线时，的值最小.是直径，，又，，，，，，的最小值为.故选：D.10．D【分析】将点坐标代入一次函数表达式，求得一次函数的表达式为，而点、在该二次函数上，则，对这两式进行处理，即可求解．【详解】依题意可得，，一次函数与轴的轴交于点，故点，将点坐标代入一次函数表达式得：，解得，故一次函数的表达式为，点、在一次函数上，故点、的坐标分别为、，设二次函数的表达式为，点、在该二次函数上，则（*），对于②，（*）中两式相减得：，等式两边同除以得，，即，故②正确；对于③（*）中两式相除得：，则，即③正确；对于④，由③可知，，可得，即，故④正确；对于①，化简得，化简得，因为，所以，所以一定不成立，即一定不成立，故①错误；即正确的有②③④.故选：D．11．【分析】根据十字相乘法和提公因式法因式分解即可.【详解】.故答案为：.12．【分析】设空白处面积为，根据矩形的面积公式表示出与，比较大小即可【详解】设空白处面积为，，，因为，所以.故答案为：.13．6【分析】根据函数解析式，在同一平面直角坐标系内作出大致图象，然后根据图象即可解答.【详解】函数，的图像如图，函数y取两个函数的较小值，图像是如图的实线部分，两个函数图像都过点.当时，，函数y的最大值是6，当时，函数y无论在上取得，还是上取得，总有，即时，函数y的图像是下降的.所以函数y的最大值是6.故答案为：6.

14．或或或或【分析】（1）当为底角时，分三种情况讨论，先根据题意分别画出图形，当时，根据已知条件得出，从而得出底角的度数；当时，先求出的度数，再根据，求出底角的度数；当时，根据，，得出，从而得出的度数；（2）当为顶角时，根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）当为底角时，①如图1，当时，，，，，则和均为等腰直角三角形，；

②如图2，当时，，，，，；

③如图3，当时，，，，，，；

（2）当为顶角时，①如图4，，，，，，；

②如图5，，，，，，，．的度数为或或或或．

故答案为：或或或或15．；【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据是的整数部分，可以得到的值，然后即可求得所求式子的值．【详解】，又，所以的整数部分为，即，当时，原式.16．(1)(2)【分析】（1）根据规律列出，，，从而代入计算可得；（2）当时，由（1）中的递推关系得到，进而可得答案．【详解】（1）依题意可得从第个数起，每个数均是其前两个数的和，即且、，所以，，，，，，所以.（2）当时，由，，，．17．10.【分析】令原有沙漠总面积为，根据题意列出方程并求解即可.【详解】令原有沙漠总面积为，依题意，，整理得，显然，解得，所以m的值是10.18．(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）连结交于点，连结，延长交于点，点即为所求.（2）在线段上截取线段，使得，连结，作线段的垂直平分线交于，交于，连结即可.【详解】（1）如图①，点即为所求.（2）如图②，菱形即为所求.19．(1)，(2)或【分析】（1）将点，分别代入求出，把点代入反比例函数中求得；（2）设，由，得出，由求得结果.【详解】（1）因为一次函数的图象经过点，所以，一次函数的解析式为.因为在一次函数的图象上，所以，即，把代入反比例函数中，得到，所以反比例函数的解析式为.（2）如图，设，.

因为，，所以得出，所以，即或，所以或，解得或(舍弃)或或(舍弃)，所以或.20．(1)米(2)米【分析】（1）作交于，证明四边形是平行四边形，得到，，在中，根据正切求出，列方程求出，得到答案；（2）证明四边形是平行四边形，得到，求出即可．【详解】（1）如图，作交于，

又，四边形是平行四边形，，，，，在中，设米，则，，在中，，，，解得，（米）；（2），，四边形是平行四边形，，由题意得，，在中，，由（1）知，，，，（米）．21．(1)(2)(3)【分析】（1）过点作于，过点作于．利用全等三角形的性质解决问题即可．（2）利用全等三角形的性质求出点的坐标，可得结论．（3）作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，此时的周长最小．【详解】（1）如图中，过点作于，过点作于．

，，，轴，，四边形是矩形，，四边形是正方形，，，，，，，，，，，，所以，即，所以.（2），，，，，因为，所以，令，所以，，点的运动轨迹是直线．（3）如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，此时的周长最小．

设，则，解得，所以，，，，，的周长的最小值为．22．(1)；(2)；(3).【分析】（1）把点的坐标代入，再结合求出即得.（2）把代入二次函数式，变形整理即可得解.（3）求出二次函数图象的对称轴，判定点与对称轴的关系即可求解.【详解】（1）由二次函数的图象经过点，得，即，又，解得，所以该二次函数的解析式为.（2）把代入，得，整理得，显然当时，，所以无论取何常数，这个二次函数的图象始终经过一个定点.（3）由（2）知，，则该二次函数图象的对称轴为，而二次函数的图象上的点和满足，且，则当时，有，于是，且，解