安徽省淮南市凤台县2023-2024学年九年级上学期开学数学试题【含答案】

2023-2024学年第一学期第一次学情调研数学试卷（分值：150分时间：120分钟）一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.下列二次根式中，属于最简二次根式是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据最简二次根式的概念逐一判断即可：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式．【详解】解：A、含开的尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意；B、是最简二次根式，符合题意；C、含开的尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意；D、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查了最简二次根式的概念，解题的关键是掌握最简二次根式的定义．2.一元二次方程根的情况是（）A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根【答案】A【解析】【分析】利用一元二次方程根的判别式进行判断即可得．【详解】解：一元二次方程中的，则这个方程根的判别式为，所以方程有两个不相等的实数根，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．3.如图，点，都在格点上，若，则的长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据网格的特点，利用勾股定理求得的长，进一步计算即可求解.【详解】解：由题意得，∵，∴，故选：C【点睛】本题考查了勾股定理，二次根式的加减运算，利用数形结合的思想解答是解题的关键．4.如图，是平行四边形内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（）A.6 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】【分析】先根据平行四边形的性质得出，设两个阴影部分三角形的底为，，高分别为，，则为平行四边形的高，然后根据三角形面积公式求解即可．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，设两个阴影部分三角形的底为，，高分别为，，则为平行四边形的高，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式和平行四边形的性质，要求能灵活的运用等量代换找到需要的关系．5.正比例函数的图像如图所示，则一次函数的图像大致是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据正比例函数图像判定，故，判定的图像分布在一、三、四．【详解】∵正比例函数的图像分布在一三象限，∴，∴，∴的图像分布在一、三、四．故选D．【点睛】本题考查了函数图像的分布，熟练掌握图像分布的规律是解题的关键．6.甲、乙两人在相同条件下，各射击次，经计算：甲射击成绩的平均数是环，方差是；乙射击成绩的平均数是环，方差是，下列说法中一定正确的是（）A.甲的总环数大于乙的总环数 B.甲的成绩比乙的成绩稳定C.甲、乙成绩的众数相同 D.乙的成绩比甲的成绩波动小【答案】D【解析】【分析】根据方差、平均数的意义进行判断，平均数相同则总环数相同，方差越大，波动越大即可求出答案．【详解】解：∵各射击10次，甲射击成绩的平均数是9环，乙射击成绩的平均数是9环，∴甲、乙的总环数相同，故A说法错误，不符合题意；∵甲射击成绩的方差是；乙射击成绩的方差是，∴乙的成绩比甲的成绩稳定，甲的成绩比乙的成绩波动大，故B说法错误，不符合题意；D说法正确，符合题意；由已知不能得到甲、乙成绩的众数相同，故C说法错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了方差、平均数、众数的意义，熟练掌握方差、平均数的意义是解题的关键．7.一个群里共有个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息1980条，则可列方程（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】每个好友都有一次发给QQ群其他好友消息的机会，即每两个好友之间要互发一次消息；设有x个好友，每人发(x-1)条消息，则发消息共有x（x-1）条,再根据共发信息1980条，列出方程x（x-1）=1980.【详解】解：设有x个好友，依题意，得：x（x-1）=1980.故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意设出合适的未知数，再根据等量关系式列出方程是解题的关键.8.点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质，进行判断即可．【详解】解：∵，对称轴为直线，∴抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，∵，∴；故选A．【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．9.已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】A【解析】【分析】结合一元二次方程根的定义，以及根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，∴，，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程根的定义，以及根与系数的关系，一元二次方程有两个实数根，，则，，掌握以上公式是解题关键．10.如图，在矩形中，对角线相交于点，，，，若四边形的周长为12，则的长为（）A.3 B.6 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据菱形的判定可知四边形是菱形，再由四边形的周长为12，即可得到边长为3，再根据，由矩形性质即可得到是等边三角形，从而由含的直角三角形的三边关系可知．【详解】解：在矩形中，对角线相交于点，，，，矩形对角线相互平分，，是等边三角形，在中，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形，，菱形的周长为12，，，故选：D．【点睛】本题考查矩形的性质、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质及含的直角三角形的三边关系，熟练掌握这些基本性质及判定是解决问题的关键．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.如果有意义，那么字母x的取值范围是_______．【答案】且【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．【详解】由题意得，，，解得，且，故答案为：且．【点睛】本题考查了二次根式有意义条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．12.抛物线对称轴是直线_____．【答案】【解析】【分析】根据抛物线的对称轴为直线，进行求解即可．【详解】解：∵，∴抛物线的对称轴为直线：．故答案为：．【点睛】本题考查求抛物线对称轴，熟练掌握抛物线的对称轴为直线．13.设、是方程的两个根，且，则________．【答案】4【解析】【分析】根据根与系数的关系，得出，，代入，即可求出m的值．【详解】解：∵、是方程的两个根，∴，，∵，∴，∴．故答案为：4．【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握、是一元二次方程的两根时，，．14.如图，在中，，，，点B是延长线上的点，连接，若，则的长为______．【答案】【解析】【分析】由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，，再由勾股定理求出答案．【详解】解：在中，，，，，即，所以三角形是直角三角形，，在直角三角形中，，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形是解决问题的关键．三．（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.计算：；【答案】【解析】【分析】根据乘法公式，二次根式的混合运算法则即可求解．【详解】解：．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质，二次根式的混合运算是解题的关键．16.解下列一元二次方程：（1）（因式分解法）（2）（公式法）【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）因式分解法解方程即可；（2）公式法解方程即可．【小问1详解】解：∵，∴，∴，解得：，；【小问2详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，．【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．四．（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.甲、乙两地的路程为240千米，一辆汽车从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后．按原速继续前进到达乙地，设汽车出发x小时后离甲地的路程为y千米，图中折线表示y与x之间的函数关系．（1）根据图象可知，汽车行驶的速度为______千米/小时；（2）求线段所表示的y与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围．【答案】（1）80（2）【解析】【分析】（1）根据图象可知，汽车一小时走过的路程为千米，利用路程除以时间即可得解；（2）利用路程除以速度求出汽车到达乙地所用的时间，设出函数解析式，待定系数法求出函数解析式即可．【小问1详解】解：由图象可知，汽车一小时走过的路程为千米，∴汽车行驶的速度为千米/小时；故答案为：80；【小问2详解】休息后按原速继续前进行驶的时间为（小时），∴点E的坐标为，设线段所表示的y与x之间的函数表达式为，由图象可知，点在函数图象上，则解得，∴线段所表示的y与x之间的函数表达式为．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是正确的识别图象，从图象中有效的获取信息．18.已知关于x的一元二次方程（a+b）x2﹣2cx+（a﹣b）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝1是方程的一个根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【答案】（1）△ABC是等腰三角形，理由见解析（2）x1＝0，x2＝1【解析】【分析】（1）结合题意，根据一元二次方程的性质，将果x＝1代入到原方程，计算得a＝c，根据等腰三角形的性质分析，即可得到答案；（2）根据等边三角形的性质，得a＝b＝c，代入原方程，得x2﹣x＝0，通过求解一元二次方程，即可得到答案．【小问1详解】解：∵x＝1是方程的根，∴（a+b）﹣2c+（a﹣b）＝0，∴a+b﹣2c+a﹣b＝0，∴a﹣c＝0，∴a＝c∴△ABC是等腰三角形；【小问2详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，∴原方程可化为：2ax2﹣2ax＝0，∴x2﹣x＝0，∴∴x1＝0，x2＝1．【点睛】本题考查了一元二次方程、等腰三角形、等边三角形的知识，解题的关键是熟练掌握一元二次方程、等腰三角形的性质，从而完成求解．五．（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.已知二次函数．（1）将二次函数化成顶点式；（2）求图像与轴，轴的交点坐标．【答案】（1）（2）与轴交于点，与轴交于点，【解析】【分析】（1）用配方法化成顶点式即可；（2）当时，求出，当时，求出，，即可得二次函数与坐标轴的交点坐标．【小问1详解】解：；【小问2详解】当时，，与轴交于点，当时，，，．与轴交于点，．【点睛】本题考查二次函数的顶点式以及与坐标轴交点坐标，掌握配方法是解决此题的关键．20.在中，过点作于点，点在上，，连接、．（1）求证：四边形是矩形；（2）若平分，，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据有一个角是90度的平行四边形是矩形即可判定．（2）首先证明，求出，由矩形的性质得，，则，由勾股定理即可解决问题．【小问1详解】解：证明：四边形是平行四边形，，，，，，四边形是平行四边形，，，四边形是矩形．【小问2详解】，，平分，，，在中，，，，，四边形是矩形，，，，，；故答案为：．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．六．（本大题共2小题，每小题12分，满分24分）21.为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形的一边长为米．（1）矩形的另一边长为___________米（用含的代数式表示）；（2）矩形的面积能否为，若能，请求出的长；若不能，请说明理由．【答案】（1）（2）矩形的面积不能为，理由见详解【解析】【分析】（1）根据题中条件即可求出的长；（2）先根据题意列出方程，再根据一元二次方程的判别式，即可得出答案．【小问1详解】解：修建所用木栏总长28米，且两处各留1米宽的门（门不用木栏），米，故答案为：；【小问2详解】解：不能，理由如下：由题意得：，整理得：，∵，∴原方程无解，∴矩形的面积不能为．【点睛】本题主要考查列代数式、一元二次方程的应用、一元二次方程的判别式，熟练掌握一元二次方程的判别式是解题的关键．22.阅读材料：材料1：若一元二次方程的两个根为，则，．材料2：已知实数，满足，，且，求的值．解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以根据上述材料解决以下问题：（1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，____________．（2）类比探究：已知实数，满足，，且，求的值．（3）思维拓展：已知实数、分别满足，，且．求的值．【答案】（1）；；（2）；（3）-1

【解析】【分析】（1）直接根据根与系数的关系可得答案；（2）由题意得出、可看作方程，据此知，，将其代入计算可得；（3）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两根，继而知，，进一步代入计算可得．【小问1详解】，；故答案为；；【小问2详解】，，且，、可看作方程，，，；【小问3详解】把变形为，实数和可看作方程的两根，，，．【点睛】本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则．七．（本题满分14分）23.某景区5月份的游客人数比4月份增加，6月份的游客人数比5月份减少了．（1）设该景区4月份的游客人数为万人，请用含的代数式分别表示5月份和6月份的游客