上海市储能中学高三数学文联考试题含解析

上海市储能中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数图象过点，则f（x）图象的一个对称中心是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】正弦函数的图象．【专题】函数思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得=2sinφ，结合（|φ|＜）可得φ的值，由五点作图法令2x+=0，可解得：x=﹣，则可求f（x）的图象的一个对称中心．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象过点（0，），∴=2sinφ，由（|φ|＜），可得：φ=，∴f（x）=2sin（2x+），∴由五点作图法令2x+=0，可解得：x=﹣，则f（x）的图象的一个对称中心是（﹣，0）．故选：B．【点评】本题主要考查了正弦函数的对称性，属于基本知识的考查．2.已知直线m，n和平面α，如果n?α，那么“m⊥n”是“m⊥α”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据线面垂直的判定定理以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若m⊥α，则m⊥n，即必要性成立，当m⊥n时，m⊥α不一定成立，必须m垂直平面α内的两条相交直线，即充分性不成立，故“m⊥n”是“m⊥α”的必要不充分条件，故选：B3.对于集合，如果定义了一种运算“”，使得集合中的元素间满足下列4个条件：（ⅰ），都有；（ⅱ），使得对，都有；（ⅲ），，使得；（ⅳ），都有，则称集合对于运算“”构成“对称集”．下面给出三个集合及相应的运算“”：①，运算“”为普通加法；②，运算“”为普通减法；③，运算“”为普通乘法．其中可以构成“对称集”的有(

)A①②

B①③

C②③

D①②③参考答案：B4.已知等差数列的公差若则该数列的前项和的最大值为（

）A． B． C． D．参考答案：C略5.设集合A＝{x||x－a|＜1，x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}．若A∩B＝?，则实数a的取值范围是()A．{a|0≤a≤6}

B．{a|a≤2，或a≥4}C．{a|a≤0，或a≥6}

D．{a|2≤a≤4}参考答案：C6.设0＜a＜1，e为自然对数的底数，则a，ae，ea﹣1的大小关系为（）A．ea﹣1＜a＜ae B．ae＜a＜ea﹣1 C．ae＜ea﹣1＜a D．a＜ea﹣1＜ae参考答案：B【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】令f（x）=ex﹣1﹣x，（x∈（0，1））．利用导数研究函数的单调性可得ea﹣1与a的大小关系，再利用指数函数的单调性可得a与ae的大小关系．【解答】解：∵0＜a＜1，ae＜a，令f（x）=ex﹣1﹣x，（x∈（0，1））．f′（x）=ex﹣1＞0，∴函数f（x）在x∈（0，1））单调递增，∴f（x）＞f（0）=1﹣1﹣0=0．∴ea﹣1＞a．∴ea﹣1＞a＞ae．故选：B．7.已知数列{an}的前n项和为Sn，首项a1=﹣，且满足Sn++2=an（n≥2）．则S2014等于（） A．﹣ B． ﹣ C． ﹣ D． ﹣参考答案：D8.若函数满足且时，，函数，则函数在区间内的零点的个数为A．

B．

C．

D．参考答案：C略9.（5分）如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且其体积为．则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】：简单空间图形的三视图．【分析】：根据主视图与左视图的形状和几何体的体积是，知底面积是，得到底面是一个半径为1的四分之一圆，在四个选项中，只有D合适．解：根据主视图与左视图的形状和几何体的体积是，知底面积是，∴底面是一个半径为1的四分之一圆，故选D．【点评】：本题考查空间图形的三视图，考查根据三视图还原几何体，考查根据几何体的体积想象几何体的形状，本题是一个基础题．10.复数（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.等差数列{an}中，首项a1＞0，Sn是前n项和，且S15=S25，则Sn最大时，n=

参考答案：答案：2012.已知，则__________．参考答案：因为,且,所以,且,所以.13.已知为第二象限角，，则的值为

]参考答案：2由展开得，平方得，所以，从而，因为为第二象限角，故，因此，因为，，所以，，则14.过双曲线的下焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，若以为直径的圆恰好过其上焦点,则双曲线的离心率为

．参考答案：15.已知，则不等式x+（x+2）f（x+2）≤5的解集是．参考答案：（﹣∞，]【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】当x+2≥0时，f（x+2）=1；x+2＜0时，f（x+2）=﹣1，对x进行分类讨论后代入原不等式即可求出不等式的解集．【解答】解：∵不等式x+（x+2）f（x+2）≤5，∴x+2+（x+2）f（x+2）≤7，当x+2≥0时，f（x+2）=1，代入原不等式得：x+2+x+2≤7?﹣2≤x≤；当x+2＜0时，f（x+2）=﹣1，代入原不等式得：x+2﹣x﹣2≤7?0≤7，即x＜﹣2；综上，原不等式的解集为（﹣∞，]．故答案为：（﹣∞，]．16.已知抛物线C：的焦点为F,点是抛物线C上一点，，则m=

．参考答案：117.一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为

。

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学，给所有同学几何和代数各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.统计情况如下表：（单位：人）

几何题代数题总计男同学22830女同学81220总计302050（Ⅰ）能否据此判断有的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（Ⅱ）经过多次测试发现：女生甲解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，女生乙解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙两人独立解答同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率；（III）现从选择几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行研究，记甲、乙两名女生被抽到的人数为，求的分布列及数学期望.附表及公式0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考答案：（Ⅰ）由表中数据得的观测值，所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关（Ⅱ）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为分钟，则基本事件满足的区域为设事件为“乙比甲先做完此道题”，则满足的区域为∴由几何概型即乙比甲先解答完的概率（III）由题可知可能取值为0，1，2，，，故的分布列为：012∴

19.如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，点E是SD上的点，且（Ⅰ）求证：对任意的，都有（Ⅱ）设二面角C—AE—D的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若，求的值参考答案：解：（Ⅰ）证法1：如图1，连接BE、BD，由地面ABCD是正方形可得AC⊥BD。

SD⊥平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，AC⊥BE（Ⅱ）解法1：如图1，由SD⊥平面ABCD知，∠DBE=,

SD⊥平面ABCD，CD平面ABCD,SD⊥CD。又底面ABCD是正方形，CD⊥AD，而SDAD=D，CD⊥平面SAD.连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DE⊥AE于F，连接CF，则CF⊥AE，故∠CDF是二面角C-AE-D的平面角，即∠CDF=。在Rt△BDE中，BD=2a，DE=在Rt△ADE中,从而在中，.

由，得.由，解得，即为所求.证法2：以D为原点，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如

图2所示的空间直角坐标系，则

D（0，0，0），A（，0，0），B（，，0），C（0，，0），E（0，0），

，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

即。解法2：由（I）得.设平面ACE的法向量为n=(x，y，z)，则由得。

易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为.

.

0<，，

.

由于，解得，即为所求。略20.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，补全这个频率分布直方图；并估计该校学生的数学成绩的中位数．（2）从数学成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．（3）假设从全市参加高一年级期末考试的学生中，任意抽取4个学生，设这四个学生中数学成绩为80分以上（包括80分）的人数为X，（以该校学生的成绩的频率估计概率），求X的分布列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（1）通过各组的频率和等于1，求出第四组的频率，考查直方图，求出中位数即可．（2）分别求出[70，80），[80，90），[90，100]”的人数是18，15，3．然后利用古典概型概率求解即可．（3）判断概率类型X～B（4，0.3），即可写出分布列求解期望即可．【解答】解：（1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：f4=1﹣（0.025+0.015*2+0.01+0.005）*10=0.3…直方图如右所示…．中位数是计这次考试的中位数是73.3…．（2）[70，80），[80，90），[90，100]”的人数是18，15，3．所以从成绩是7以上（包括70分）的学生中选两人，他们在同一分数段的概率．=…（3）因为X～B（4，0.3），所以其分布列为：数学期望为EX=np=4×0.3=1.2…【点评】本题考查古典概型的概率的求法，频率分布直方图的画法，二项分布的分布列以及期望的求法，考查计算能力．21.在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，．（Ⅰ）求与．（Ⅱ）设数列满足，求的前项和．参考答案：（Ⅰ），（Ⅱ）（Ⅰ）设等差数列公差为，由题目列出各方程：即，即，得，解出，，∴，．（Ⅱ）∵．．．22.(1)解不等式≥的解集.(2)关于的不等式