2022-2023学年辽宁省沈阳市第二十三中学高一数学文期末试题含解析

2022-2023学年辽宁省沈阳市第二十三中学高一数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数在区间上递减，则实数的取值范围是（

）A.

B.

C.a≥-3

D.参考答案：D2.函数y=lgx+x有零点的区间是（）A．（1，2） B．（） C．（2，3） D．（﹣∞，0）参考答案：B【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】先求函数的定义域，再利用函数的零点的判定定理求解．【解答】解：函数f（x）=lgx+x的定义域为（0，+∞），且在定义域（0，+∞）上连续；而f（0.1）=﹣1+0.1＜0，f（1）=0+1＞0；故函数f（x）=lgx+x的零点所在的区间是（0.1，1）．故选：B．【点评】本题考查了函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．3.圆与直线有公共点，则k的取值范围是：A

BC

D参考答案：D4.函数，若f（a）=1，则a的值是（） A．2 B．1 C．1或2 D．1或﹣2参考答案：A【考点】函数的零点；函数的值． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据分段函数，直接解方程即可得到结论． 【解答】解：若a＜2，则由f（a）=1得，3a﹣2=1，即a﹣2=0， ∴a=2．此时不成立． 若a≥2，则由f（a）=1得，log=1， 得a2﹣1=3， 即a2=4， ∴a=2， 故选：A． 【点评】本题主要考查函数值的计算，要对应对a进行分类讨论． 5.函数是（

）A．最小正周期为的奇函数

B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数

D．最小正周期为的偶函数参考答案：B略6.已知sin＝，则sin－cos的值为()．A．－

B．－ C.

D.参考答案：B7.设全集，集合,,则等于(

)

A．

B.

C.

D.参考答案：A略8.三个数a=0.67，b=70.6，c=log0.76的大小关系为(

)A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a参考答案：C【考点】对数值大小的比较．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵0＜a=0.67＜0，b=70.6＞1，c=log0.76＜0，∴c＜a＜b，故选：C．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.函数有且只有一个零点，则实数a的值为（

）A．1 B.2

C．3 D.4参考答案：D由题可知，，令，，：令，由复合函数的单调性质可知：在山单调递减，上单调递增，在上单调递增，上单调递减，因为有且只有一个零点，则两个图象过点，解得，故选D。

10.（5分）设f（x）=logax（a＞0且a≠1），若f（2）=，则f（）=（） A． 2 B． ﹣2 C． ﹣ D． 参考答案：C考点： 对数的运算性质．专题： 函数的性质及应用．分析： 由已知得f（2）=loga2=，从而得到f（）==﹣loga2=﹣．解答： ∵f（x）=logax（a＞0且a≠1），f（2）=，∴f（2）=loga2=，∴f（）==﹣loga2=﹣．故选：C．点评： 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质的合理运用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知{an}是等比数列，且an＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于

．参考答案：5【考点】8G：等比数列的性质．【分析】由{an}是等比数列，a2a4+2a3a5+a4a6=25，利用等比数列的通项公式知a32+2a3a5+a52=25，再由完全平方和公式知（a3+a5）2=25，再由an＞0，能求出a3+a5的值．【解答】解：∵{an}是等比数列，且an＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，∴a32+2a3a5+a52=25，∴（a3+a5）2=25，∵an＞0，∴a3+a5=5．故答案为：5．【点评】本题考查等比数列的性质，是基础题．解题时要认真审题，注意完全平方和公式的合理运用．12.在区间中随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是_____．参考答案：13.（3分）已知函数y=ax﹣1+1（a＞0，a≠1）的图象经过一个定点，则顶点坐标是

．参考答案：（1，2）考点： 指数函数的图像与性质．专题： 函数的性质及应用．分析： 利用a0=1（a≠0），取x=1，得f（1）=2，即可求函数f（x）的图象所过的定点．解答： 当x=1时，f（1）=a1﹣1+1=a0+1=2，∴函数f（x）=ax﹣1+1的图象一定经过定点（1，2）．故答案为：（1，2）．点评： 本题考查了含有参数的函数过定点的问题，自变量的取值使函数值不含参数即可求出其定点．14.已知x＞，求函数y=4x﹣2+的最小值是

．参考答案：5【考点】基本不等式．【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞，∴4x﹣5＞0．∴函数y=4x﹣2+=（4x﹣5）++3=5，当且仅当4x﹣5=1，即x=时取等号．∴函数y=4x﹣2+的最小值是5．故答案为：5．15.已知的值为

.参考答案：－1解析：等式两边同乘，即16.不等式的整数解共有

个．参考答案：略17.已知函数y=cos2x+2cos（x+），则y的取值范围是

．参考答案：[﹣3，]【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用二倍角，诱导公式化简，转化为二次函数即可求y的取值范围．【解答】解：函数y=cos2x+2cos（x+）=1﹣2sin2x﹣2sinx=1﹣2（sin2x+sinx+）+=﹣2（sinx+）2．当sinx=时，y可取得最大值为．当sinx=1时，y可取得最小值为sinx==﹣3．则y的取值范围是[﹣3，]．故答案为：[﹣3，]．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设a∈R，函数f(x)=x2+2a|x－1|,x∈R.（1）讨论函数f(x)的奇偶性；（2）求函数f(x)的最小值.参考答案：解：f(x)=x2+2a|x－1|,x∈R.（1）当a=0时,f(x)=x2,函数是偶函数；当a≠0时函数没有奇偶性。……2分因为f(1)=1,f(－1)=1+4a≠f(1),即a≠0时函数不是偶函数；……3分当a≠－时f(－1)=1+4a≠－f(1),函数不是奇函数；当a=－时，f(x)=x2－|x－1|.,f(2)=3,f(－2)=1,f(－2)≠－f(2),所以函数不是奇函数。……5分综上，当a=0时,f(x)=x2,函数是偶函数；当a≠0时函数没有奇偶性。

(2)f(x)=

=……7分1°a≥1时，x≥1时，f(x)≥x2≥1=f(1)Tf(x)min=1……8分x<1时，对称轴x=a>1Tf(x)在(－￥,1)上为减函数Tf(x)>f(1)=1综上，a≥1时，f(x)min=1………………10分2°a<1时，若x<1，f(x)min=f(a)=－a2+2a=2a－a2……11分而x≥1时，f(x)min≥－a2－2a>－a2>2a－a2…………12分∴

a<1时，f(x)min=2a－a2∴

f(x)min=……13分（2）参考解法：

……6分

先分段求出函数的最小值：当时，对称轴为

①当，即时，在递增，；

……7分②当，即时，

……8分当时，对称轴为①当时，在递减，；

……9分②当时，

……10分再比较合并函数的最小值①当时，

②当时，可知，

ks5u③当时，比较1与大小，，

综上所述：

……13分

19.某超市为了解端午节期间粽子的销售量，对其所在销售范围内的1000名消费者在端午节期间的粽子购买量（单位：g）进行了问卷调查，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）求这1000名消费者的棕子购买量在600g～1400g的人数；（Ⅲ）求这1000名消费者的人均粽子购买量（频率分布直方图中同一组的数据用该组区间的中点值作代表）．参考答案：（Ⅰ）a＝0.001（Ⅱ）620

（Ⅲ）1208g【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图的性质，列出方程，即可求解得值；（Ⅱ）先求出粽子购买量在的频率，由此能求出这1000名消费者的粽子购买量在的人数；（Ⅲ）由频率分布直方图能求出1000名消费者的人均购买粽子购买量【详解】（Ⅰ）由频率分布直方图的性质，可得（0.0002+0.00055+a+0.0005+0.00025）×400＝1，解得a＝0.001．（Ⅱ）∵粽子购买量在600g～1400g的频率为：（0.00055+0.001）×400＝0.62，∴这1000名消费者的棕子购买量在600g～1400g的人数为：0.62×1000＝620．（Ⅲ）由频率分布直方图得这1000名消费者的人均粽子购买量为：（400×0.0002+800×0.00055+1200×0.001+1600×0.0005+2000×0.00025）×400＝1208g．【点睛】本题主要考查了频率、频数、以及频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.20.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点．求证：(1)直线BC1∥平面EFPQ；(2)直线AC1⊥平面PQMN.参考答案：证明：(1)如图，连接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1，因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.…………………3分从而BC1∥FP.

…………………4分而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ，

…………………5分故直线BC1∥平面EFPQ.

…………………6分(2)如图，连接AC，BD，则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，可得CC1⊥BD.…………………8分又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1.而AC1?平面ACC1，所以BD⊥AC1.

…………………10分因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MN∥BD，从而MN⊥AC1，同理可证PN⊥AC1.又PN∩MN＝N，所以直线AC1⊥平面PQMN.

……12分21.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形．（1）求证：BD⊥PC；（2）若平面PBC与平面PAD的交线为l，求证：BC∥l．

参考答案：（1）证明：连接AC，交BD于点O．∵四边形ABCD为菱形，所以

2分又∵PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD,∴PA⊥BD又∵

PA∩AC=A,

PA平面PAC,

AC平面PAC∴，

又∵

∴

..........................................................................................................6分（2）∵四边形ABCD为菱形，∴

∵．∴

............................................................................................9分

又∵，平面平面．

∴．......................

..................................(少一个条件扣一分，不重复扣分)12分22.已知函数f（x）=lg．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域，并证明其在定义域上是奇函数；（Ⅱ）对于x∈[2，6]，f（x）＞lg恒成立，求m的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）对数函数的指数大于0，从而求解定义域．根据函数的奇偶性进行判断即可．（Ⅱ）利用对数函数的性质化简不等式，转化为二次函数的问题求解m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由＞0，解得x＜﹣