线性代数教材第二章

1、第二章 矩阵和矩阵的初等变换第一节 矩阵的定义一、 矩阵的基本概念（）二、几类特殊的矩阵（）第二节 矩阵的运算一、 矩阵的加法与数乘矩阵（）二、矩阵的乘法（）三、矩阵的转置（）四、方阵的幂及其行列式（）第三节 矩阵的分块一、 分块矩阵的定义（）二、分块矩阵的运算（）第四节 矩阵的初等变换及初等矩阵一、 矩阵的初等变换与矩阵等价（）二、初等矩阵（）第五节 逆矩阵一、 逆矩阵的基本概念（）二、逆矩阵存在及判定定理（）三、逆矩阵的性质（）四、初等变换求逆矩阵（）第六节 矩阵的秩一、 矩阵的秩的定义（）二、初等变换求矩阵的秩（）三、矩 阵的秩的性质（）习题二第二章 矩阵和矩阵的初等变换 矩阵是线性代数

2、的主要研究对象之一，它在数学和其他自然科学、工程技术和经济领域中都有着广泛的应用. 本章的中心议题为矩阵，围绕这个议题，先给出矩阵的定义、矩阵的运算和求方阵的逆、初等变换以及求矩阵的秩，最后介绍矩阵的分块运算.第一节 矩阵的定义一、 矩阵的基本概念 定义1 由个数排成的行列的数表（常用括弧将数表括起） 称为行列矩阵，简称阶矩阵，其中叫做矩阵的元素，为行标，为列标，表明位于矩阵的第行第列. 为简单起见，记阶矩阵为或. 特别地，当时，则称矩阵为阶矩阵或阶方阵，记为. 对于矩阵，当时，有.称矩阵为行矩阵，或行向量. 为避免元素间的混淆，行矩阵也可写为. 当时，有.称矩阵为列矩阵，或列向量. 当时，有

3、.这里把矩阵看成是数. 两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵.所有元素均为零的矩阵，称为零矩阵，记作. 注意不同型的零矩阵是不同的. 定义2 如果与是同型矩阵，且它们的对应元素均相等，即，则称矩阵与矩阵相等，记作. 下面举几个关于矩阵应用的例子. 例1 3个产地与4个销地之间的里程（单位：千米）可列为矩阵： .其中为第产地到第销地的里程数.1 32 4 例2 4个城市间的单向航线如图1所示. 若令 则图1可用矩阵表示为图1 一般地，若干个点之间的单向通道都可用这样的矩阵表示. 例3 个变量与个变量之间的关系式 (1)表示一个从变量到变量的线性变换，其中为常数.线性变换(1)的系

4、数构成矩阵. 给定了线性变换(1)，它的系数所构成的矩阵(称为系数矩阵)也就确定.反之，如果给出一个矩阵作为线性变换的系数矩阵，则线性变换也就确定.在这个意义上，线性变换和矩阵之间存在着一一对应的关系.二、几类特殊的矩阵1）对角矩阵 阶方阵的元素称为的主对角元素.例如，矩阵的主对角元素为3和1.定义3 若阶方阵中的元素满足条件 则称为阶对角矩阵或对角阵，即 （此记法表示对角线以外未标明的元素均为0）.简记为.例如， 为对角阵. 特别地，当，则称对角阵为阶数量矩阵.即 例如， 为数量矩阵.又当时，称为阶单位矩阵或单位阵，记作，有时简记为，即 .例如线性变换叫做恒等变换，它对应的系数矩阵就是一个阶

5、单位矩阵.2）三角形矩阵定义4 若阶方阵中的元素满足条件 则称为阶上三角形矩阵或上三角矩阵，即 .若阶方阵中的元素满足条件 则称为阶下三角形矩阵或下三角矩阵，即 . 例如，为上三角矩阵，为下三角矩阵.3）对称矩阵 定义5 若阶方阵中的元素满足 则称为对称矩阵.例如，为对称矩阵.4）阶梯形矩阵 定义6 若矩阵满足：(i)若有零行(元素全为零的行)，全部在矩阵的下方；(ii)各非零行的第一个不为零的元素(称为首非零元)的列标随行标的增大而严格增大.则称矩阵为行阶梯形矩阵.例如，矩阵为行阶梯形矩阵，而矩阵不是行阶梯形矩阵. 进一步，若行阶梯形矩阵满足：(i)行首非零元等于1；(ii)所有首非零元所在

6、列的其余元素全为零.则称为行最简形矩阵.上例行阶梯形矩阵对应的行最简形为，而矩阵不是行最简形矩阵.第二节 矩阵的运算一、 矩阵的加法与数乘矩阵定义1 两个阶矩阵和对应位置元素相加得到的矩阵，称为矩阵与的和，记作，即 .注意，只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.例1 两种物资（单位：吨）同时从3个产地运往4个销地，其调运方案分别为矩阵和矩阵：，.则从各产地运往各销地的物资总调运量（单位：吨）为 定义2 以数乘阶矩阵的每一个元素得到的矩阵，称为数与矩阵的积，记作，即 若取，则有.称为矩阵的负矩阵.显然有 ,由此规定矩阵的减法为 即若，则 例2 设3个产地与4个销地之间的里程（单位：千米）

7、为例1中的矩阵0.已知货物每吨公里的运费为1.50元，则各产地与各销地之间每吨货物的运费（单位：元吨）可以记为矩阵形式： 矩阵相加与数乘矩阵的运算，统称为矩阵的线性运算.矩阵的线性运算满足下面的运算律：设、都是阶矩阵，是数，则(i) (ii) (iii) (iv) (v) 例3 已知 ，且，求.解：由矩阵的加法和数乘运算律有 二、 矩阵的乘法 设有两个线性变换 则变量与变量的关系为 (1) 定义3 设矩阵，.令则称矩阵是矩阵与矩阵的乘积，记作. 对于矩阵的乘法由定义注意到以下三点：(1)只有矩阵的列数等于的行数时，才有意义.(2) 乘积矩阵的第行第列元素就是的第行上各元素与的第列上的各对应元素

8、的乘积之和.即(3) 乘积矩阵的行数等于矩阵的行数，列数等于矩阵的列数. 线性变换(1)用矩阵乘法表示即为.这种矩阵的表示显然比(1)式表示要简单得多.例4 设矩阵，求.解 因为是矩阵，是矩阵，即的列数等于的行数，故和可相乘，其乘积应是个矩阵. .例5 设，求及。解 ，.由例4知，在矩阵的乘法中必须注意矩阵相乘的顺序.是左乘，是右乘. 有意义时，可以没有意义. 当与都有意义时，它们仍然可以不相等，如例5中的和不相等. 总之，矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情形下，.对于两个阶方阵，若，则称方阵与是可交换的.例5还表明，矩阵，但却有.这里要特别注意的是：若有两个矩阵尽管满足，也不一定能得出或的结

9、论；若而，也不一定能得出的结论.矩阵的乘法虽不满足交换律，但仍满足下列结合律和分配律（假设运算都是可行的）：(i) ;(ii) ;(iii) ;(iv) .三、 矩阵的转置定义4 把矩阵的行与列互换，得到一个新矩阵，称为的转置矩阵，记作.即若，则.例如矩阵的转置矩阵为.矩阵的转置也是一种运算，满足下述运算规律（假设运算都有意义）:(i) ；(ii) ；(iii) ，其中为数；(iv) .这里仅证明(iv).设，记，.于是按定义有 ，而的第行为，的第列为，因此 ，所以，即，亦即. 例6 已知，求.解法1 因为 所以.解法2 .定义5 若阶方阵的元素都满足 ，则称为对称矩阵，即；若元素都满足，则称

10、为反对称矩阵，即. 例7 设列矩阵满足，为阶单位阵，证明是对称阵，且. 证明前先提醒读者注意：是一阶方阵，也就是一个数，而是阶方阵.证 所以是对称阵. 四、 方阵的幂及其行列式 定义6 对于方阵及自然数称为方阵的次幂.方阵的幂有下列性质：设是方阵，是自然数，则(i) ；(ii) .定义7 由阶方阵的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵的行列式，记为.注意，方阵与行列式是两个不同的概念，阶方阵是个数按一定方式排成的数表，而阶行列式则是这些数(也就是数表)按一定的运算法则所确定的一个数.由确定的的运算满足下述运算规律（设、为阶方阵，为数）：(i) ;(ii) ； (iii) . 我们仅

11、证明(iii).设，.记阶行列式 ,由第一章的第三节例4可知,而在中以乘第1列，乘第2列，乘第列，都加到第列上()，有,其中，故.再对的行作,有 ,从而有 于是 . 由(iii)可知，虽然对于阶方阵、，一般说来，但总有(数相乘可交换).例8 ，求.解法一 ，.解法二 ，.例9 行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下的矩阵称为矩阵的伴随矩阵，简称伴随阵. 试证.证 设，记，则，其中故 .类似有. 第三节 矩阵的分块 矩阵分块法的基本思想是把矩阵分成若干小块，把每一小块看作矩阵的一个元素，这样就把阶数较高的矩阵化为阶数较低的矩阵，从而简化表示，便于讨论和计算.一、分块矩阵的定义例如,如果令，则

12、.定义1 用若干条纵线和横线把矩阵分成许多小矩阵，每个小矩阵称为的子块，以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.给了一个矩阵，可以根据需要把它分成不同的分块矩阵.如上例中的，也可以按其他方法分块，例如：如果令，,则 .如果令，则 . 本章第2节证明公式时出现的矩阵正是分块矩阵，在那里是把四个矩阵拼成一个大矩阵，这与把大矩阵分成多个小矩阵是同一个概念的两个方面.二、分块矩阵的运算分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则类似.如果将矩阵分块为,设为数，则. 如果将矩阵，分块为其中，对应子块与有相同的行数与相同的列数，则.如果将矩阵，分块为其中，的列数与的行数相同，则.例1 矩阵，计算，及.解 将矩阵，分块如

13、下： ，则，.然后再分别计算，代入上面三式，得，.容易验证这个结果与直接用不分块矩阵运算得到的结果相同.例2 如果将矩阵分块为，则.设为阶矩阵，若的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即,其中都是方阵，那么称为分块对角矩阵. 分块对角矩阵的行列式具有下述性质.由此性质可知，若，则，并有.例 3 设，求.解 ，所以 . 例4 分块矩阵，其中和分别为阶与阶可逆方阵，是矩阵，是零矩阵.证明可逆，并求.解 设可逆，且，其中，分别为与，同阶的方阵，则应有，即 .于是得， ， ， . 因为可逆，用右乘式与式，可得，即 ，. 将代入式，有. 因为可逆，用右乘上式

14、，得 即 . 将代入式，有.再用右乘上式，得,于是求得.容易验证.第四节 矩阵的初等变换及初等矩阵矩阵的初等变换是矩阵的一种最基本的运算，它在解线性方程组、求逆阵及矩阵理论的讨论中都起到非常重要的作用.一、矩阵的初等变换与矩阵等价定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换：(i)对调两行(对调两行，记作);(ii)数乘某一行中的所有元素(第行乘，记为);(iii)把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去(第行的倍加到第行上，记为).把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义(所有记号把换成即可).矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为初等变换.容易证明三种初等变换都是可逆的，且其逆

15、变换是同一类型的初等变换. 变换的逆变换就是其本身；变换的逆变换为 (或记作)；变换的逆变换为 (或记作).定义2 若矩阵经过有限次初等变换化为矩阵，则称矩阵与等价，记作.矩阵之间的等价关系具有下列性质：(i)反身性: ; (ii)对称性：若，则;(iii)传递性：若， ,则.在第四章将看到，初等行变换将成为解线性方程组的重要工具.对行最简形矩阵施以初等列变换，可化为一种形式最简单的矩阵，称为标准形. 例如 ,矩阵称为矩阵的标准形，其特点是：的左上角是一个单位矩阵，其余元素全为0.定理1 对于矩阵，总可经过初等变换(行变换和列变换)把它化为标准形 ，此标准形由三个数完全确定，其中就是行阶梯形矩

16、阵中非零行的行数.证 如果所有的都等于零，则已是的形式(此时，)；如果至少有一个元素不等于零，不妨假设 (如，可以对矩阵进行第(i)种初等变换，使左上角元素不等于零).用乘第一行加于第行上()，用乘所得矩阵的第一列加于第列上()，然后以乘第一行，于是矩阵化为 如果，则已化为的形式，如果，那么，按上面的方法继续下去，最后总可以化为的形式.例1 化矩阵 为矩阵的形式.解二、初等矩阵 定义3 对单位矩阵进行一次初等变换后得到的矩阵，称为初等矩阵.初等矩阵有下列三种：(1) 对进行第(i)种初等变换得到的矩阵： (2) 对进行第(ii)种初等变换得到的矩阵：(3) 对进行第(iii)种初等变换得到的矩

17、阵：定理2 设，(1)对的行进行某种初等变换得到的矩阵,等于用相应的阶初等矩阵左乘；(2)对的列进行某种初等变换得到的矩阵,等于用相应的阶初等矩阵右乘. 证 现在证明交换的第行与第行等于用左乘.将与表示为,其中由此可见恰好等于矩阵第行与第行互相交换得到的矩阵.用类似的方法可以证明其它各种初等变换为相应的初等矩阵左乘或右乘矩阵的运算. 所以说矩阵的初等变换实际上是矩阵的一种乘法运算.第五节 逆矩阵 解一元线性方程，当时，存在一个数，使为方程的解. 那么，解矩阵方程时，是否也存在一个矩阵，使这个矩阵乘以等于. 这就是本节要讨论的逆矩阵问题.一、逆矩阵的基本概念定义1 对于阶矩阵，如果有一个阶矩阵，

18、使 ，则说矩阵是可逆的，并把矩阵称为的逆矩阵，简称逆阵. 如果矩阵是可逆的，那么的逆阵是惟一的. 这是因为：设，都是的逆阵，则有所以的逆阵是惟一的.的逆阵记作. 即若，则.二、逆矩阵存在及判定定理定义2 若阶矩阵的行列式，则称为非奇异矩阵，否则称为奇异矩阵.定理1 阶矩阵为可逆的充分必要条件是是非奇异矩阵，而且 ， (1)其中,为的伴随矩阵.例1 求二阶矩阵的逆阵.解 ，利用逆阵公式(1), 当时，有.例2 求方阵的逆阵.解 求得，知存在. 再计算的余子式 得 ，所以 . 由定理1，可得下述推论. 推论 若(或),则. 证 ，故,因而存在，于是 例3 设,求矩阵使其满足.解 若存在，则用左乘上

19、式，右乘上式，有,即 .由上例知，而，故知都可逆，且，于是三、逆矩阵的性质方阵的逆阵满足下列运算规律：(i) 若可逆，则亦可逆，且.(ii) 若可逆，数，则可逆，且.例4 如果 ，其中.验证.证 所以 .(iii) 若可逆，则.(.)(iv) 若、为同阶的可逆方阵，则亦可逆，且. 事实上，.(v) 若可逆，则亦可逆，且.因为. 定理2 设与为矩阵，则的充分必要条件是存在阶可逆矩阵及阶可逆矩阵，使.当可逆时，还可定义，其中为正整数. 这样，当可逆，为整数时，有 .例5 设，求.解 ，而 ，故.设 为的次多项式，为阶矩阵，记,称为矩阵的次多项式.因为矩阵，和都是可交换的，所以矩阵的两个多项式和总是

20、可交换的，即总有.从而的几个多项式可以像数的多项式一样相乘或分解因式.例如，.例5中计算的方法可用来计算的多项式，这就是：(i) 如果，则，从而.(ii) 如果为对角阵，则，从而例6 设，求.解 ，可知可逆，从而而，故.而 于是 .四、初等变换求逆矩阵根据逆矩阵的定义，对于第三节的定理1就有：若为阶可逆矩阵，则.定理2 阶矩阵为可逆矩阵的充分必要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积.证 先证必要性： 若可逆，则经过若干次初等变换可化为，那就是说，存在矩阵，使记则.即矩阵可以表成一些初等矩阵的乘积. 反之，因为初等矩阵可逆，由第四节逆矩阵的性质(iv)知充分条件是显然的. 这样由定理2得到了矩阵求

21、逆的一种简便有效的方法初等变换求逆法. 若可逆，则可表示为有限个初等矩阵乘积，即，由，就有上面左式表示经若干次初等行变换化为，右式表示经同样的初等行变换化为.把上面的两个式子写在一起，则有 即对的矩阵进行初等行变换，当将化为时，则化为.类似地，对的矩阵进行初等列变换,化为时,即将化为的同时也将化为.例7 求矩阵的逆矩阵.解 作矩阵于是得到 如果不知道矩阵是否可逆，可按上述方法去作，只要矩阵左边子块有一行（列）的元素为零，则不可逆.例8 求下列阶矩阵的逆矩阵：.解 作矩阵用乘第行加于第行，再以乘第行，得,所以 第六节 矩阵的秩 矩阵的秩是线性代数中的又一个重要概念，它描述了矩阵的一个重要的数值特

22、征.一、矩阵的秩的定义对于给定的矩阵，它的标准形由数完全确定.这个数也就是的行阶梯形中非零行的行数，这个数便是矩阵的秩.但由于这个数的惟一性尚未证明，因此下面用另一种说法给出矩阵的秩的定义.定义1 在矩阵中，任取行列（），位于这些行列交叉处的个元素，不改变它们在中所处的位置次序而得的阶行列式，称为矩阵的阶子式.例如.矩阵的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为. 矩阵的阶子式共有个.定义2 矩阵中不为零的子式最高阶数称为矩阵的秩，记作.即存在阶子式不为零，且所有的阶以上的子式(如果存在)全等于零, 则称为矩阵的最高阶非零子式. 规定零矩阵的秩等于0.显然: ；.对于阶矩阵，由于的

23、阶子式只有一个，故当时，当时.可见可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数.因此，可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵(奇异矩阵)又称降秩矩阵.例1 求矩阵的秩.解 利用定义1来计算各阶子式的值.的一个二阶子式，故,而中的三阶子式有4个，且均为0，即，.二、初等变换求矩阵的秩当矩阵的行数和列数较高时，按定义求秩是不可取的.由于行阶梯形矩阵的秩就等于其非零行的行数，因此用初等变换求矩阵的秩是否可行？下面的定理对此作出了肯定的回答.定理1 若，则.证 即证矩阵经有限次初等变换化为矩阵，有.我们只须证明：经一次初等变换化为，有.设，且的某个阶子式.当或时，在中总能找到与相对应的阶子式，由

24、于或或，因此，从而.当时，因为对于作变换时结论成立，所以只需考虑这一特殊情形.分两种情形讨论：的阶非零子式不包含的第1行，这时也是的阶非零子式，故；包含的第1行，这时把中与对应的阶子式记作,若，则；若，则也是的阶子式，由，知与不同时为0. 总之，中存在阶非零子式或，故.因此，经一次初等行变换化为，有.由于亦可经一次初等行变换化为，故也有.因此.设经初等列变换化为，则经初等行变换化为，同理可知，又，因此.上述证明了经一次初等变换化为 (即)，有，即经过一次初等变换矩阵的秩不变，故经过有限次初等变换矩阵的秩仍不变,即若经有限次初等变换化为 (即)，则.由第三节的定理2可得下面的推论.推论1 若可逆

25、矩阵，使，则.推论2 设为阶可逆矩阵，则. 根据定理1，求矩阵的秩的问题就转化为用初等行变换化矩阵为行阶梯形矩阵的问题，得到的行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩.例2 设 ，求的秩，并求的一个最高阶非零子式.解 先求矩阵的秩，为此对作初等行变换变成行阶梯形矩阵 因为行阶梯形矩阵有3个非零行，所以.再求的一个最高阶非零子式.因,故的最高阶非零子式为3阶. 的3阶子式共有个，考察的行阶梯形矩阵，其中非零行的非零首元素在1、2、4列，并注意到对只进行过初等行变换，故可取的子矩阵，因为的行阶梯形矩阵为 ,可知,故中必有3阶非零子式，而中的3阶子式就只有4个（比中的少得多）.计算的前三行构成的子式 .此子式即为的一个最高阶非零子式.例3 设 ，已知，求与的值.解 ,因，故 即 三、矩阵秩的性质前面我们已经提出了矩阵秩的一些最基本的性质，归纳起来有： ； ； 若，则； 若可逆，则.下面再介绍几个常用的矩阵秩的性质： ,特别地，当为非零列向量时，有.证 因为的最高阶非零子式总是的非零子式，所以.同理