优化探究-教师用书 第2章-第7节函数的图象

1、第七节函数的图象会运用函数图象理解和研究函数的性质 授课提示：对应学生用书第28页知识梳理1描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：首先：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；最后：描点，连线2利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换yf(x)yf(xa)；yf(x)yf(x)b.(2)伸缩变换yf(x)yf(x)；yf(x)yAf(x)(3)对称变换yf(x)yf(x)；yf(x)yf(x)；yf(x)yf(x)(4)翻折变换yf(x)yf(|x|)；

2、yf(x)y|f(x)|.自主诊断1函数y1的图象是()解析：将y的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y1的图象答案：B2函数f(x)的图象如图所示，则abc()A.BC4 D解析：将点(0,2)代入ylogc(x)，得2logc，解得c.再将点(0,2)和(1,0)分别代入yaxb，解得a2，b2，abc，选D.答案：D3已知a0，且a1，函数ylogax，yax，yxa在同一坐标系中的图象可能是()解析：根据直线yxa在y轴上的截距的大小与1的关系，结合指数函数、对数函数的单调性可知答案为选项C.答案：C4将曲线C先向左平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来

3、的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数解析式为yf(x)，则曲线C的解析式为_解析：逆向变化即可，先把函数yf(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得yf(2x)的图象，再向右平移个单位，得yf2(x)f(2x)的图象答案：yf(2x)根据上面所做题目，请填写诊断评价诊断评价错题题号错因(在相应错因中画)知识性方法性运算性审题性用自己的方式诊断记录减少失误从此不再出错授课提示：对应学生用书第29页考点一作图1分别画出下列函数的图象：(1)y|lg(x1)|；(2)y2x11；(3)yx2|x|2.解析：(1)首先作出ylg x的图象C1，然后将C1向右平移1个单位，得到yl

4、g(x1)的图象C2，再把C2在x轴下方的图象作关于x轴对称的图象，即为所求图象C3：y|lg(x1)|.如图1所示(实线部分)(2)y2x11的图象可由y2x的图象向左平移1个单位，得y2x1的图象，再向下平移一个单位得到，如图2所示(3)yx2|x|2其图象如图3所示函数图象作法的2个关键点(1)常见的几种函数图象如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如yx(m0)的函数是图象变换的基础(2)掌握平移交换、伸缩变换、对称变换等常用方法技巧，可以帮助我们简化作图过程即时应用1分别画出下列函数的图象：(1)y|x24x3|；(2)y；(3)y10|lg x|.解析：(1)先画函

5、数yx24x3的图象，再将其x轴下方的图象翻折到x轴上方，如图1.(2)y2.可由函数y向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图2.(3)y10|lg x|如图3.考点二函数图象的辨识2(1)(2016高考浙江卷)函数ysin x2的图象是()解析：根据函数的奇偶性及特值法进行判断ysin(x)2sin x2，函数为偶函数，可排除A项和C项；当x时，sin x2sin1，排除B项，故选D.答案：D(2)如图，动点P在正方体ABCDA1B1C1D1的体对角线BD1上过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体的表面相交于M，N.设BPx，MNy，则函数yf(x)的图象大致是()解析：设正

6、方体的棱长为1，显然，当P移动到体对角线BD1的中点O时，函数yMNAC取得唯一的最大值，所以排除A、C；当P在BO上时，分别过M、N、P作底面的垂线，垂足分别为M1、N1、P1，则yMNM1N12BP12xcosD1BDx，是一次函数，所以排除D.故选B.答案：B函数图象辨识的5个要点(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；(2)从函数的值域，判断图象的上下位置；(3)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象即时应用2(1)(2017日照一中模拟)函数f(x)(1cos x)sin x在，的图象大致为()(2)(2

7、017杭州模拟)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是()Af(x)x22ln |x|Bf(x)x2ln |x|Cf(x)|x|2ln |x|Df(x)|x|ln |x|解析：(1)因为f(x)1cos(x)sin(x)(1cos x)sin xf(x)，所以函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除B；当x(0，)时，1cos x0，sin x0，所以f(x)0，排除A；又函数f(x)的导函数f(x)sin2xcos2xcos x，所以f(0)0，排除D，故选C.(2)由函数图象可得，函数f(x)为偶函数，且x0时，函数f(x)的单调性为先减后增，最小值为正，极小值点小于

8、1，分别对选项中各个函数求导，并求其导函数等于0的正根，可分别得1，2,1，由此可得仅函数f(x)x2ln |x|符合条件答案：(1)C(2)B考点三函数图象的应用函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：(1)确定方程根的个数(2)求参数的取值范围(3)求不等式的解集(4)研究函数的性质命题点1确定方程根的个数3(2017文登一中模拟)已知函数yf(x)的周期为2，当x1,1时，f(x)x2，那么函数yf(x)的图象与函数y|lg x|的图象的交点共有()A10个B9个C8个 D7个解析：根据f(

9、x)的性质及f(x)在1,1上的解析式可作图如下：可验证当x10时，y|lg 10|1；当x10时，|lg x|1.因此结合图象及数据特点知yf(x)与y|lg x|的图象交点共有10个答案：A命题点2求参数的范围4若当x(1,2)时，函数y(x1)2的图象始终在函数ylogax的图象的下方，求实数a的取值范围解析：如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y(x1)2和ylogax的图象，由于当x(1,2)时，函数y(x1)2的图象恒在函数ylogax的图象的下方，则解得1a2.命题点3求不等式的解集5(2017成都模拟)设奇函数f(x)在(0，)上为增函数且f(1)0，求不等式0的解集解析：f(

10、x)为奇函数，所以不等式0化为0，即xf(x)0，f(x)的大致图象如图所示所以xf(x)0的解集为(1,0)(0,1)命题点4研究函数的性质6设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR恒有f(x1)f(x1)，已知当x0,1时，f(x)1x，则：2是函数f(x)的周期；函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；函数f(x)的最大值是1，最小值是0；当x(3,4)时，f(x)x3.其中所有正确命题的序号是_解析：由已知条件：f(x2)f(x)，则yf(x)是以2为周期的周期函数，正确；当1x0时，0x1，f(x)f(x)1x，函数yf(x)的图象如图所示：当3x4时，1x40

11、，f(x)f(x4)x3，因此正确，不正确答案：1研究函数性质时一般要借助于函数图象，体现了数形结合思想2有些不等式问题常转化为两函数图象的上、下关系来解决3方程解的问题常转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题来解决授课提示：对应学生用书第31页函数的图象主要考查图象的识别与应用，多以选择、填空题为主，难度中档1(2016高考全国卷)函数y2x2e|x|在2,2的图象大致为()解析：利用导数研究函数y2x2e|x|在0,2上的图象，利用排除法求解f(x)2x2e|x|，x2,2是偶函数，又f(2)8e2(0,1)，故排除A，B.设g(x)2x2ex，则g(x)4xex.又g(0)0，g(x)在(

12、0,2)内至少存在一个极值点，f(x)2x2e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.答案：D2(2016高考全国卷)已知函数f(x)(xR)满足f(x)2f(x)，若函数y与yf(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，则 (xiyi)()A0BmC2m D4m解析：先判断两个函数图象的对称性，再根据对称性求和因为f(x)2f(x)，所以f(x)f(x)2.因为0，1，所以函数yf(x)的图象关于点(0,1)对称函数y1，故其图象也关于点(0,1)对称所以函数y与yf(x)图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)成对出现，且每一对均关于

13、点(0,1)对称，所以xi0，yi2m，所以 (xiyi)m.答案：B3(2015高考全国卷)设函数yf(x)的图象与y2xa的图象关于直线yx对称，且f(2)f(4)1，则a()A1 B1C2 D4解析：设(x，y)是函数yf(x)图象上任意一点，它关于直线yx的对称点为(y，x)，由yf(x)的图象与y2xa的图象关于直线yx对称，可知(y，x)在y2xa的图象上，即x2ya，解得ylog2(x)a，所以f(2)f(4)log22alog24a1，解得a2，选C.答案：C4(2015高考全国卷)如图，长方形ABCD的边AB2，BC1，O是AB的中点点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOPx

14、.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则yf(x)的图象大致为()解析：由于f(0)2，f1，f2f，故排除选项C、D；当点P在BC上时，f(x)BPAPtan x，不难发现f(x)的图象是非线性的，排除选项A.故选B.答案：B5(2014高考新课标全国卷)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则yf(x)在0，上的图象大致为()解析：由题图可知：当x时，OPOA，此时f(x)0，排除A、D；当x时，OMcos x，设点M到直线OP的距离为d，则

15、sin x，即dOMsin xsin xcos x，f(x)sin xcos xsin 2x，排除B，故选C.答案：C课时作业授课提示：对应学生用书第233页A组基础对点练1(2017滨州模拟)函数y，x(，0)(0，)的图象大致是()解析：函数y，x(，0)(0，)为偶函数，所以图象关于y轴对称，排除B，C，又当x时，y0，故选A.答案：A2(2015高考北京卷)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)log2(x1)的解集是()Ax|1x0Bx|1x1Cx|1x1Dx|1x2解析：在平面直角坐标系中作出函数ylog2(x1)的图象如图所示所以f(x)log2(x1)的解集是x

16、|1x1，所以选C.答案：C3(2017贵阳模拟)已知f(x)ax2，g(x)loga|x|(a0且a1)，若f(4)g(4)0，则yf(x)，yg(x)在同一坐标系内的大致图象是()解析： f(x)ax20恒成立，又f(4)g(4)0，g(4)loga|4|loga40loga1，0a1.故函数yf(x)在R上单调递减，且过点(2,1)，函数yg(x)在(0，)上单调递减，在(，0)上单调递增，故B正确答案：B4(2015高考安徽卷)函数f(x)的图象如图所示，则下列结论成立的是()Aa0，b0，c0Ba0，b0，c0Ca0，b0，c0Da0，b0，c0解析：f(x)的图象与x，y轴分别交于

17、N，M，且点M的纵坐标与点N的横坐标均为正，x0，y0，故a0，b0，又函数图象间断点的横坐标为正， c0，故c0，故选C.答案：C5(2017昌邑一中模拟)已知函数f(x)则对任意x1，x2R，若0|x1|x2|，下列不等式成立的是()Af(x1)f(x2)0Bf(x1)f(x2)0Cf(x1)f(x2)0 Df(x1)f(x2)0解析：函数f(x)的图象如图所示：且f(x)f(x)，从而函数f(x)是偶函数且在0，)上是增函数又0|x1|x2|，f(x2)f(x1)，即f(x1)f(x2)0.答案：D6函数f(x)ln的图象是()解析：自变量x满足x0，当x0时，可得x1，当x0时，可得1

18、x0，即函数f(x)的定义域是(1,0)(1，)，据此排除选项A、D.函数yx单调递增，故函数f(x)ln(x)在(1,0)，(1，)上单调递增，故选B.答案：B7若函数f(x)的图象如图所示，则f(3)等于()A BC1 D2解析：由图象可得a(1)b3，ln(1a)0，得a2，b5，f(x)故f(3)2(3)51，故选C.答案：C8已知函数f(x)x4，x(0,4)，当xa时，f(x)取得最小值b，则在平面直角坐标系中，函数g(x)|xb|的大致图象为()解析：x(0,4)，x11，f(x)x4x15251，当且仅当x1，即x2时取等号，此时函数f(x)有最小值1，a2，b1，此时g(x)

19、|x1|此函数可以看作是函数y的图象向左平移1个单位长度得到的故选B.答案：B9已知函数f(x)cos x与函数g(x)logax(a0且a1)，则函数F(x)的图象可能是()解析：g(x)logaxlogaaxx，F(x)，定义域为x|x0，F(x)F(x)，F(x)为奇函数，故选A.答案：A10如图，正三角形ABC的中心位于点G(0,1)，A(0,2)，动点P从点A出发沿ABC的边界按逆时针方向运动，设AGPx(0x2)，向量在a(1,0)方向上的射影为y(O为坐标原点)，则y关于x的函数yf(x)的图象大致是()解析：设BC边与y轴的交点为M，由已知得GM，故AM，正三角形ABC的边长为

20、，连接BG，可得BGM，所以AGB，由图可得当x时，P，射影y取到最小值，由此可排除A，B两个选项；又当点P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影y的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除D，故选C.答案：C11若函数f(x)的图象关于点(1,1)对称，则实数a_.解析：函数f(x)a，当a2时，f(x)2(x1)，函数f(x)的图象不关于点(1,1)对称，故a2，其图象的对称中心为(1，a)，a1.答案：112(2017石家庄模拟)若函数yf(x)的图象过点(1,1)，则函数yf(4x)的图象一定经过点_解析：由于函数yf(4x)的图象可以看作yf(x)的图象先关于y轴对称，再向右平移

21、4个单位长度得到点(1,1)关于y轴对称的点为(1,1)，再将此点向右平移4个单位长度，可推出函数yf(4x)的图象过定点(3,1)答案：(3,1)13已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x0,1时，f(x)x，且在1,3内，关于x的方程f(x)kxk1(kR，k1)有四个根，则k的取值范围是_解析：由题意作出f(x)在1,3上的示意图如图，记yk(x1)1，函数yk(x1)1的图象过定点A(1,1)记B(2,0)，由图象知，方程有四个根，即函数yf(x)与ykxk1的图象有四个交点，故kABk0，kAB，k0.答案：14设函数f(x)|xa|，g(x)x1，对于任意的xR，不等式f(x)g(

22、x)恒成立，则实数a的取值范围是_解析：如图，要使f(x)g(x)恒成立，则a1，a1.答案：1，)B组能力提速练1定义一种运算：gh已知函数f(x)2x1，那么函数f(x1)的大致图象是()解析：由定义知，当x0时，2x1，f(x)2x，当x0时，2x1，f(x)1，f(x)其图象易作，f(x1)的图象可由f(x) 的图象向右平移1个单位长度得到，故选B.答案：B2(2017安庆模拟)如图，已知l1l2，圆心在l1上、半径为1 m的圆O沿l1以1 m/s的速度匀速竖直向上移动，且在t0时，圆O与l2相切于点A，圆O被直线l2所截得到的两段圆弧中，位于l2上方的圆弧的长记为x，令ycos x，则y与时间t(0t1，单位：s)的函数yf(t)的图象大致为()解析：法一：如图，设MON，由弧长公式知x，在RtAOM中，|AO|1t，cos1t，ycos x2cos212(t1)21(0t1)故其对应的大致图象应为B.法二：由题意可知，当t1时，圆O在直线l2上方的部分为半圆，所对应的弧长为1，所以cos 1，排除A，