超几何分布、二项分布的期望与方差公式的统一证法

1、超几何分布、 二项分布的期望与方差公式的统一证法 唐 锐 光 (广东省深圳外国语学校高中部, 518083) ? ? 新课标选修 2- 3 的各种版本教材及配套?教 师用书?中, 均不同程度涉及超几何分布、 二项分 布的期望与方差公式, 其中人教 a 版教材的配套 ?教师用书?(文 1)给出了二项分布的期望与方 差公式的证明, 文 2 作为其补充给出了超几何分 布的期望与方差公式及其证明. 但这些证法, 除文 1的二项分布的期望公式的证法外, 难度都较 大, 且都没能体现出两点分布、 超几何分布、 二项 分布的期望与方差公式之间的联系. 本文借助两 点分布概型,给出超几何分布、 二项分布的期望

2、与 方差公式的统一证法, 较为简便, 且体现了这三个 分布期望与方差公式之间的联系及化归思想. 证明 ? 设 xi= 1, 事件 ai发生, 0, 事件 ai不发生, ( i= 1, 2, ?, n), x = ? n i= 1 xi, xi的分布列是: xi 10 ppi1- pi ? ? 从而 exi= pi, dxi= pi(1- pi), 从而 ex = e( ? n i= 1 xi)= ? n i= 1 exi= ? n i= 1 pi. (1) 当 x b( n, p )时, 设事件, ai为第i 次 某事件发生, 令上述 pi= p ( i= 1, 2, ?, n), 得 ex

3、= ? n i= 1 pi= np, 由方差定义易得 dx = ex 2- (ex ) 2. ? 当 xi= xj= 1 时, p( xixj)= p( aiaj)= p(ai)p( aj)= p 2, ? ex 2 = e ( ? n i= 1 xi) 2 = e( ? n i= 1 x 2 i)+ 2e( ? n i,j= 1 xixj) = n ?1 ? p+ 2c2 np 2 = np+ n( n- 1)p 2. 又 (ex) 2= ( np)2, ? dx = ex 2- (ex)2 = np+ n( n- 1)p 2- ( np)2 = np(1- p). (2) 当 x h( n

4、, m, n)时, 设事件 ai为第i 次取到次品,则 p1= m n , p2= n- 1 n ? m n- 1= m n , ?, pn= n- 1 n ? n- 2 n- 1 ? ? m n- ( n- 1) = m n . 所以 pi= m n (i= 1, 2, ?, n), 故 ex= ? n i= 1 pi= nm n . ? 当 xi= xj= 1 时, p(xixj)= p( aiaj)= p (ai)p( aj| ai)= m n ? m- 1 n- 1, ? ex 2 = e( ? n i= 1 xi) 2 = e( ? n i= 1x 2 i)+ 2e( ? n i,

5、j= 1xixj) = n ?1 ? m n + 2c2n m n ? m- 1 n- 1 = nm n + n( n- 1) ? m n ? m- 1 n- 1. 又 (ex )2= ( nm n )2, ? dx = ex 2- (ex)2 = nm n + n( n- 1) m n ? m- 1 n- 1 ? - ( nm n ) 2 = nm (n - m)(n- n) n 2(n- 1) . 通过上述推导过程可以看出, 两点分布、 超几 何分布、 二项分布紧密相连, 其中两点分布又是后 两个分布的基础. 参考文献: 1 ? 普通高中课程标准实验教科书( 数学选修 2- 3) 教师教学用书 m . 北京: 人民教育出版社 (a 版), 2008. 2 ? 陈和平. 对高中新教材(选修 2- 3) 的一个补 充 j . 数学通讯,