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文档简介
1、圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用2020年北京高考数学卷第18(III)题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明,本文给出了一般圆锥曲线的蝴蝶定理的两种形式,并由它们得到圆锥曲线的若干性质.定理1:在圆锥曲线中,过弦AB中点M任作两条弦CD和EF,直线CE与DF交直线AB于P,Q,则有.证明:如图1,以M为原点,AB所在的直线为y轴,建立直角坐标系.图1 设圆锥曲线的方程为(*),设A(0,t),B(0,-t),知t,-t是的两个根,所以.若CD,EF有一条斜率不存在,则P,Q与A,B重合,结论成立.若CD,EF斜率都存在,设C(x1,k1x1), D(x2,k1x2),E(x3,k2x3), F(x4,k
2、2x4),P(0,p),Q(0,q), ,同理, 所以将代入(*)得,又得, , 同理 , ,所以,即.注:2020年高考数学北京卷第18(III)题,就是定理1中取圆锥曲线为椭圆,AB为平行长轴的弦的特殊情形.定理2:在圆锥曲线中,过弦AB端点的切线交于点M,过M的直线lAB,过M任作两条弦CD和EF,直线CE与DF交直线l于P,Q,则有.证明:如图2,以M为原点,AB所在的直线为y轴,建立直角坐标系.图2设圆锥曲线的方程为(*),设A(),B(),则切线MA的方程是,切线MB的方程是,得,所以.(下面与定理1的证明相同,略)特别的,当弦AB垂直圆锥曲线的对称轴时,点M在圆锥曲线的该对称轴上
3、.性质1:过点M(m,0)做椭圆、双曲线的弦CD,EF是其焦点轴,则直线CE、DF的连线交点G在直线l:上.特别的,当M为焦点时,l就是准线.当M为准线与焦点轴所在直线的交点时,l就是过焦点的直线.图3证明:如图3,过M做直线AB垂直焦点轴所在的直线,直线CE与DF交直线AB于P,Q,则根据定理1,定理2得.过G做GH垂直焦点轴所在直线于H,得,设M(m,0),H(n,0),焦点轴长为2a,则有,得.注:性质1就是文1中的性质1,文2中的推论2.若圆锥曲线为抛物线,把无穷远点作为其虚拟顶点,把图3中的DF看作与焦点轴平行的直线,于是得到性质2.性质2:过点M(m,0)做抛物线的弦CD,E是抛物
4、线的顶点,直线DF与抛物线的对称轴平行,则直线CE、DF的连线交点在直线l:上.特别的,当M为焦点时,l就是准线.当M为准线与焦点轴的交点时,l就是过焦点的直线.注:2001年全国高考数学卷第18题,就是性质2中M为焦点的情形.性质2就是文1中的性质2,文2中的推论1.图4性质3:直线l:,过点M(m,0)做椭圆、双曲线的弦CD,直线l与CD交于点I,则.证明:如图4,由定理1,定理2及性质1得: . 图5性质4:过点M(m,0)做椭圆、双曲线的弦CD、EF,则直线CE、DF的连线交点G在直线l:上.证明:如图5,过G做GH垂直焦点轴所在的直线,由定理1,定理2得: ,由性质3得,点I在直线l
5、:上,所以点G在直线l:上.类似性质3、性质4得到性质5、性质6.性质5:直线l:,过点M(m,0)做抛物线的弦CD,直线l与CD交于点I,则.性质6:过点M(m,0)做抛物线的弦CD、EF,则直线CE、DF的连线交点G在直线l:上.注: 文3中的定理是性质4、性质6的特殊情形,即取M为焦点时,直线CE、DF的连线交点G落在相应准线上. 性质7:过点M(m,0)做椭圆、双曲线的弦CD,则以C,D为切点的圆锥曲线的切线的交点G在直线l:上.图6证明:如图6,设切线CG交直线l于G1,连接G1D,若G1D与圆锥曲线有除D点外的公共点F,做直线FM交圆锥曲线于E,由性质4知CE与DF的交点在直线l上
6、,所以C、E、G1三点共线,与CG1是圆锥曲线的切线矛盾,所以G1D与圆锥曲线只有一个公共点D,G1D是圆锥曲线的切线,G1与G重合, G在直线l上.性质8:过点M(m,0)做抛物线的弦CD,则以C,D为切点的圆锥曲线的切线的交点G在直线l: 上.注:性质7、性质8也是性质4、性质6的一种极端情形,就是文4中的定理1.性质9:直线l:,过点M(m,0)做椭圆、双曲线的弦CD,C、D在l上的射影为C1、D1,在焦点轴所在直线上的射影为C2、D2,则. 图7证明:如图7,由性质3得: ,所以.性质10:直线l:,过点M(m,0)做抛物线的弦CD,C、D在l上的射影为C1、D1,在对称轴上的射影为C
7、2、D2,则. 图8注:性质9、10即文5中的定理1、2、3,文5中的推论也可由性质3、5直接推出.性质11:在圆锥曲线中,过弦AB中点M任作两条弦CD和EF,直线CE与DF交于点G,过G做GIAB,直线GI交FE于I,则.证明:如图8,直线CE与DF交直线AB于P,Q,由定理1得:, 所以. 性质12:在圆锥曲线中,过弦AB端点的切线交于点M,过M任作两条弦CD和EF,直线CE与DF交于点G,过G做GIAB,直线GI交FE于I,则.性质11,12可认为是性质1,2,3,5的推广,从性质11,12出发可以得到类似性质4,6,7,8,9,10的结论,限于篇幅,本文不再给出。参考文献1 金美琴.二次曲线的定点弦.数学通报,2020,72 陈天雄.一道高考解析几何
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