高中数学 第三章 导数应用 1.1 导数与函数的单调性教学案 北师大版选修

1、11导数与函数的单调性 已知函数(1)y12x1，(2)y2x10，(3)y32x，(4)y4x，(5)y5log2x，(6)y6logx.问题1：求上面六个函数的导数提示：(1)y12，(2)y21，(3)y32xln 2，(4)y4xln 2xln 2，(5)y5，(6)y6.问题2：试判断所求导数的符号提示：(1)(3)(5)的导数为正，(2)(4)(6)的导数为负问题3：试判断上面六个函数的单调性提示：(1)(3)(5)在定义域上是增加的，(2)(4)(6)在定义域上是减少的问题4：试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系提示：当f(x)0时，f(x)为增加的，当f(x)0(或f(x)0

2、(或f(x)0在(0,2)上恒成立即可精解详析由于f(x)，所以f(x)，由于0x2，所以ln xln 20，即函数在区间(0,2)上是增加的一点通利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式f(x)0(f(x)0.答案：B2.证明函数f(x)x在(0,1上是减少的证明：f(x)1，又x(0,1，x210(只有x1时等号成立)，f(x)0，f(x)x在(0,1上为减少的3判断yax31(aR)在R上的单调性解：y3ax2，又x20.(1)当a0时，y0，函数在R上单调递增；(2)当a0时，y0，函数在R上单调递减；(3)当a0时，y0，函数在R上不具备单调性.求函

3、数的单调区间例2求下列函数的单调区间：(1)f(x)x2ln x；(2)f(x)；(3)f(x)x33x2.精解详析(1)函数f(x)的定义域为(0，)f(x)2x.因为x0，所以x10，由f(x)0，解得x，所以函数f(x)的单调递增区间为；由f(x)0，解得x0，(x2)20.由f(x)0，解得x3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，)；由f(x)0，解得x3，又x(，2)(2，)，所以函数f(x)的单调递减区间为(，2)和(2,3)(3)函数f(x)的定义域为R.f(x)3x26x3x(x2)当0x0，所以函数f(x)的单调递增区间为(0,2)；当x2时，f(x)0或f(x)0.但要

4、特别注意的是，不能忽略函数的定义域，应首先求出函数的定义域，在定义域内解不等式另外，如果函数的单调区间不止一个时，应用“及”“和”等连接，而不能写成并集的形式4函数f(x)的导函数yf(x)的图像如右图，则函数f(x)的递增区间为_解析：当1x0或x2时f(x)0，可得递增区间为1,0和2，)答案：1,0和2，)5函数yx2ln x的单调递减区间为()A(1,1 B(0,1C1，) D.(0，)解析：函数yx2ln x的定义域为(0，)，yx，令y0，则可得00，解得x1或x，因此，yx32x2x的单调递增区间为(1，)，.再令3x24x10，解得x0，yx2aln x的增区间为(0，)，无减

5、区间当a0得x，由y0得0x0，所以只能有f(x)0恒成立法一：由上述讨论可知要使f(x)0恒成立，只需使方程3x22xm0的判别式412m0，故m.经检验，当m时，只有个别点使f(x)0，符合题意所以实数m的取值范围是m.法二：3x22xm0恒成立，即m3x22x恒成立设g(x)3x22x32，易知函数g(x)在R上的最大值为，所以m.经检验，当m时，只有个别点使f(x)0，符合题意所以实数m的取值范围是m.一点通已知函数yf(x)，xa，b的单调性，求参数的取值范围的步骤：(1)求导数yf(x)；(2)转化为f(x)0或f(x)0在xa，b上恒成立问题；(3)由不等式恒成立求参数范围；(4

6、)验证等号是否成立7已知函数f(x)在(2，)内是减少的，则实数a的取值范围为_解析：f(x)，由函数f(x)在(2，)内是减少的知f(x)0在(2，)内恒成立，即0在(2，)内恒成立，因此a.又当a时，f(x)为常数函数，所以不符合题意，所以a的取值范围是.答案：8试问是否存在实数a，使得函数f(x)ax3x恰有三个单调区间？如果存在，求出实数a的取值范围及这三个单调区间；如果不存在，请说明理由解：f(x)3ax21，若a0，则f(x)0，此时f(x)只有一个单调区间，不满足要求；若a0，则f(x)10，此时f(x)也只有一个单调区间，不满足要求；若a0，则f(x)3a，此时f(x)恰有三个

7、单调区间，满足要求综上可知，存在实数a0，使f(x)恰有三个单调区间，其中单调递减区间为和，单调递增区间为.(1)在利用导数来讨论函数的单调性时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内通过讨论导数的符号来确定函数的单调区间(2)已知函数的单调性求参数的范围，这类问题往往转化为不等式的恒成立问题，即f(x)0或f(x)0在给定区间恒成立，从中求出参数范围，但应注意能否取到等号需要单独验证 1函数f(x)x33x21的单调递减区间为()A(2，)B(，2)C(，0) D.(0,2)解析：f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0，得0x0时，f(x)x的单调递减区间是()A(2，) B(0,2)C(，) D.(0，)解析：f(x)1.由f(x)0得0x.答案：D3若函数h(x)2x在(1，)上是增函数，则实数k的取值范围是()A2，) B2，)C(，2 D.(，2解析：根据条件得h(x)20在(1，)上恒成立，即k2x2在(1，)上恒成立，所以k2，)答案：A4已知函数f(x)ln x，则有()Af(2)f(e)f(3) Bf(e)f(2)f(3)Cf(3)f(e)f(2) D.f(e)f(3)0，所以f(x)在(0，)上是增函数，所以有f(2)f(e)0，则cos x.又x(0，)，解得x0，解不等式得0x0，得a.所以当a时，f(x)在上存在单调递增区间8设