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1、,第八节：多元函数的极值,多元函数的极值与最值,条件极值 拉格朗日乘数法,练习题,一、多元函数的极值和最值,播放,1、二元函数极值的定义,设函数f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域U(p0)内有定义 （1）若对于该邻域内任意一点P(x,y)都有 ： f(x,y) f(x0,y0) P0(x0,y0)称为函数f(x,y)的极小值点,，f(x0,y0)称为极小值 （2）若对于该邻域内任意一点P(x,y)都有 ： f(x,y) f(x0,y0) P0(x0,y0)称为函数f(x,y)的极大值点， f(x0,y0)称为极大值,2、多元函数取得极值的条件,证,定理1（必要条件）设函数f(x,y)在

2、点P0(x0,y0)具有偏导数.,则：点P0(x0,y0)为极值点,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，称为多元函数的驻点.,驻点,极值点,由上述定理,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,推广：设函数f(x,y,z)在点P0(x0,y0, z0)具有偏导数.,则：点P0(x0,y0, z0)为极值点,解,求最值的一般方法： 将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.,与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.,3、多元函数的最值,解,如图,实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，

3、外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶本地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？,分析：每天的收益为：,求最大收益即为求二元函数的最大值.,4、极值的应用,得到驻点：,时，可取得最大收益,实际问题中驻点唯一，可以确定该驻点一定是极值点！,二、条件极值 拉格朗日乘数法,条件极值：自变量必须满足某种条件的极值,一般模型：,无条件极值：在自然定义域内求函数极值,一般模型：,解,则,解,唯一驻点,即,练 习 题,一、多元函数的极值和最值,一、多元函数的极值和最值,一、多元函数的极值和最值,一、多元函数的极值和最值,一、多元函数的极值和最值,一、多元

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