第5章 不可压缩流体的一维层流流动.ppt

1、第五章 不可压缩流体的一维层流流动,第章采用控制体方法所建立的积分方程，主要描述的是流体运动的宏观特性，即运动过程中质量、动量和能量的总变化，并未涉及控制体内部的流动状况。要描述流场参数如速度、压力、切应力等的详细分布，必须着眼于流场中的点（微元体）建立流体的运动微分方程。微分方程所给出的流场分布信息，不仅能揭示宏观流动现象的内在机理，也是确定最大速度、流动阻力、壁面切应力等工程实际实用参数所必需的。本章将以典型的一维流动（狭缝流动、管内流动、降膜流动）为对象，阐述将动量守恒定律与牛顿剪切定理应用于流场微元体从而建立流动微分方程的基本方法和过程。,不可压缩流体的一维层流流动,.概述 .狭缝流动

2、分析 .管内流动分析 .降膜流动分析,.概述,5.1.1建立流动微分方程的基本方法,建立流动微分方程应用的是：质量守恒定律、动量守恒定律与牛顿剪切定理。其基本步骤可分为三步。 第一步，将质量守恒定律应用于流场微元体得到连续性方程。 第二步，根据动量守恒定律建立微元体的动量守恒方程。对于微元体，动量守恒方程可仿照式 （4-21）表达为,（5-2）,由微元动量守恒得到的方程通常是关于切应力的微分方程，不能直接求得速度，还需要补充方程将速度和切应力联系起来。,第三步，根据所采用的坐标体系，写出相应的牛顿剪切定理表达式作为补充方程。将式（5-3）代入式（5-2）中消去切应力，获得关于流体速度的微分方程

3、流动微分方程。对于图（5-1）所示的速度为的一维流动，牛顿剪切定理可表达为,（5-3）,其中切应力 的第一个下标表示切应力所在平面的法线方向，第二个下标表示切应力的作用方向。,并规定，若切应力所在平面的外法线与轴正向一致，则指向轴正向的切应力为正，反之为负；若切应力所在平面的外法线与轴正向相反，则指向轴负向的切应力为正，反之为负。,.常见边界条件,流动微方程表示了流体流动的共性即遵从动量守恒定律；而不同几何空间内流场分布的不同，即流体流动的个性，则是由边界条件确定的。对于工程问题，常见的流场边界可分为（或简化为）三类。 固壁-流体边界 由于流体具有粘性，故在与流体接触的固体壁面上，流体的速度将

4、等于固体壁面的速度。特别的，在静止的固体壁面上，流体的速度为零。,液体-气体边界 对于非高速流动，气液界面上的切应力相对于液体内的切应力很小，故通常认为液相切应力在气液界面上为零，或液相速度梯度在气液界面上为零。 液体-液体边界 由于穿越液-液界面的速度分布或切应力分布具有连续性，故液-液边界面两侧的速度或切应力相等。,.流动条件说明,本章涉及的流动是，稳态条件下不可压缩流体的一维层流流动。稳态意味着流动过程与时间无关；不可压缩意味着流体密度为常数；一维流动意味着流体只在一个方向上流动，且流体速度的变化（说称速度分布）也只与一个空间坐标有关，如图5-1中，流体只沿方向流动，速度只沿坐标变化；层

5、流指的是平行流动的流体层之间只有分子作用，只有在层流条件下牛顿剪切定理才成立（注：流速较高时，流体在流动中还会有随机脉动，从而引起流体层之间的强烈扰动，这种流动状态称为湍流。见9.1节）。,根据上述条件，由后面第章的连续性方程可证明，对于不可压缩流体的一维稳态流动，流体速度沿流动方向的变化必然为零。即对于图所示的一维流动中，必然有 。该条件即为不可压缩流体一维稳态流动的连续条件，在以下的分析过程中随时都会用到。此外，在有关流体力学的尤其是动量传递的教材中，通常又将流体的速度沿流动方向没有变化的流动称为充分发展的流动，因此，当流体以速度沿方向流动时，若果说流动是充分发展的，则必然意味着 。由此可

6、见，不可压缩流体的一维稳态流动必然属于充分发展的流动。,.狭缝流动分析,狭缝流动通常指的是两块足够大的平行平板（或板间距大大小于板宽的平行平板）间流动。一方面，由于板间距大大小于板的横向尺寸（板宽或板长），故可忽略端部效应即流体进出口的影响，将流动视为充分发展。另一方面，由于狭缝的水力直径很小，且化工介质往往又有较大的粘度，故雷诺数较小，所以流动常处于层流范围。就产生流动的因素而言，一种是由进出口两端的压力差产生的流动，称为压差流；另一种是由于两壁面的相对运动产生的流动，称为剪切流；这两种因素也可能同时并存。对于非水平平壁间的狭缝流动，还将受到重力的影响。,.狭缝流动的微分方程,图5-2（a）

7、所示为两平壁间的流动。其中，平壁间距为b，下壁面固定，上壁面以速度平行下壁面运动，取，则表示上壁面也固定。在平壁间，密度为的不可压缩流体沿轴方向作一维层流流动，速度为，主流方向（轴正向）与重力加速度方向之间的夹角。流体微元如图5-2（b）所示，其、方向的尺寸为dx、dy，垂直于x-y平面的方向为单位厚度；微元所受方向的力包括上下表面的切应力yx、流体截面上的压力p、以及单位质量流体的重力在方向的分量cos。,由4.2和4.3节可知，对图5-2（b）所示的微元体， 为进入微元体的质量流量， 则为进入微元体的动量流量。又由于流动是充分发展的，即 ，所以流体进入和流出微元体的速度均为，因此在方向有,

8、这说明对于充分发展的一维层流流动，输出输入微元体的动量流量相等，故动量方程（5-2）将简化为力平衡方程。,这说明对于充分发展的一维层流流动，输出输入微元体的动量流量相等，故动量方程(5-1)将简化为力平衡方程。,按图5-3（b）中微元体的受力，并注意到取轴正方向的力为正，可得：,切应力方程,将上述三项代入方程(5-2)并整理，可得关于切应力的微分方程如下,（5-4）,其中p*=pgxcos。可以证明(见第6章例6-1)，对于方向充分发展的一维流动， 。于是积分上述方程，可得切应力方程：,应用条件 关于切应力的方程(5-9)对牛顿流体和非牛顿流体均适用，而关于速度的方程(5-11)由于引入了牛顿

9、剪切定理，故只适用于牛顿流体。,速度方程,对于牛顿流体，将一维流动条件的牛顿剪切定理 代入上式，可得狭缝的速度微分方程,积分上式方程可得速度分布方程,5.2.2 狭缝流动的切应力与速度分布,边界条件 方程（5-9）和方程（5-11）表述了狭缝流动切应力和速度分布的共性。而不同边界条件下的具体分布形式，必须通过积分常数来确定。现考虑最一般的情况：沿流动方向存在压力差，同时上壁面以速度相对于下壁面运动。其边界条件表述为,（5-12）,切应力与速度分布 将边界条件式（5-12）代入方程（4-11）确定积分常数后，可得有相对运动的平壁间充分发展的一维不可压缩层流流动的切应力和速度分布表达式为,由上式可

10、知，压差引起的流动和剪切产生的流动是线性叠加关系：压差产生的速度呈抛物线分布，两壁面相对运动（剪切流）产生的速度呈线性分布，如图所示。,平均速度和流量 利用速度分布公式，不难得到平均速度um和垂直于x-y平面方向单位宽度上的体积流量qv,（5-15）,（5-16）,分布方程应用说明 方程（5-13）方程（5-16）包括压差、壁面运动（剪切）、壁面倾斜角三个外在因素的影响。对于固定壁面间的压差流，可在方程中令=；对于仅由壁面运动产生的剪切流，可在方程中令 ；而=0则表示流体在垂直狭缝中向下流动，=/2则表示流体在垂直狭缝中水平流动，=则表示流体在垂直狭缝中向上流动。,5.2.3 水平狭缝压差流动

11、的流动阻力,对于水平狭缝，由于=/2，所以有 ，并可用p/L代替，其中p是流动方向上长度为L的流道的进口压力 与出口压力 之差，即 ，称为压力降。而压差流意味着两平壁固定。因此根据方程（5-15）并取，得水平狭缝压差流的平均速度为,（5-17）,将狭缝阻力系数的定义式 与上式比较，并注意到狭缝流雷诺系数的定义 ，可得水平狭缝压差流的阻力系数为,于是水平狭缝压差流的压力降可表示为：,（5-18）,（5-19）,例5-1 两层不相溶流体在固定平壁间的流动,图5-4为两层不相溶流体在固定平壁间的平行流动，其中，重相流体在下层，上层为轻相流体。壁面方向长度为，进口压力为 ，出口压力 ，按充分发展的层流

12、流动考虑，并试确定其切应力和速度分布？,图5-4,解 本题条件属于水平狭缝的压差流，但涉及液-液边界条件。所以可从方程(5-9)和(5-11)着手，并令=/2，即 ，于是可得两层流体的切应力和速度分布方程分别为,其边界条件为： 对于流体有 对于流体有 有液液边界的连续性有,将上述边界条件代入方程可得积分常数为,于是得下层流体(重相)的切应力和速度分布为,而上层流体(轻相)的切应力和速度分布为,两层流体的切应力和速度见图5-6。可见两层流体的切应力服从统一分布。读者可以验证，对于速度分布，当 时，将简化成单一流体在水平狭缝中作层流流动时的抛物线分布。,例5-2 相互转动的通心圆间的流动分析,如图

13、5-5所示，两同心圆筒，外圆半径为，以角速度转动；内筒半径为k，k1；流体在外筒带动下流动，这种流动形式常见于滑动轴承等结构。由于间隙很小，即接近于，且流体粘度较高，故可视为层流流动。试确定转动外筒所需的力矩。,解这是典型的狭缝剪切流。作为近似分析，考虑到间隙远小于筒体半径，可忽略筒体半径曲率的影响，将其视为水平狭缝中的剪切流，从而应用方程(5-13)来求解。其中，外筒避面的速度，筒体间缝隙宽度k(1-k)，且注意到对于水平狭缝纯剪切流，方程(5-13)中 ，于是可得其切应力分布为,若筒体长度，则筒体壁面处的切应力对流体产生的力矩(等于转动外筒所需的力矩)为,而精确解(见第章例6-2)得到的力

14、矩为,近似解与精确解的相对误差为,由上式不难计算出，在0.950.99的范围，相对误差8.03%1.52%。这说明圆筒间隙远小于筒体半径，上述近似计算不仅过程简单，而且具有相当的准确性。,.管内流动分析,管内流动，包括圆管和圆形套管内的流动，是实际工程中最常见的流动方式。由于多数实际过程中，管长与管径之比L/D1，所以可忽略管子进出口区的影响，将流动视为充分发展的一维流动。管内流动由进出口两端的压力差产生，对于非水平管道，流动还受到重力影响。,. 圆管内的层流流动,图所示为圆管内的流动，为适应圆管几何特征，采用了柱坐标。设管长为，半径为，对应进出口压力为分别为P0和PL。流体沿圆管轴向作一维层

15、流流动，速度为，在、方向的速度均为零，主流方向（轴正向）与重力之间的夹角为。,图5-6,图 5-6 圆管内层流流动,流体微元如图5-8（b）所示，其所受方向的力包括表面切应力rz、流动截面上的压力以及单位质量重力，在方向的分量gcos。,由于是一维不可压缩稳态流动（或充分发展的流动），即 ，所以流体进入和流出微元体的速度均为，因此在方向有 输入微元体的动量流量=输出微元体的动量流量=u22rdr,这再次说明对于充分发展的一维层流流动，动量方程（5-2）将简化为力平衡方程。 将图5-8（b）中微元体的受力按轴正方向投影相加，可得方程（5-1）的第三项,切应力方程,将上述三项代入方程(5-2)并整

16、理，可得关于切应力的微分方程如下,其中*p-gzcos。对于方向充分发展的一维流动， (见第章例6-1)，所以可用-p*/L代替，其中 。于是积分上述方程，可得切应力分布方程为,(5-21),速度方程,将柱坐标下相应的牛顿剪切定理 代入上式，可得管内流动的速度微分方程为,(5-22),积分方程(5-22)可得速度分布方程,(5-23),边界条件,对于圆管内的流动，壁面速度为零，且由于对称性，管中心线上速度梯度也必然为零，故边界条件可表达为,切应力与速度分布,将边界条件式代入方程(5-22)、(5-23)得积分常数 。于是可得圆管内充分发展的一维不可压缩层流流动的切应力和速度分布表达式为,(5-

17、25),(5-26),由上述两式可知，圆管层流流动中，速度为抛物线分布，切应力为线性分布，如图所示。,最大速度,利用速度分布公式不难确定，在管道中心线上达到最大，即,(5-27),平均速度,积分方程(5-26)得到平均速度为,(5-28),体积流量,由平均速度得,(5-29),式(5-29)称为哈根泊谡叶(Hagen-Poiseuill)方程，它表明了管道层流流动中体积流量与导致流动的压力差的和重力的关系。由于qv和p*的测试较方便，故该式可用于确定流体粘度。根据这一原理制成的粘度计称为毛细管粘度计。,将式(5-28)与圆管阻力系数的定义式 相比较，其中D2R为管道直径，并注意到圆管流动雷诺系

18、数(Reynolds number)定义为 ，可得圆管内充分发展层流流动的阻力系数为,阻力系数,(5-30),应用条件,在管道形状方面，方程(5-21)和方程(5-23)对圆管和圆形套管均适用。 在流动介质方面，切应力方程(5-21)对牛顿和非牛顿流体均适用，而速度方程(5-23)由于引入牛顿剪切定理，故只适用于牛顿流体。 方程(5-25)方程(5-30)是牛顿流体在圆管内作充分发展的层流流动的结果，所以应用时要求介质为牛顿流体，管道为L/D的圆管，雷诺数 。,例 非牛顿流体在垂直圆管内的流动,一种非牛顿流体Bingham流体在垂直圆管内向下流动，如图所示。该流体切应力与速度梯度符合下述模型

19、其中，常数00，0。设流体密度为，管道方向长度为，其进口压力 ，出口压力 ，按充分发展的层流流动考虑，试确定其切应力分布、速度分布以及流动条件。,解 对于圆管内的层流流动，方程(5-21)为切应力分布的一般方程，即,该方程亦适合非牛顿流体。因r时切应力不可能无穷大，故该方程中的积分常数 ，所以切应力分布为,再将Bingham流体切应力模型代入后，积分可得速度分布方程为,由此可知，该非牛顿流体内部要产生相对运动(流体)，既保证|du/dr|0，其切应力必须满足 的条件，于是结合切应力分布方程，流体要产生相对运动必然要求,现来分析Bingham流体在管内的流动条件。由物理意义可知，圆管中流体的速度

20、从管中心到壁面只能是减小，即du/dr0，所以根据Bingham流体切应力模型，必然有 。因此，Bingham流体切应力模型可表达为,若令 ，则该非牛顿流体只有在r 的区域内才产生流动。故边界条件 确定积分常数 后，可得速度分布为,在 的区域，因切应力 ，所以流体之间没有相对运动，整个区域内流体将如活塞状向下运动，其速度可根据连续性原则由上述速度分布方程取 得到，即,不难看出，若令 将与牛顿流体在圆管内的流动相同，而 则为管中心最大速度。 此外，由 可知，当压力将p*很小以至于 时，该非牛顿流体在管内将不发生流动，所以产生流动的压降条件是 。,5.3.2圆形套管内的层流流动,图所示为流体在圆形

21、套管内的上行流动。套管长，外管半径为，内管外壁半径kR，对应的进出口压力分别为 和 。流体沿圆管轴向作一维层流流动。 对于套管，其微元体的取法及其微元体上的受力与圆管的情况完全一致，因此其切应力和速度分布的一般方程与式（5-21）和式（5-23）也相同。,边界条件,圆形套管内流动的边界条件可表述为,（5-31）,将边界条件式（5-31）代入式（5-23）得积分常数为,切应力与速度分布,将上述积分常数代入一般方程可得套管内的切应力和速度分布式为,根据上述两式所作的速度分布和切应力分布如图5-12所示。,（5-32）,（5-33）,最大速度,由于套管有内外壁，所以在套管间某一半径为 处速度梯度（或

22、切应力）必然为零，也就是速度最大值位置。所以，由du/dr得到 及其对应的最大速度为,平均速度,积分方程（5-33）得到平均速度为,（5-35）,（5-34）,（5-36）,体积流量 由平均速度得,（5-37）,可以验证，在上述关于套管流动的各公式中令=，即可得到与圆管流动相同的公式；若令1，则可得到与固定壁面狭缝流动相同的公式。 此外要说明的是，对于套管，层流流动的条件是雷诺数 ，其中D2R，为此外管内壁直径。,例5-5 套管与圆管的流动阻力比较,圆管内半径和套管外管内半径为，两管内流动的流体相同，流量均为 。设套管的内管是一根半径为0.01R的钢丝（相当于直径100mm的管子中心有一根1m

23、m的钢丝），试比较两者的压力降。,解 套管的内管和外管半径之比为0.01，即k0.01。 根据方程（5-28）和式（5-36），套管与圆筒的平均流速之比为,根据方程（5-29）和式（5-37），两管压降之比为,由计算结果可见，与圆管相比，套管内因设置了一根细钢丝，虽然平均流速几乎没有什么增加，但由于流场的改变，压降增加了27.7%。,.降膜流动分析,降膜流动在湿壁塔、冷凝器、蒸发器以及产品涂层方面有广泛的应用。降膜流动是靠重力产生的，与前面管内流动与狭缝流动相比，其特点是液膜的一侧与大气接触，为典型的液-气边界条件；由于液膜的一侧与大气接触，故沿流动方向没有压力差。本节将分析倾斜平板和垂直圆筒

24、壁面上的层流降膜流动。,.倾斜平板上的降膜流动,图5-13（a）所示为流体在倾斜平板上的降膜流动。液膜厚度为，表面与大气接触。液膜沿轴方向作一维层流流动，速度为，在y、z方向的速度均为零。主流方向（轴正向）与重力加速度方向之间的夹角为。由于液膜厚度远小于板的横向尺寸（板宽或板长），故可忽略端部效应，将流动视为充分发展的。,微元体如图5-13(b)所示，在方向为单位宽度。微元所受方向作用力包括表面切应力 、流动截面上的压力，以及重力的分量gcos。由于液膜与大气接触，故压力沿流动方向不变，所以,又由于流动是不可压缩一维稳态流动(充分发展)，即 ，所以流体进入和流出微元体的速度均为，因此,切应力方

25、程,将输入、输出微元体的动量流量和方向的合力代入动量方程（5-2），可得斜板降膜流动的切应力微分方程和分布方程如下,（5-39）,（5-40）,速度方程,将一维流动条件的牛顿剪切定理yxdu/dy代入上式，可得速度微分方程和分布方程为,（5-41）,（5-42）,边界条件,切应力与速度分布,液膜两侧分别与固壁和大气接触，其边界条件可表述为,（5-43）,将边界条件式（5-41）代入方程（5-42）得积分常数 ，于是得斜板降膜流动的切应力与速度分布方程为,（5-44）,（5-45）,由上述两式可知斜板降膜流动中，速度为抛物线分布，切应力为线性分布，如图5-13所示,最大速度、平均速度与体积流量,

26、利用速度分布公式不难确定最大速度 、平均速度 和方向单位板宽对应的体积流量,（5-46）,（5-47）,（5-48）,液膜厚度,实际过程中，流量 往往是已知的，也容易测量，所以利用式（5-48）可估算液膜厚度。若方向板的总宽度为，流量为 ，即 ，则液膜厚度为,（5-49）,应用说明 试验表明，随着平均速度和液膜厚度的增加以及动力粘度的减小，降膜流动会出现三种状态：,直线型的层流流动； 呈波纹状起伏的层流流动； 湍流流动。,对于具有任意倾斜角的平板降膜流动，还没有统一的准则来判别流动状态，但对于竖直平面（即0）的降膜流动，下列准则可供参考。 直线型层流流动： Re425 波纹状层流流动： 425

27、Re10002000 湍流流动： Re10002000 其中，雷诺数定义为 。本节分析结果适用于直线型层流流动，薄层粘性流体的慢速降膜流动一般满足于这一条件。,例5-6 变粘度流体的降膜流动,对于图所示的竖直平壁上降膜流动，由于传热的影响，使液膜沿方向存在温度分布，温度从壁面外的Tw上升到液膜表面处为 ，对应的粘度由 减小到 ，液膜内流体的粘度为 其中 、为常数。试确定液膜的切应力和速度分布。,解 有本题条件，根据方程（5-40）和（5-41）并考虑到对于竖直平壁=0，可得切应力分布方程和速度微分方程为,将粘度表达式 代入速度微分方程积分得,液膜两侧分别与大气和固壁接触，其边界条件可表述为,将边界条件代入切应力和速度分布方程得积分常数为,于是得切应力和速度分布方程为,可以验证，当时，上述切应力和速度分布将与常粘度降膜流动结果一致，即与方程（5-44）和方程（5-45）分别相同（其中 ，=0）。,例5-7 油的降膜流动,一种粘度=0.16Pas、密度=800 的油在宽度500mm的竖直平壁上作降膜流动