高二数学排列一 人教版

1、江苏省苏州中学、常州中学精品备课高二数学排列一【教学内容】第十章 排列 组合 和概率 10.1 排列要求：1、学习掌握两个基本原理，排列、排列数等基本概念，熟练运用这些基本概念解题； 2、掌握解排列题的思想方法，适当地分类、分步、构造恰当的解法解决问题。【学习指导】1、掌握排列的概念：定义：从n个不同元素中，任取m(mn)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个元素中每次取出m个元素的一个排列。 根据排列的定义，两个从n个元素里取出m个元素的排列，如果它们所含的元素不同，或者虽含相同的元素，而元素排列的顺序不同，那么这两个排列是不同的。2、掌握排列数公式：（1）排列数定义：从n个不同元素中取出

2、m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A。（2）排列数公式：A=n(n-1)(n-2)(n-m+1)，这里m, nN*，并且mn，当m=n时，有故 ，此公式的作用：当对含有字母的排列数的式子进行变形和论证时，常写成这种形式去沟通。为了论证排列数公式，我们要学习两条基本原理：（1）分类计数原理（也叫加法原理）：完成一件事，有n类相互独立的办法，在第1类办法中有m1种不同方法，在第2类办法中有m2种不同方法，在第n类办法中有mn种不同方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同的方法。（2）分步计数原理（宜称乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，

3、做第1步有m1种不同方法，做第2步有m2种不同方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1m2mn种不同的方法。（3）对于重复排列的问题通常采用逐步分析法及乘法原理解决；对于无限制的排列问题应用排列数公式直接求得；对于有限制条件的排列问题，应弄清楚限制条件是什么。此类题通常有正向思维与逆向思维两种思路，正向思维时，设法将复杂问题分解化。解题方法有：特殊数字法；特殊位置法；捆绑法；插空法等。逆向思维时一般采用求补集的方法解决。【典型例题】例1：由1，2，3，4，5这五个数字能够组成多少个没有重复数字的三位数？能够组成多少个三位数？解：从1，2，3，4，5这五个数字中任取三个分别排

4、在百位、十位、个位上有：（个）能组成60个无重复数字的三位数。可分三步完成，第一步从1，2，3，4，5这五个数字中任选一个排在百位有种不同的排法；由于允许重复，所以第二步排十位也有种不同的排法；第三步排个位也有种不同的排法，由分步计数原理有：（个）能够组成125个三位数。例2：由0，1，2，3这四个数字能够组成多少个无重复数字的三位数？解法一：因为在一个三位数中，百位数字不能排0，所以可分两步来解：第一步从1，2，3这三个数字中任选一个排在百位有种不同的排法；第二步再从余下的三个数中任选两个分别排在十位与个位有种不同的排法；由乘法原理可得：总数：解法二：由于0不能排在百位，则此问题可分为两类：

5、第一类是不含0，则可组成个不同的三位数；第二类是含0，先把0排在十位或个位上，有种不同的排法，再从1，2，3中任选两个排在剩余的两位置上有种不同的排法，那么含0的三位数有个，由加法原理可得：总数=6+12=18（个）。解法三：先求出0排在首位的三个不重复数的三位数有个，然后从所求不重复三位数字的排列数中将它减去，有：（个）例3：六人站成一排，其中甲必须排在排头，乙必须排在排尾的排法有多少种？解：首先把甲排在排头，乙排在排尾，仅有一排法，再把其余的四名同学全排在中间的四个位置上有种不同的排法，则总数有N=1，（种）。例4：三本不同的化学书，四本不同的数学书在书架上排成一排，不使同类书分开的排法有

6、多少种？解：由于不使同类书分开，则把三本不同的化学书捆在一起，四本不同的数学书捆在一起，使七本不同书转化为两捆不同的书的排列有种不同的排法，再把三本不同的化学书在它们相邻的位置全排列有种不同的排法，由乘法原理得：总数（种）。例5：四名篮球运动员和三名足球运动员站成一排，任何两名足球运动员都不站在一去的站法有（） A、(4!)2B、4!3!C、A4D、答：D解：四名篮球运动员站成一排的方法有4!种方法，而站好的四名篮球运动员之间有5个空隙，要使这3个足球运动员中任何两人都不站在一起，这要他们在这5个空隙中任选3个即可，所以总的排法有种。例6：从1，2，3，4，9，18这六个数字中任取两个不同的数

7、分别作为一个对数的底数和真数，得到不同的对数值有多少个？解：先从1，2，3，4，9，18这六个数字任取两个数字排在对数的底数与真数之位有种排法；1作底数，2，3，4，9，18中任取一个作真数，使对数无意义的排法有个。从2，3，4，9，18中任取一个作底数，1作真数有个对数值均为零的对数。又因为，所以又有两对数值重复。由补集知，满足条件的不同对数值有：（个）例7：由0，1，2，3，4这五个数字组成不重复的五位数中，从小到大排列，42031是第几个数？（） A、11B、85C、86D、96分析：此题相当于由0，1，2，3，4这五个数字组成不重复的五位数中，比42031小的数有多少个。但需加1，可采

8、用“逐位分析法”。解：此题可分三类完成：第一类从1，2，3这三个数字中任选一个排在首位这样的数一定比42031小，其首位有种不同的排法，再由余下的四个数在剩余的四个位置全排列有种不同的排法，则第一类有=72个，第二类是首位排4，千位排0或1的数一定比42031小，这样的数有，第三类只有一个数42013，由加法原理得：，所以42031是第86个数，故选C。注：比42031小的数有85个，但从小到大的顺序排列42031应是第86个数。例8：三个女生和五个男生排成一排：（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，可有

9、多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？分析：（1）问中女生必须全排在一起，可采用“捆绑法”。（2）问中女生必须全分开，可采用插空法。解：（1）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有种不同的排法，对于其中的每一种排法，三个女生之间都有种不同的排法，因此共有：（种）（2）要保证女生分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档，这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生就保证任意两个女生都不相邻。由于五个男生排成

10、一排有种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出来三个让三个女生插入都有种方法，因此共有=14400种不同的排法。（3）解法一：因为两端都不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余6位都有种不同排法，所以共有=14400（种）不同的排法。解法二：3个女生和5个男生共有种不同的排法，从中扣除女生排在首位的种排法和女生排在末位的种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位时又被扣去一次，所以还需加一次回来，由于两端都是女生有种不同的排法，所以共有（种）不同的排法。解法三：从中间6个位置中挑选出3个

11、来让3个女生排入有种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余5个位置都有种不同的排法，所以有=14400（种）不同的排法。（4）解法一：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则末位就不再受条件限制了，这样可有种排法；如果首位排女生，则有种排法，这时末位就只能排男生了有种排法，首末两端任意排定一种情况后，其余6位都有种不同排法，这样有种不同的排法，因此共有+=36000（种）不同排法。解法二：三个女生和五个男生排成一排有种不同的排法，从中扣去两端都是女生的排法，就能得到两端不都是女生的排法种数。因此，共有-=36000（种）不同的排法。注：解题时，一个问题可能有多种思考方法，但结果总是

12、唯一的，可以采用这个方法来验证解题结论的正确性，另一方面，平时解题，注意一题多解，力争中寻找到最优方法，注意到题目之间的联系，另外本题第（3）问中的“都不能”与第（4）问中的“不都能”是截然不同的，在审题时特别注意，不能因混淆不清而出错。例9：同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张不是自己的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方法有多少种。分析：本题抽象成数学模型，相当于将数字1，2，3，4填入1，2，3，4的方格里，且每格所填入的数字与其标号不同的填法有多少种。解：由上面的分析所建立的数学模型，1号方格里可以填2，3，4，有三种填法，1号方格取定，再填与1号方格内数字相同的号位，它

13、有三种填法，其余的两号位就只能有一种填法，由乘法原理得：四张贺年卡不同的分配方式有331=9（种）注：本题是一个带有限制条件的排列应用题，应用乘法原理，分步解决。当解答受阻时，在题目给定元素较少时，可以通过列举、树图、填方格等方法，将具体元素排一排，放一放，使问题获得解决。【同步练习】1、将3封信投入6个信箱内不同的投法有（） A、120种B、216种C、729种D、以上皆错2、六人站成一排，甲、乙、丙三人不能都站在一起的排法种数为（） A、B、C、-D、3、将4名同学录取到3所大学，每所大学至少要录取一名，一共有多少种不同的录取方法（） A、72B、36C、24D、124、用0，1，2，3，

14、4，5这六个数字组成没重复数字的四位偶数，并将这些偶数从小到大排列起来，第71个数是（） A、3140B、3254C、3012D、34105、六人站成一排，甲、乙、丙三人中任何两人都不站在一起的排列数为（） A、B、C、D、6、若直线方程Ax+By=0的系数A、B可以从0，1，2，3，6，7六个数值中取不同的数值，则这些方程所表示的直线条数是：（） A、B、C、+2D、7、6人站成一排，甲、乙、丙三人必须站在一起的排列总数为：（） A、3B、3C、D、8、从a,b,c,d,e这5个元素中任取4个排成一列，b不排在第二的不同排法有（ ） A、B、C、D、9、要排一个有4次数学讲座和4次语文讲座的

15、讲课安排表，任何两次数学讲座和语文讲座均不得相邻，不同的排法有（） A、B、C、D、210、从1，2，3，5，7这五个数中，任取两个分别作为对数的底数和真数，得不同的对数个数为（） A、B、+1C、+4D、-411、从1，2，3，4这四个数字组成没有重复数字的四位数中，比1234大的数共有个。12、在7名运动员中选出4名运动员组成接力队，参加4200米接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方法共有种。13、六名同学排成一排，甲不站排头，乙不站排尾的排法有种。14、用数字0，1，2，3，4，5能够组成个没有重复数字且是25的倍数的四位数。15、一排长椅共有10个座位，现有4人坐，恰好有5个连

16、续空位的坐法种数为 。16、设x-1，5，6，7，y2，3，4，-9（1）P(x,y)可以表示多少个不同的点？（2）这些点中，位于第三或第四象限内的有几个？17、分别在三张卡片正反面写成1与2，3与4，5与6，且6可以作9用，这三张卡片拼在一起表示一个三位数，那么有多少个这样的三位数？参考答案1、B2、C3、B4、A5、B6、B7、D8、D9、D10、B提示：1、利用乘法原理： 2、采用“求补集法”六个人站成一排的全来列，减去甲、乙、丙三人站在一起的排法。 3、 4、1排首位的没重复数字的四位偶数有 2排首位的没重复数字的四位偶数有 3排首位，0排百位的没重复数字的四位偶数有 3排首位，1排百位的没重复数字的四位偶数有 36+24+6+9=7571 第71个数是3140，选A。 5、采用“插空法”，先排其余的3人，甲、乙、丙三人插入空档应选B。 6、-4+2=18，其中A=1，B=3与A=2，B=6表示同一直线，这样重复了四次，最后A=0时仅得1条，B=0时，也得1条，应选A。 7、采用“捆绑法”，把甲、乙、丙看作一整体，应选D。 8、第二的位置有种不同排法，其余三个位置则有种不同的排法，由乘法原理故选D。 9、“插空法”只是数学和语文讲座只能这样相隔：0000或0000 10、仿照例6 11、 12、中间两棒的