超单元培训_Nastran.ppt

1、动态超单元,有限元的基本概念,有限元 - 连续体的离散化，将整体结构分割为若干基本单元，每个单元有若干节点。单元中的基本物理量 (结构分析 - 位移；热分析 - 温度；电磁分析 - 电位势，磁通量；流体分析 - 流量，等) 用单元节点处的值表示，如： u = P ue 其中： u - 单元中任意点的物理量值，它是坐标的函数： u = u (x,y,z) P - 形状函数，与单元形状、节点坐标和节点自由度等有关 ue - 单元节点的物理量值；对于结构分析可以是位 移、转角或其对坐标的导数。 常用大型分析软件中基本上是位移+转角。,有限元的基本概念 (续),结构分析时一些常用单元的节点自由度 (在

2、单元坐标系中) 杆元：单元形状为线段，拉伸和扭转，在总体坐标系中： 三个位移和三个转角 (T1,T2,T3,R1,R2,R3) 梁元：单元形状为线段，拉伸、扭转，以及两个垂直于轴 线方向的弯曲，在总体坐标系中： 三个位移和三个转角 (T1,T2,T3,R1,R2,R3) 板壳元：三角形或四边形，两个面内位移，法向位移及两 个转角 (一般缺少绕法线转角)，在总体坐标系中： 三个位移和三个转角 (T1,T2,T3,R1,R2,R3) 实体：四面体六面体，三个方向的位移，无转角。在总 体坐标系中： 三个位移 (T1,T2,T3),有限元的基本概念 (续),有限元的基本概念 (续),单元形状函数举例

3、(未必是实际使用的单元)： (1) 一维单元 a. 杆单元 轴向拉伸和扭转：节点位移自由度为 Tx，Rx 对 2 节点单元 (线性单元)： Tx = a0 + a1 * x Rx = b0 + b1 * x 各有 2 个未知数，可以由 2 个节点的位移值确定； 对 3 节点单元 (二次单元)： Tx = a0 + a1 * x + a2 * x2 Rx = b0 + b1 * x + b2 * x2 各有 3 个未知数，可以由 3 个节点的位移值确定；,有限元的基本概念 (续),b. 梁单元 拉伸和扭转与杆相同，对于弯曲变形 (以单元坐标系 y 向为例)，2 节点单元相应的形状函数为： Ty

4、= c0 + c1*x +c2*x2 + c3*x3 由两个节点的 Ty,Rz 可以确定四个未知数； 3 节点单元： Ty = c0 + c1*x +c2*x2 + c3*x3 +c4*x4 + c5*x5 由 3 个节点的 Ty,Rz 可以确定 6 个未知数；,有限元的基本概念 (续),(2) 二维单元 a. 平面单元 (平面问题，轴对称问题) ，以 Tx 为例 三节点三角元： Tx = a0 + a1*x + a2*y 三个未知数可以由三个节点的 Tx 表示； 6 节点三角元： Tx = a0 + a1*x + a2*y + a3*x2 + a4*xy + a5*y2 6 个未知数可以由

5、6 个节点的 Tx 表示； 4 节点四边形元： Tx = a0 + a1*x + a2*y + a3*xy 4 个未知数可以由 4 个节点的 Tx 表示； 8 节点四边元： Tx = a0 + a1*x + a2*y + a3*x2 + a4*xy + a5*y2 + a6*(x3 + xy2) + a7*(x2y + y3) 8 个未知数可以由 8 个节点的 Tx 表示；,有限元的基本概念 (续),上面使用的简单多项式，对于 4 节点或 8 节点四边形 (特别是使用简单多项式的 8 节点单元，三次项缺失较多)，使用效果往往不好。 实际使用的是 等参数单元，通过曲线坐标变换，将任意三角形或四边

6、形变换为等参数坐标系中的正三角形或正方形。然后用 “内插函数” 来构造形状函数。,有限元的基本概念 (续),(2) 二维单元 (续) b. 弯曲单元 (板、壳问题) 平面内的变形与平面问题相同，主要考虑法向弯曲变形 - Tz，每个节点有三个弯曲自由度：Tz, Rx, Ry (法向位移和两个转角)。 三节点三角元： Tz = a0 + a1*x + a2*y + a3*x2 + a4*xy + a5*y2 + a6*x3 + a7*(x2y + xy2) + a8*y3 9 个未知数可以由三个节点的 Tz, Rx, Ry 表示。 这是一个不完整的三次多项式，实际使用的是完整的三次多项式，然后添加

7、约束条件消除多出来的一个未知数。 4 节点四边形元： Tz = a0 + a1*x + a2*y + a3*x2 + a4*xy + a5*y2 + a6*x3 + a7*x2y + a8*xy2 + a9*y3 + 2 个四次项 12 个未知数可以由四个节点的 Tz, Rx, Ry 表示。这是一个不完整的四次多项式，效果较差，实际使用的是 等参数单元。 同样可以构造 高阶 单元 (6 节点三角元、8 节点四边形单元)。,有限元的基本概念 (续),(3) 三维实体单元 每个节点三个自由度：Tx,Ty,Tz，一般情况，单元坐标系 x,y,z 与总体坐标系 X,Y,Z 相同。 a. 四面体单元 (

8、以 Tx 为例) 4 节点单元： Tx = a0 + a1*x + a2*y + a3*z 四个未知数由四个节点的 Tx 确定。 10 节点单元 (增加 6 个边的中点)： Tx = a0 + a1*x + a2*y + a3*z + a4*x2 + a5*y2 + a6*z2 + a7*xy + a8*yz + a9*zx 10个未知数由 10 个节点的 Tx 确定。,有限元的基本概念 (续),(3) 三维实体单元 (续) b. 六面体单元 (以 Tx 为例) 8 节点单元 (直观的例子，实际用 等参数单元)： Tx = a0 + a1*x + a2*y + a3*z + a4*x2 + a

9、5*y2 + a6*z2 + a7*(xy + yz + zx) 8 个未知数由 8 个节点的 Tx 确定。 20 节点六面体单元： 使用完整的三次多项式，共 20 个未知数，由 20 个节点的 Tx 确定。实际中使用的是 等参数单元。,有限元的基本概念 (续),理论上，计算结果应该随着网格的细化而收敛到精确值。但实践发现，单元的形状函数对其计算结果和收敛性有较大影响。经数学界研究发现，单元的构造必须满足相容性 (协调性) 和完备性要求，才能保证计算结果的收敛性。 1. 单元的完备性要求： 对一般的多项式形式的单元形状函数，必须是与所解决问题的 应变-位移 关系式中的最高阶导数相同阶数的完整多

10、项式。 与 应变-位移 关系式中的最高阶导数相同阶数的多项式，在 应变-位移 关系式中微分后得到常应变项。因此，如果该多项式不完整，就会丢失某些常应变项，导致结果不准确。,有限元的基本概念 (续),2. 单元的相容性 (协调性) 要求： 单元的位移函数必须包含所解决问题的 应变-位移 关系式中的最高阶导数低一阶的连续性。即，在相邻单元的边界上，该导数必须连续。 如一般弹性问题 (平面问题、轴对称问题和三维弹性问题)，其 “应变-位移” 关系式中只包括位移对坐标的一阶导数，只要求在单元边界上位移连续。因此其位移形状函数只要包含坐标的一次多项式即可 (Tx = a0 + a1*x + a2*y +

11、 a3*z .)。 对板弯曲问题，应变-位移 关系式包含位移对坐标的二次导数，在单元边界上需要位移和转角都连续，因而板弯曲单元的节点自由度至少需要三个自由度：Tz,Rx,Ry。这也造成了难以构造简单而又满意的板弯曲单元。 在满足相容性 (协调性) 要求的情况下，随着网格的细化，结果是单调收敛的。如果只满足完备性，而不满足相容性 (如板弯曲问题)，解有时也能收敛，但一般不是单调收敛。,有限元的基本概念 (续),对一个单元，考虑刚度、质量、阻尼、载荷，及其与相邻单元之间的内力，相应的动力方程可以写成： Ke ue + Be ue + Me ue = Fe + Re (2) 其中： Ke、Be、Me

12、 分别为单元的刚阵、阻尼阵和质量阵； Fe 为单元的载荷阵； Re 为与相邻单元之间的内力及约束反力。 需要注意的是：内力矢量仅在与其它单元相邻的节点上才不为零，不与其它单元连接的节点处，内力为零。对于约束节点，其反力一般不为零。 因此，对一个单元也可以划分内部节点 (不与其它单元相连也没有约束) 和外部节点 (与其它单元相连或有约束)，同样可以将内部节点凝聚掉。,.,.,基本求解过程,1. 总体矩阵的装配： 首先将所有节点的自由度按某种规则统一排列、编号。 然后，将每个单元的刚度、质量、阻尼、外力和约束反力等矩阵或矢量的每一项分别写为： kij，mij，bij ， fi 和 Ri 这里 i，

13、j 分别为该项对应的总体自由度编号。 总体矩阵的装配就是将所有相同 ij 编号的同类项相加，得到总体矩阵中对应的项： Kij = kij (ij 相同的项相加) Mij = mij Bij = bij Fi = fi Ri = ri (单元间内力叠加后抵消，只留下约束反力),基本求解过程 (续),装配的例子：三个梁元组成的杆，节点 14 的各 6 个自由度在总体自由度中的编号分别为 16，712，1318，1924。三个单元的刚度矩阵可以分别写成如下形式：,基本求解过程 (续),最后得到方程： K u + B u + M u = F + R (3) 其中： K - 总刚度阵 M - 总质量阵

14、B - 总阻尼阵 F - 总载荷阵 R - 约束反力阵，仅约束自由度上非零，其余全为零 有约束的自由度，其位移值为已知，可以从方程 (3) 中消除，在得到位移解之后用来计算约束反力。 将 u 分割为 ua (分析自由度) 和 ur (约束自由度)：,.,.,.,基本求解过程 (续),其中，ur 和 ur 为零。 展开后得到： 由第一个方程得到： 当 ur = 0 时，此方程与 (3) 式一样； 当 ur 0 时，此方程与 (3) 式类似，只是 Fa 有所改变。 在解出 ua 后，由第二个方程求解约束反力： 由此可见，约束自由度可以从整个自由度集中删除，此时求解的方程形式上与 (3) 式相同，只

15、是从 u 改为 ua。 为便于表示，下面仍用方程 (3)，但认为 u 中不包含约束自由度。,.,.,超单元的基本概念,可以发挥一下想象力，构造一个特大的单元 (超单元或子结构)。它的动力方程也应该与方程 (3) 类似 (可以消除全部约束自由度，也可以将约束自由度放在主结构 - 残余结构中)，可以写成： 将其自由度分为两部分： a. 与其它超单元不直接连接的部分 (内部自由度，其 R 部分为零，即其自身单元之间的 内力 互相抵消了)。记为 uo (对于主结构或残余结构为省略的自由度)。 b. 与其它超单元相连接的部分 (外部自由度或边界自由度，其 R 部分不为零 - 超单元之间的 内力)；记为

16、ua (对于主结构或残余结构为待求解的自由度)。,省略上标 s，按外部自由度和内部自由度分割，一个超单元的动力方程可以写成如下形式： 其中，uo - 内部自由度； ua - 外部自由度。 展开后得到： 对静力问题，所有 B，M 矩阵都为零，方程 (8) 简化为： Koo uo + Koa ua = Fo 可以用 ua 表示 uo 为： uo = Koo -1 (Fo - Koa ua ) (10),超单元的基本概念 (续),超单元的基本概念 (续),将 (10) 式代入 (9) 式，得到: (Kaa - Kao Koo -1 Koa) ua = Fa - Kao Koo -1 Fo + Ra

17、或记为： Kaa* ua = Fa* + Ra (11) 其中： Kaa* = Kaa - Kao Koo -1 Koa Fa* = Fa - Kao Koo -1 Fo,各超单元的 ua 是整个结构的残余结构的分析自由度uA 的一部分。可以按照一般单元装配成总体矩阵相同的方式，由各超单元的边界矩阵装配得到残余结构的矩阵。然后求解出 uA，再回到各超单元进行数据恢复，先从 uA 中分离出 ua，再由方程 (10) 得到超单元的 uo，与 ua 一起构成超单元的完整自由度集。 其中： Goa = - Koo -1 Koa (13),超单元的基本概念 (续),超单元的基本概念 (续),在得到超单元

18、各节点的位移 uf 之后，可以计算如应变、应力、能量等各种所需的物理量。,动态情况下的超单元减缩方法,静力凝聚或 Guyan 减缩方法 基本方法与静力问题相同，但将内部自由度的质量、阻尼通过一定方式分配到边界自由度上。 该方法误差较大，只适于小模型，基本不用。 由方程 (10)，忽略载荷项，得到： uo = - Koo -1 Koa ua = Goa ua (14) 对超单元的全部结构自由度：,动态情况下的超单元减缩方法 (续),将方程 (15) 代入超单元的动力方程，并左乘 T ，得到： T K ua + T B ua + T M ua = Fa + Ra 这里假设了 uo，uo 与 ua，ua 之间的关系与 (14) 式相同，同时内力项在超单元装配后互相抵消。