常微分方程王高雄第三版

常微分方程王高雄第三版Tag内容描述：<p>1、常微分方程习题常微分方程习题 2.1 1.xy dx dy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1 的特解. 解：对原式进行变量分离得 。故它的特解为 代入得把即两边同时积分得： e ex x yc yx x cycyxdxdy y 2 2 , 1 1,0,ln,2 12 = =+= , 0) 1(. 2 2 =+dyxdx y 并求满足初始条件：x=0,y=1 的特解. 解：对原式进行变量分离得： 。 故特解是时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当 即时，两边同时积分得；当 x y cyxy xc yc y xydydx x y + = = + =+=+= + 1ln1 1 , 11, 00 1ln 1 , 1 1ln0, 1 1 1 2 3 yxy dx dy x y 3 2 1 + + = 解：原式可化为： xx y xxyx。</p><p>2、,1,1.2基本概念,.,2,定义1:联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的关系式称为微分方程.,例1：下列关系式都是微分方程,一、常微分方程与偏微分方程,.,3,如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程.,都是常微分方程,1.常微分方程,如,.,4,如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两个以上,称为偏微分方程.,注:本课程主要研究常微分方程.同。</p><p>3、1.2基本概念,定义1:联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的关系式称为微分方程.,例1：下列关系式都是微分方程,一、常微分方程与偏微分方程,如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程.,都是常微分方程,1.常微分方程,如,如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两个以上,称为偏微分方程.,注:本课程主要研究常微分方程.同时把常微分方程简称为微分方程或方。</p><p>4、第二章一阶微分方程的初等解法,2.1变量分离方程与变量变换,先看例子：,定义1,形如,方程,称为变量分离方程.,一、变量分离方程的求解,这样变量就“分离”开了.,例：,分离变量:,两边积分:,注:,解:,积分得:,故方程的所有解为:,解:,将变量分离后得,两边积分得:,由对数的定义有,即,故方程的通解为,解:,分离变量后得,两边积分得:,整理后得通解为:,例4,解:,两边积分得。</p><p>5、4.2常系数线性方程的解法,一、复值函数与复值解,1复值函数,复函数的求导法则与实函数求导法则相同,2复指数函数,欧拉公式:,性质:,定义,3复值解,(1)定义,(2)定理8,(3)定理9,若方程,和,的解.,二、常系数齐线性方程和欧拉方程,1常系数齐线性方程的求解方法(Euler待定系数法),考虑方程,称(4.19)为n阶常系数齐线性方程.,显然,一阶常系数齐线性方程,有解,对(4.19)尝试求。</p><p>6、3.3解对初值的连续性和可微性定理,解对初值的连续性解对初值和参数的连续性解对初值的可微性,内容:,G,图例分析(见右),解对初值的对称性:,Q:当初值发生变化时,对应的解是如何变化的?当初始值微小变动时,方程的解变化是否也是很小？,证明,则由解的唯一性知,即此解也可写成:,且显然有:,解对初值的对称性:,一、解对初值的连续性,定义,设初值问题,1.解对初值。</p><p>7、1 2基本概念 定义1 联系自变量 未知函数及未知函数导数 或微分 的关系式称为微分方程 例1 下列关系式都是微分方程 一 常微分方程与偏微分方程 如果在一个微分方程中 自变量的个数只有一个 则这样的微分方程称为常微分方程 都是常微分方程 1 常微分方程 如 如果在一个微分方程中 自变量的个数为两个或两个以上 称为偏微分方程 注 本课程主要研究常微分方程 同时把常微分方程简称为微分方程或方程 2。</p><p>8、2.3 恰当方程与积分因子,一、恰当方程的定义及条件,如果我们恰好碰见了方程,就可以马上写出它的隐式解,定义1,则称微分方程,是恰当方程.,如,是恰当方程.,1 恰当方程的定义,问题,1. 方程(1)是否为恰当方程?,2. 若(1)是恰当方程,怎样求解?,若(1)不是恰当方程,能否转化 为恰当方程求解?,2 方程为恰当方程的充要条件,二、恰当方程的求解,1 不定积分法,2 分组凑微法,采用“分项。</p><p>9、常微分方程，17世纪牛顿，莱布尼茨，欧拉，伯努利，第一章引言，转移问题，海王星的发现，常微分方程是研究自然科学和社会科学的事物，物体和现象运动，进化和变化规律的最基本的数学理论和方法。物理、化学、生物学、工程学科、航空宇宙、医学、经济和金融领域的很多原理和规律可以描述为牛顿运动定律、万有引力定律、机械能量守恒定律、能量守恒定律、人口发展定律、生态群竞争、疾病感染、基因变异等相应的常微分方程。1.1。</p><p>10、第二章 一阶微分方程的初等解法,2.1 变量分离方程与变量变换,先看例子：,定义1,形如,方程,称为变量分离方程.,一、变量分离方程的求解,这样变量就“分离”开了.,例：,分离变量:,两边积分:,注:,解:,积分得:,故方程的所有解为:,解:,将变量分离后得,两边积分得:,由对数的定义有,即,故方程的通解为,解:,分离变量后得,两边积分得:,整理后得通解为:,例4,解:,两边积分得。</p><p>11、第四章 高阶微分方程,4.1 线性微分方程的一般理论,一、解的存在唯一性定理,1 n阶线性微分方程,定义1,2 解的存在唯一性定理,定理1,二、齐线性方程的解的性质和结构,定理2,1 叠加原理,证明:,故有,解:,2.线性相关与线性无关,定义2,3 朗斯基(Wronsky)行列式,4 函数的线性相关性与其Wronsky行列式的关系,(1)定理3,证明:,使得,由线性代数理论知,要使方程组存在非。</p><p>12、2.3 恰当方程与积分因子,一、恰当方程的定义及条件,如果我们恰好碰见了方程,就可以马上写出它的隐式解,定义1,则称微分方程,是恰当方程.,如,是恰当方程.,1 恰当方程的定义,问题,1. 方程(1)是否为恰当方程?,2. 若(1)是恰当方程,怎样求解?,若(1)不是恰当方程,能否转化 为恰当方程求解?,2 方程为恰当方程的充要条件,二、恰当方程的求解,1 不定积分法,2 分组凑微法,采用“分项。</p><p>13、3.3 解对初值的连续性和可微性定理,解对初值的连续性 解对初值和参数的连续性 解对初值的可微性,内容:,G,图例分析(见右),解对初值的对称性:,Q:当初值发生变化时,对应的解是如何变化的? 当初始值微小变动时,方程的解变化是否也是很小？,证明,则由解的唯一性知,即此解也可写成:,且显然有:,解对初值的对称性:,一、解对初值的连续性,定义,设初值问题,1。</p><p>14、1.2 基本概念,定义1: 联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的关系式称为微分方程.,例1：下列关系式都是微分方程,一、常微分方程与偏微分方程,如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程.,都是常微分方程,1.常微分方程,如,如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两个以上,称为偏微分方程.,注: 本课程主要研究常微分方程. 同时把常微分方程简称为微分。</p><p>15、4.2 常系数线性方程的解法,一、复值函数与复值解,1 复值函数,复函数的求导法则与实函数求导法则相同,2 复指数函数,欧拉公式:,性质:,定义,3 复值解,(1)定义,(2)定理8,(3)定理9,若方程,和,的解.,二、常系数齐线性方程和欧拉方程,1 常系数齐线性方程的求解方法(Euler待定系数法),考虑方程,称(4.19)为n阶常系数齐线性方程.,显然,一阶常系数齐线性方程,有解,对(4.1。</p><p>16、4.3高阶微分方程的降阶和幂级数解法,一、可降阶的一些方程类型,n阶微分方程的一般形式:,1 不显含未知函数x,或更一般不显含未知函数及其直到k-1(k1)阶导数的方程是,解得,积分,即,解题步骤:,第一步:,第二步:,求以上方程的通解,即,第三步:,对上式求k次积分,即得原方程的通解,解,令,则方程化为,这是一阶方程,其通解为,即有,对上式积分4次, 得原方程的通解为,例1,2 不显含自变量t。</p><p>17、第四章 高阶微分方程,4.1 线性微分方程的一般理论,一、解的存在唯一性定理,1 n阶线性微分方程,定义1,2 解的存在唯一性定理,定理1,二、齐线性方程的解的性质和结构,定理2,1 叠加原理,证明:,故有,解:,2.线性相关与线性无关,定义2,3 朗斯基(Wronsky)行列式,4 函数的线性相关性与其Wronsky行列式的关系,(1)定理3,证明:,使得,由线性代数理论知,要使方程组存在非。</p>