对称矩阵的标准形

对称矩阵的标准形Tag内容描述：<p>1、9.6 对称矩阵的标准形,一、实对称矩阵的一些性质,二、对称变换,三、实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵,四、实二次型的主轴问题,一、实对称矩阵的一些性质,引理1 设A是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数,证：设 是A的任意一个特征值，则有非零向量,满足,其中 为 的共轭复数，,令,又由A实对称，有,由于 是非零复向量，必有,故,考察等式，,引理2 设A是实对称矩阵，在 n 维欧氏空间 上,定义一个线性变换 如下：,则对任意 有,或,证：取 的一组标准正交基，,则 在基 下的矩阵为A，即,任取,即,于是,又 是标准正交基，,即有,又注意到在 中,二、对称。</p><p>2、经过线性变换,二次型化为,例,则,给定二次型,设该二次型,化为:,则,经过线性替换,且,定义5.3,定理,如果存在n 阶,使得,则称矩阵A与B合同,原二次型的矩阵,合同。,可逆矩阵C,设A,B是两个n 阶矩阵,经过非退化线性替换,与新二次型的矩阵,定义,的二次型,只含平方项,5.2 二次型的标准形,与规范形,形式为,不含交叉项,的秩为,称为标准形.,定义,的二次型,每一个标准形,每一对角矩阵,只含平方项,形式为,不含交叉项,对应一个标准形.,是对角矩阵.,的秩为,称为标准形.,对应的矩阵,可写为,此标准形化为,定义,的二次型,称为实数域上,令,是一个标准形.,二次型。</p><p>3、实对称矩阵A,存在可逆矩阵C,经过非退化线性替换,二次型 f 化为:,使得,二次型,(一) 用配方法化二次型为标准形,(二) 用初等变换法化二次型为标准形,(三)用正交替换法化二次型为标准形,二次型,通过非退化线性替换,化成标准形,有三种方法:,3.用正交替换法,实对称矩阵A,存在正交矩阵Q,存在正交矩阵Q,经过正交替换,定理4.14,标准形,A的所有特征值,实对称矩阵A,二次型化为：,化二次型为标准形,使得,使得,二次型,例,为标准形.,解,特征值,Q是正交矩阵,利用正交替换法,令,对应的矩阵为,化二次型,经过正交替换,二次型化为,二次型对应的矩阵为,是正交。</p>