对称矩阵的对角化

对称矩阵的对角化Tag内容描述：<p>1、4 对称矩阵的对角化,一、对称矩阵的性质,二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化,定理5 对称矩阵的特征值为实数.,一、对称矩阵的性质,说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵,定理7,推论,定理6,二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化 的方法,解,例1 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ， 使 为对角阵.,(1) 第一步 求 A 的特征值,解之得基础解系,解之得基础解系,解之得基础解系,第三步 将特征向量正交化,第四步 将特征向量单位化,于是得正交阵,利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤为：,2.,5. 写出正交阵 ，,1.,例2,解。</p><p>2、4 对称矩阵的对角化,一、对称矩阵的性质,二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化,1、定理5 对称矩阵的特征值为实数.,一、对称矩阵的性质,说明：本节所提到的对称矩阵，均指实对称矩阵,2、定理6,4、定理7,3、,利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤为：,二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化,解,例1 设实对称矩阵 求正交矩阵 P，使 为对角阵.,得基础解系,得基础解系,单位化，得,单位化，得,得基础解系,单位化，得,解,例2 设实对称矩阵 求正交矩阵 P，使 为对角阵.,单位化，得,单位化，得,正交化，得,于是得正交阵,例3,1. 对称矩阵的性质：,三、。</p><p>3、4.3 实对称矩阵的 对角化,一、内积的定义与性质,定义：,设维实向量,称实数,为向量与的内积，记作,如：,性质：,（1）对称性：,（2）线性性：,（3）正定性：,当且仅当,时,推广性质：,概念：,二、向量的长度与夹角：,令,为维向量,的长度（模或范数）.,特别：,长度为的向量称为单位向量.,注,当,时，,由非零向量得到单位向量,是的单位向量.,称为把单位化或标准化.,的过程,（1）非负性：,（2）齐次性：,（3）三角不等式：,性质：,定理：（Cauchy不等式）,任意两个n维实向量,恒有,等号成立当且仅当,线性相关.,三、正交向量组及其求法：,正交：,注。</p><p>4、第三节 相似矩阵,一、相似矩阵与相似变换的概念,1. 等价关系,二、相似矩阵与相似变换的性质,推论 若 阶方阵A与对角阵,三、利用相似变换将方阵对角化,说明,如果A的特征方程有重根，此时不一定有 n个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能 对角化，但如果能找到n个线性无关的特征向量， A还是能对角化,例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？,解,解之得基础解系,求得基础解系,解之得基础解系,故 不能化为对角矩阵.,矩阵对角化的步骤：,解,解之得基础解系,所以 可对角化.,注意,即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应,四、小结,相。</p><p>5、4 对称矩阵的对角化,定理：设 l1, l2, , lm 是方阵 A 的特征值， p1, p2, , pm 依 次是与之对应的特征向量，如果 l1, l2, , lm 各不相同，则 p1, p2, , pm 线性无关 （P.120定理2）,可逆矩阵 P ，满足 P 1AP = L （对角阵）,AP = PL,Api = li pi (i = 1, 2, , n),A 的 特征值,对应的 特征向。</p>