方向导数与梯

方向导数与梯Tag内容描述：<p>1、方向导数与梯度,一、方向导数的定义,若 f 在 P0 点存在关于 x 的偏导数，则 f 在 P0 点沿 x 轴正向的方向导数,f 在 P0 点沿 x 轴负方向的方向导数则为,沿任一方向的方向导数与偏导数的关系由下述定理给出.,定理17.6:,则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数都存在 ,证明:,且有,由函数 f 在点 P0 可微 , 得,上式两边同除以 ,令 0 取极限，得,对于二元函数，相应结果为,特别:, 当 l 与 x 轴同向, 当 l 与 x 轴反向,注：函数在一点可微是方向导数存在的充分条件，而不是必要条件.,l, y, x,z,P,P0,z = f (x,y),Q,M,是曲面在 点P0 处沿方向l 的变。</p><p>2、第七节 方向导数与梯度,一、方向导数的定义 二、梯度的概念 三、小结,讨论函数 z = f (x, y) 在一点 P 沿某一方向的变化率问题,一、方向导数的定义,定义,记为,解,方向导数,推广可得三元函数方向导数的定义,二、梯度的概念,结论,在几何上 表示一个曲面,曲面被平面 所截得,所得曲线在xoy面上投影如图,等高线,梯度为等高线上的法向量,类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与 取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的 最大值.,梯度的概念可以推广到三元函数,解,由梯度计算公式得,故,1、方向导数的概念,2、梯度的概念,3、方向导数。</p><p>3、方向导数与梯度,一、方向导数的定义,若 f 在 P0 点存在关于 x 的偏导数，则 f 在 P0 点沿 x 轴正向的方向导数,f 在 P0 点沿 x 轴负方向的方向导数则为,沿任一方向的方向导数与偏导数的关系由下述定理给出.,定理17.6:,则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数都存在 ,证明:,且有,由函数 f 在点 P0 可微 , 得,上式两边同除以 ,令 0 取极限，得,对于二元函数，相应结果为,特别:, 当 l 与 x 轴同向, 当 l 与 x 轴反向,注：函数在一点可微是方向导数存在的充分条件，而不是必要条件.,l, y, x,z,P,P0,z = f (x,y),Q,M,是曲面在 点P0 处沿方向l 的变。</p><p>4、方向导数与梯度,一、方向导数的概念及计算,二、梯度的概念及计算,三、几何与物理意义,第九章,第七节,一、方向导数,定义: 若函数,则称,为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.,在点,处,沿方向 l (方向角为,) 存在下列极限:,记作,定理:,则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,证明: 由函数,且有,在点 P 可微 ,得,故,对于二元函数,为, ) 的方向导数为,特别:, 当 l 与 x 轴同向, 当 l 与 x 轴反向,向角,例1. 求函数,在点 P(1, 1, 1) 沿向量,3) 的方向导数 .,例2,解,因为函数可微分,且,例3,解,在空间的每一个点都可以确定无限多个方向,因此,。</p><p>5、方向导数与梯度,实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？,问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行,一、方向导数的定义,讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题,当 沿着 趋于 时，,是否存在？,记为,方向导数的几何意义,过直线,作平行于 z 轴的平面,与曲面 z = f ( x , y ) 所交的曲线记为 C,表示C 的割线向量,即,。</p><p>6、方向导数与梯度,一、方向导数的定义,若 f 在 P0 点存在关于 x 的偏导数，则 f 在 P0 点沿 x 轴正向的方向导数,f 在 P0 点沿 x 轴负方向的方向导数则为,沿任一方向的方向导数与偏导数的关系由下述定理给出.,定理17.6:,则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数都存在 ,证明:,且有,由函数 f 在点 P0 可微 , 得,上式两边同除以 ,令 0 取极限，得,对于二元函数，相应结果为,特别:, 当 l 与 x 轴同向, 当 l 与 x 轴反向,注：函数在一点可微是方向导数存在的充分条件，而不是必要条件.,l, y, x,z,P,P0,z = f (x,y),Q,M,是曲面在 点P0 处沿方向l 的变。</p>