格林公式及其应用.

格林公式及其应用.Tag内容描述：<p>1、第三节,一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,格林公式及其应用,第十章,区域 D 分类,单连通区域 ( 无“洞”区域 ),多连通区域 ( 有“洞”区域 ),域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左,定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有,( 格林公式 ),函数,在 D 上具有连续一阶偏导数,或,一、 格林公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明:,1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且,则,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,即,同理可证,、两式相加得:,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,2) 。</p><p>2、2 格林公式及其应用,格林(Green)公式 平均值定理 极值原理 第一边值问题解的唯一性及稳定性,1.格林公式,1) 格林公式的推导,高斯公式：,格林第二公式：,其中 是 的单位外法向量。,格林第一公式：,2)调和函数的积分表达式,(2.5),从而有：,基本积分公式,调和函数基本积分公式,(2.8),(2.7),补：二维空间上的基本积分公式以及调和函数的基本积分公式,3) 泊松方程,4)调和方程的诺伊曼内问题有解的必要条件,2.平均值定理,3. 极值原理,4.第一边值问题解的唯一性和稳定性,。</p><p>3、1,第三节 格林公式及其应用,2,3,(4)+(5) 得 Green 公式. 证毕.,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,小结：,25,26,27,28,。</p><p>4、,2,一、几个概念,1、设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.,复连通区域,单连通区域,单连通区域是无“洞”区域,复连通区域是有“洞”区域,3,2、边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.,4,二、格林公式,定理1,5,证明,6,同理可证,两式相加得,7,三、简单应用,1. 简化曲线积分,所以由格林公式,8,例2. 计算,其中L为上半圆周,从 O (0, 0) 到 A (4, 0).,解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段, 它与L 所围区域为D , 则,原式,9,A,B,10,A,B,11,解,12,13,14,2. 简化二。</p><p>5、一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的条件,三、二元函数的全微分求积,10.3 格林公式及其应用,一、格林公式,单连通与复连通区域,单连通区域,复连通区域,设D为平面区域 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D 则称D为平面单连通区域 否则称为复连通区域,边界曲线的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.,设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;,如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.,一维单连通 二维单连通,一维单连通 二维不连通,一维不连通 。</p><p>6、第三节,一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件,格林公式及其应用,第十章,区域 D 分类,单连通区域 ( 无“洞”区域 ),多连通区域 ( 有“洞”区域 ),域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左（P141）,定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有,( 格林公式 ),函数,在 D 上具有连续一阶偏导数,或,一、 格林公式,证明:,1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且,则,即,同理可证,、两式相加得:,2) 若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割,为有限个上述形式的区域 , 如图,证毕,例+.,设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证。</p><p>7、8.2 格林公式及其应用,8.2.1 格林公式,8.2.2 平面上曲线积分与路径无关的条件,区域连通性的分类,设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.,复连通区域,单连通区域,8.2.1 格林公式,定理8.2.1,边界曲线L的正向 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边。,证明 (1),同理可证,(2),两式相加得,G,F,(3),由(2)知,L,（1） 简化曲线积分,简单应用,（2） 简化二重积分,（,例3 计算,解 可直接化为对x的定积分，但计算量较大。这里用格林公式。,从 到,（,解,(注意格林公式的条件),还可将结论。</p>