阶微分方程的

阶微分方程的Tag内容描述：<p>1、本 科 毕 业 论 文 （ 设 计 ） 题目 一些特殊类型的一阶微分方程 的解法探讨 学生姓名 学 号 系 名 数学与计算机信息工程系 专业年级 数学与应用数学 2008 级 指导教师 职 称 单 位 辅导教师 职 称 单 位 完成日期 2012 年 5 月 20 日 材 料 目 录 XX 大学本科毕业论文（设计）任务书 （ 指导教师用） XX 大学本科毕业论文（设计）开题报告（学生用） XX 大学本科毕业论文（设计）中期自查表（学生用） 论文正文：一些特殊类型的一阶微分方程的解法探讨 XX 大学本科毕业论文 （设计）诚信保证书 XX 大学本科毕业论文（设计）任务书 （指。</p><p>2、一阶线性微分方程的研究与应用摘要：本文分析了一阶线性微分方程的几种初等解法类型以及应用，总结出了这些不同类型方程可借助变量变换或积分因子化成变量分离方程和恰当方程两种类型，从而归纳了一阶微分方程的求解问题以及应用领域。关键词：变量变换 积分因子 变量分离方程 恰当方程引言 对于一阶微分方程的初等解法，通常我们把他们归结为方程的积分问题，虽然一般的一阶方程没有初等解法，但是对于一些有限的有初等解法的类型，它们却反映了实际问题中出现的微分方程的相当部分，因此，掌握这些类型方程的解法还是有重要实际意义的，。</p><p>3、一阶微分方程的求解 3.3 电路暂态分析的目的是为了得到 电路的时域响应。 建立动态电路的状态方程，得到一阶微 分方程组（或一阶微分方程），再求该 方程组的解。 因此暂态分析的实质就是如何获得并 且求解电路的常微分方程。 一阶微分方程的求解 3.3 3.3 一阶微分方程的求解 一阶微分方程的求解可归结为在给定初始条件下， 求微分方程的初值问题 基本思想： 在初值问题存在唯一解的时间区间内，在若干个时间 离散点上，用差分方程代替微分方程，然后逐点求解差分 方程，得到各时间离散点 、 处的函数 近似值 、 一阶微分方程的求解 3.3 。</p><p>4、一阶微分方程的解法及应用 习题课 一、一阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题 第七章(1) 三、课外练习题 * * 1 1 高高 等等 数数 学学 习习 题题 课课 高高 等等 数数 学学 习习 题题 课课 一、一阶微分方程求解 1. 一阶标准类型方程求解 关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解 变量代换法 代换自变量 代换因变量 代换某组合式 几个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程 P315 题7 DateDate 2 2 高高 等等 数数 学学 习习 题题 课课 例1 求下列方程的通解 提示: (1)故为分离变量方程: 通解 DateDate 3 。</p><p>5、一阶线性微分方程的研究与应用摘要：本文分析了一阶线性微分方程的几种初等解法类型以及应用，总结出了这些不同类型方程可借助变量变换或积分因子化成变量分离方程和恰当方程两种类型，从而归纳了一阶微分方程的求解问题以及应用领域。关键词：变量变换 积分因子 变量分离方程 恰当方程引言 对于一阶微分方程的初等解法，通常我们把他们归结为方程的积分问题，虽然一般的一阶方程没有初等解法，但是对于一些有限的有初等解法的类型，它们却反映了实际问题中出现的微分方程的相当部分，因此，掌握这些类型方程的解法还是有重要实际意义的，。</p><p>6、第三章 特征值问题与特殊函数,3.1 二阶常微分方程的幂级数解法,特征方程为,特解,1. 变系数常系数 （不是都可以用）,2. 幂级数法 f(x)Taylor展开,在收敛区域内 收敛半径,解析：若 f(x) 在0点的某个邻域内C，且Taylor级数收敛，称 f 在0点解析。,解析函数由局部性质可推知整体性质.,3.1.1 幂级数解法理论概述,用球坐标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、波动方程、输,运方程进行变量分离，就出现连带勒让德方程、勒让德方程、,贝塞尔方程、球贝塞尔方程等特殊函数方程用其他坐标,系对其他数学物理偏微分方程进行分离变量，还会出,现各种各样的特。</p><p>7、一阶微分方程的,习题课 (一),一、一阶微分方程求解,二、解微分方程应用问题,解法及应用,第七章,一、一阶微分方程求解,1. 一阶标准类型方程求解,关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤,2. 一阶非标准类型方程求解,变量代换法,代换因变量,代换某组合式,三个标准类型,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,代换自变量,例1. 求下列方程的通解,提示: (1),故为分离变量方程:,通解,(2) 这是一个齐次方程 ，,令 y = u x ,化为分离变量方程:,方程两边同除以 x 即为齐次方程 ,令 y = u x ,化为分,离变量方程.,调换自变量与因变量的地位 ,用线性方程通解公。</p><p>8、电路暂态分析的目的是为了得到 电路的时域响应。,建立动态电路的状态方程，得到一阶微分方程组（或一阶微分方程），再求该方程组的解。,因此暂态分析的实质就是如何获得并且求解电路的常微分方程。,3.3 一阶微分方程的求解,一阶微分方程的求解可归结为在给定初始条件下， 求微分方程的初值问题,基本思想： 在初值问题存在唯一解的时间区间内，在若干个时间离散点上，用差分方程代替微分方程，然后逐点求解差分方程，得到各时间离散点 、 处的函数 近似值 、 ,当两相邻离散点之间的间隔较小时，用一阶差商 取代一阶导数,一.前向欧拉法,令步。</p><p>9、二阶微分方程,一、可降阶的二阶微分方程 二、二阶线性微分方程 三、几个典型模型,一、几种可降阶的二阶方程,二阶线性微分方程,线性齐次微分方程,线性非齐次微分方程,n阶线性微分方程,一阶线性微分方程,二、二阶线性微分方程,二阶齐次方程解的结构:,问题:,1.解的基本性质,例如,线性无关,线性相关,特别地:,例如,2.二阶非齐次线性方程的解的结构:,2. 二阶常系数齐次线性方程解法,-特征方程,将其代入上方程, 得,故有,特征方程,特征根,1） 有两个不相等的实根,两个线性无关的特解,得齐次方程的通解为,特征根为,特征方程法: 由常系数齐次线性方。</p><p>10、二阶微分方程的,习题课 (二),二、微分方程的应用,解法及应用,一、两类二阶微分方程的解法,第七章,一、两类二阶微分方程的解法,1. 可降阶微分方程的解法 降阶法,令,令,逐次积分求解,2. 二阶线性微分方程的解法,常系数情形,齐次,非齐次,代数法,欧拉方程,练习题: P353 题 2 (2); 3 (6) , (7) ; 4 (2)；,解答提示,P353 题2 (2) 求以,为通解的微分方程 .,提示: 由通解式可知特征方程的根为,故特征方程为,因此微分方程为,P353 题3 求下列微分方程的通解,提示: (6) 令,则方程变为,特征根:,齐次方程通解:,令非齐次方程特解为,代入方程可得,思 考,。</p><p>11、二阶微分方程的,习题课 (二),二、微分方程的应用,解法及应用,一、两类二阶微分方程的解法,第七章,一、两类二阶微分方程的解法,1. 可降阶微分方程的解法 降阶法,令,令,逐次积分求解,2. 二阶线性微分方程的解法,常系数情形,齐次,非齐次,代数法,欧拉方程,练习题: P353 题 2 (2); 3 (6) , (7) ; 4 (2)；,解答提示,P353 题2 (2) 求以,为通解的微分方程 .,提示: 由通解式可知特征方程的根为,故特征方程为,因此微分方程为,P353 题3 求下列微分方程的通解,提示: (6) 令,则方程变为,特征根:,齐次方程通解:,令非齐次方程特解为,代入方程可得,思 考,。</p><p>12、一阶微分方程的解法,第二节,第八章,一、可分离变量微分方程,二、齐次微风方程,三、一阶线性微分方程,四、伯努利方程* （了解）,一、可分离变量微分方程,定义：形如,第八章,或,的方程称为可分离变量方程。,特点：变量x及dx与变量y及dy能分离在方程两端。,分离变量方程的解法:,再两边积分, 得,当G(y)与F(x) 可微且 G (y) g(y) 0 时,的隐函数 y (x) 是的解.,则有,称为方程的隐式通解.,同样, 当 F (x) = f (x)0,时,由确定的隐函数 x(y) 也是的解.,设左右两端的原函数分别为 G(y), F(x),说明由确定,先分离变量：,例1. 求微分方程,的通解.,解: 。</p><p>13、1.8 一阶微分方程的应用 应用微分方程去解决一些实际问题 应用介绍： 应用大意 应用一： 曲线族的等角轨线 应用二： 雨滴的下落 应用三： 人口增长模型 应用四： 静脉注射给药 应用五： 水流问题,1： 应用大意,适应范围 与变化率有关的各种实际问题 应用三步曲 (1) 建立模型 Modelling (2) 模型求解 Solving (3) 模型应用 Application 建议: 模型要详略得当,应用一：曲线族的等角轨线,设给定一个平面上以C为参数的曲线族,（*）,我们设法求出另一个以k为参数的曲线族,（*）,使得曲线族（*）中的任一条曲线与曲线族,样的曲线族（*）是已知曲。</p><p>14、电路暂态分析的目的是为了得到 电路的时域响应。,建立动态电路的状态方程，得到一阶微分方程组（或一阶微分方程），再求该方程组的解。,因此暂态分析的实质就是如何获得并且求解电路的常微分方程。,3.3 一阶微分方程的求解,一阶微分方程的求解可归结为在给定初始条件下， 求微分方程的初值问题,基本思想： 在初值问题存在唯一解的时间区间内，在若干个时间离散点上，用差分方程代替微分方程，然后逐点求解差分方程，得到各时间离散点 、 处的函数 近似值 、 ,当两相邻离散点之间的间隔较小时，用一阶差商 取代一阶导数,一.前向欧拉法,令步。</p>