实对称矩阵的对角化

实对称矩阵的对角化Tag内容描述：<p>1、4.4实对称矩阵的对角化,4.4.1实对称矩阵的特征值和特征向量的性质,4.4.2实对称矩阵的对角化,性质1 实对称矩阵的特征值是实数。,4.4.1实对称矩阵的特征值和特征向量的性质,性质2 实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量是正交的。,性质3 设A为n阶实对称矩阵，是A的特征方程的r重根，则R(E-A)=n-r，从而对应于特征值恰有r个线性无关的特征向量。,性质3说明了,实对称矩阵必有n个线性无关的特征向量.,定理 设A是n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P，使,4.4.2实对称矩阵的对角化,解 第一步 求A的特征值由,例4.4.2,即,得。</p><p>2、Chapter 4(4),实对称矩阵的对角化,教学要求：,掌握实对称矩阵的性质;,2. 掌握用相似变换化实对称矩阵为对角矩阵的 方法.,1.实对称矩阵的特征值为实数.,Proof.,2.实对称矩阵的特征向量为实向量.,3.实对称矩阵A对应于不同特征值的特征 向量是正交的.,Proof.,于是,4.实对称矩阵的每个特征值的代数重数 与几何重数相等.,定理.,利用正交矩阵将实对称矩阵对角化,其具体步骤为：,利用可逆矩阵将实对称矩阵对角化,其具体步骤为：,Solution.,求得基础解系,正交化,单位化,求得基础解系为,单位化,Proof.,故存在正交矩阵Q使,Proof.,又由A为实对称矩阵,。</p><p>3、4.3 实对称矩阵的 对角化,一、内积的定义与性质,定义：,设维实向量,称实数,为向量与的内积，记作,如：,性质：,（1）对称性：,（2）线性性：,（3）正定性：,当且仅当,时,推广性质：,概念：,二、向量的长度与夹角：,令,为维向量,的长度（模或范数）.,特别：,长度为的向量称为单位向量.,注,当,时，,由非零向量得到单位向量,是的单位向量.,称为把单位化或标准化.,的过程,（1）非负性：,（2）齐次性：,（3）三角不等式：,性质：,定理：（Cauchy不等式）,任意两个n维实向量,恒有,等号成立当且仅当,线性相关.,三、正交向量组及其求法：,正交：,注。</p><p>4、定理1 实对称矩阵的特征值都是实数.,一、实对称矩阵的性质,4.3 实对称矩阵的对角化,证明,于是有,及,相减,定理1的意义,当特征值 i 为实数时 齐次线性方程组 (Ai I)x0 是实系数方程组 由|Ai I|0知必有实的基础解系 所以对 应的特征向量可以取实向量,证明,设A为实对称矩阵, Ap11 p1 Ap22 p2 12,一方面,于是,(12) p1Tp20,但 12,即p1与p2正交,故 p1Tp20,定理2：实对称矩阵A的对应于不同特征值的特征向量正交.,另一方面,推论 设A为n阶实对称阵 是A的特征方程的k重根则对应特征值恰有k个线性无关的特征向量,二、实对称矩阵的对角化,求正交矩阵 ，。</p><p>5、四. 实对称矩阵的对角化,实对称矩阵是一类特殊的矩阵，它们一定可以对角化。,即存在可逆矩阵 , 使得,更可找到正交矩阵 ，使得,定理1：实对称矩阵的特征值为实数.,证：设 是 的任一特征值，（往证 ）,是对应于 的特征向量，,则,设,用 表示 的共轭复数， 表示 的共轭复向量。,则,又 是实对称矩阵， 且,由(1)(2)有,等号两边同时左乘,左边,右边,即,考虑,即 为实数。,定理2：实对称矩阵 的对应于不同特征值的特征向量正交。,是依次与之对应的特征向量。,证：设 是对称矩阵 的两个特征值，且,则,于是,为实对称矩阵，,考虑,即 正交。,定理3： 为 。</p><p>6、实对称矩阵的相似对角化,一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质：,性质1：实对称矩阵的特征值都是实数。,（1）两端取转置，得：,性质2：实对称矩阵的相异特征值所对应的特征向量必定正交。,对一般矩阵，只能保证相异特征 值所对应的特征向量线性无关。,性质3：实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无 关的特征向量恰有k个。,由此推出：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。,二、实对称矩阵的相似对角化：,定理1：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。,定理2：实对称矩阵A一定与对角矩阵正交相似。,再单位化，得：,三、矩阵的合同,.,合同矩阵具有。</p><p>7、第三节 实对称矩阵的对角化,定义,把矩阵A的各元素用其共轭复数代换所得,的矩阵成为A的共轭矩阵，,记作,如,注：实矩阵的共轭矩阵是它本身！,定理,实对称矩阵的特征值全是实数。,定理,实对称矩阵的不同特征值的特征向量是,正交的。,正交,定理,n阶实对称阵A有n个线性无关的特征向量。,定理,对n阶实对称阵A,存在n阶正交矩阵T,使得,为对角矩阵.,正交向量,设n维向量,若,则称向量,正交或垂直，,记作。</p><p>8、1,5.3 实对称矩阵的对角化,一.实对称矩阵的特征值与特征向量的性质,主要内容：,二. n 阶实对称矩阵的对角化,2,实对称矩阵是一类特殊的矩阵，它们一定可以对角化.,即存在可逆矩阵 , 使得,更可找到正交矩阵 ，使得,定理5.7 实对称矩阵的特征值都是实数.,证 设 是 的任一特征值，（往 证 ）,一 . 实对称矩阵的特征值与特征向量的性质,5.3 实对称矩阵的对角化,3,用 表示 的共轭复。</p>