曾谨言量子力学习题

曾谨言量子力学习题Tag内容描述：<p>1、第九章：定态微扰论1设非简谐振子的哈密顿量为：（为常数）取 ，试用定态微扰论求其能量及能量本征函数。（解）一级能量本征值修正量：本题是一维、无简并的，按本章9.1公式，从3.3知道一维谐振子波函数是：，但 （1）（2）但根据3.3，一维谐振子波函数中的厄密多项式是有宇称的（或奇或偶），因而必定是个偶函数。（2）式中被积函数就应是奇函数，又因积分限等值异号，结果有：一级波函数修正值：据9.1公式12b（3） 微扰矩阵元要涉及厄密多项式相乘积的积分，为此利用关于的一个递推公式（，问题2）：（4）将此式遍乘，再重复使用（4）再。</p><p>2、第五章：对称性及守恒定律证明力学量（不显含）的平均值对时间的二次微商为：（是哈密顿量）（解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量 不显含，有（）将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量的平均值，则有：（）此式两边乘即得待证式。证明，在不连续谱的能量本征态（束缚定态）下，不显含的物理量对时间的导数的平均值等于零。（证明）设是个不含的物理量，是能量的公立的本征态之一，求在态中的平均值，有：将此平均值求时间导数，可得以下式（推导见课本5.1）（）今代表的本征态，故满足本征方程式（为本征值）（）又因。</p><p>3、第十章：散射问题1用玻恩近似法，求在下列势场中的散射微分截面：（1） （2） (3) (4) (5) (解) （1）先列出玻恩近似法的基本公式。根据理论，如果散射粒子所在的势场是。粒子质量是，粒子的波数是（因是弹性散射，在散射前后都用此文字表示，它与能量E的关系是）散射角度是，而表示以下参数：（1）则与散射方向对应的散射振幅用下述一维定积分计算（2）是为玻恩的散射振幅公式一般适用于高能量散射，若代入（2）：利用积分公式于前一式，注意上下限为a和0。（3）微分截面：400。</p><p>4、第十一章：量子跃迁1 具有电荷的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁，入射光能量密为，波长较长，求：（1）跃迁选择定则。（2）设离子处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的几率。（解）本题是一维运动，可以假设电磁场力的方向与振动方向一致。（1）跃迁选择定则：为确定谐振子在光照射下的跃迁选择定则，先计算跃迁速率，因为是随时间作交变的微扰，可以用专门的公式（12）（11.4，P396）（1）式中应理解为谐振子的矢径的矩阵元的平方和，但在一维谐振子情形，仅有一项（2）根据谐振子的无微扰能量本征函数来计。</p><p>5、第七章：粒子在电磁场中的运动1证明在磁场中，带电粒子的速度算符的各分量，满足下述的对易关系：（1）（2）（3）证明根据正则方程组：，同理 是正则动量，不等于机械动量，将所得结果代入（1）的等号左方：= （4）正则动量与梯度算符相对应，即 ，因此又仅与点的座标有关（因）其余二式依轮换对称写出。2利用上述对易式，求出均匀磁场中，带电粒子能量的本征值（取磁场方向为Z轴方向）（解）设磁场沿Z轴方向，矢势的一种可能情形是在本题的情形，哈密顿算符是：（前题）速度算符间的对易式是：根据（），分别和，对易，因此与对易，而：。</p><p>6、第三章： 一维定态问题1对于无限深势阱中运动的粒子（见图3-1）证明并证明当时上述结果与经典结论一致。解写出归一化波函数：（1）先计算坐标平均值：利用公式：（2）得 （3）计算均方根值用以知，可计算利用公式 （5）（6）在经典力学的一维无限深势阱问题中，因粒子局限在（0，a）范围中运动，各点的几率密度看作相同，由于总几率是1，几率密度。故当时二者相一致。#2试求在不对称势力阱中粒子的能级。解 （甲法）：根据波函数标准条件，设定各区间的波函数如下：(x0区)： （1）（0xa区）：。</p><p>7、目次第二章：波函数与波动方程125第三章：一维定态问题2680第四章：力学量用符表达80168第五章：对称性与守衡定律168199第六章：中心力场200272第七章：粒子在电磁场中的运动273289第八章：自旋290340* * * * *参考用书1曾谨言编著：量子力学上册 科学。19812周世勋编：量子力学教程 人教。19793LI席夫著，李淑娴，陈崇光译：量子力学 人教。19824D特哈尔编，王正清，刘弘度译：量子力学习题集 人教。19815列维奇著，李平译：量子力学教程习题集 高教。19586原岛鲜著：初等量子力学（日文） 裳华房。19727N.F.Mott.I.N.Sneddon:Wave Mecha。</p><p>8、第四章：力学量用算符表示1设是的可微函数，证明下述各式：一维算符（1）（证明）根据题给的对易式及（2）（证明）同前一论题80物83-309蒋（3）证明同前一题论据：（4）证明根据题给对易式外，另外应用对易式（5）（证明）论据同（4）：（6）（证明）论据同（4）：81(2)证明以下诸式成立：(1) (证明)根据坐标分角动量对易式为了求证 该矢量关系式，计算等号左方的矢量算符的x分量。 以及看到 由于轮换对称性，得到特征的公式。(2) （证明）证法与（1）类似，但需先证 分量与 分量的对易律同理可证明其他轮换式，由此得普通式取待证的公式。</p>