《高等数学》知识在物理学中的举例应用

高等数学知识在物理学中的应用举例一 导数与微分的应用分析 利用导数与微分的概念与运算，可解决求变化率的问题。求物体的运动速度、加速度的问题是典型的求变化率问题。在求解这类问题时，应结合问题的物理意义，明确是在对哪个变量求变化率。在此基础上，灵活运用各类导数和微分公式解决具体问题。例 1 如图，曲柄 以均匀角速度 饶定点 转动.此曲柄借连杆 使,rOAOAB滑块 沿直线 运动.求连杆上 点的轨道方程及速度.设 BxC,aCA,AOy解 1) 如图，点 的坐标为： ， (1) cosarx(2) .siny C由三角形的正弦定理，有 B,si2iarox故得(3).insiry由(1)得 (4)ryaxrax2coscs由 得,1in)4(3222,1222 ryaxyaxry化简整理,得 点的轨道方程为:C.)3()(42222 ryxyx2) 要求 点的速度,首先对(1),(2)分别求导,得,sinco2sinrr ,2cosy其中 .又因为 对该式两边分别求导,得sin2siar.co所以 点的速度C2yxV 4cos)sinco2sin( 22rrr.i(i4cos2r例 2 若一矿山升降机作加速度运动时,其加速度为 式中 及),2sin1(Ttcac为常数,已知升降机的初速度为零,试求运动开始 秒后升降机的速度及其所走T t过的路程.解: 由题设及加速度的微分形式 ,有dtva,)2sin1(tTcdv对等式两边同时积分 vtdtc00,)si(得: ,2cosDTttv其中 为常数.D由初始条件: 得 于是,0tv,c).12(cosTtt又因为 得,dtsv ,)12(cosdtTt对等式两边同时积分,可得: ).sin(12ttcs例 3 宽度为 的河流，其流速与到河岸的距离成正比。在河岸处，水流速d度为零，在河流中心处，其值为 一小船以相对速度 沿垂直于水流的方向行.cu驶，求船的轨迹以及船在对岸靠拢的地点。解 以一岸边为 轴，垂直岸的方向为 轴，如图建立坐标系。xy所以水流速度为 .2),(,0,dydkyv dox由河流中心处水流速度为 ，故 ，所以 .c)2(dkdck2当 时， ，即20dyyv(1),ctx,ut得 .dcux两边积分，有 xtdcu0,2, (2)2t由(1)-(2)，得 ,2yudcx. (3)0d同理，当 时， ，即2)(yv),(22utdcdctx，tu)(， Dydcx2(4)其中 为一常数。由(3) 知，当 时， ，代入(4)，得 ，于D2dyucx4ucdD2是.,2ucxdy所以船的轨迹为 .2,2,0,2dyucdyucxd船在对岸的靠拢地点，即 时有 .x例 4 将质量为 的质点竖直抛上于有阻力的媒质中。设阻力与速度平方成m正比，即 如上掷时的速度为 ，试证此质点又落至投掷点时的速.2gvkR0v度为 .120v解：质点从抛出到落回抛出点分为上升和下降两阶段。取向上的力为正，如图，两个过程的运动方程为： vR上升： 。 。,2ygmky下降： .mgv上升时 下降时 Rg对上升的阶段： ，即)1(2vkgdtv ),1(2vkdyvt于是 . 两边积分 ，yvk21002vhg得质点到达的高度. (1)1ln(220kgh对下降的阶段： 即得 ,得,2vdyvt1002vhgdyk. (2)1ln(22kgh由(1)=(2) 得 .201vkv二 积分的应用分析 利用积分的概念与运算，可解决一些关于某个区域累积量的求解问题。求物体的转动惯量、求电场强度等问题都是典型的求关于某个区域累积量的问题。在求解这类问题时，应结合问题的物理意义，明确是在对哪个变量，在哪个区域上进行累积。并应充分利用区域的对称性，这样可将复杂的积分问题简化，降低积分的重数，较简捷地解决具体问题。例 5 一半径为 的非均质圆球，在距中心 处的密度为：Rr ),1(20Rr式中 和 都是常数。试求此圆球饶直径转动时的回转半径。0解：设 表示距球心为 的一薄球壳的质量，则dmr，drRd)1(2202所以此球对球心的转动惯量为 .357)(020402 rrrIR(1)在对称球中，饶直径转动时的转动惯量为， I3(2)又因球的质量为(3)RRRdrrdm0 30202 .15)1(又饶直径的回转半径(4),Ik由(1)-(4)，得 .213504R例 6 试证明立方体饶其对角线转动时的回转半径为 ，式中 为对23dk角线的长度。解：建立坐标系，设 为立方体的中心，轴 分别与立方体的边O,Oxyz平行。由对称性知， 轴即立方体中心惯量的主轴。设立方体的边长,xyz为 .a由以上所设，平行于 轴的一小方条的体积为 ，于是立方体饶Oxadyz的转动惯量为Ox .6)(222 mdyzaIx 根据对称性得： .2Izyx易知立方体的对角线与 轴的夹角都为 且 故立方体,O,31cos饶对角线的转动惯量为(1).6cosscos 2222 amIIIzyx又由于, (2)ad3饶其对角线转动时的回转半径为(3),mIk由(1)-(3)得 .23d例 7 一个塑料圆盘，半径为 电荷 均匀分布于表面，圆盘饶通过圆心垂,Rq直盘面的轴转动，角速度为 ，求圆盘中心处的磁感应强度。解：电荷运动形成电流，带电圆盘饶中心轴转动，相当于不同半径的圆形电流。圆盘每秒转动次数为 ，圆盘表面上所带的电荷面密度为 ，在2 2Rq圆盘上取一半径为 ，宽度为 的细圆环，它所带的电量为 ，圆rdr rd盘转动时，与细圆环相当的圆环电流的电流强度为，rrdI2它在轴线上距盘心 处的 点所产生的磁感应强度为xPrdxrrIB2320320)()(,)(2230drxr故 点处的总磁感应强度为PRdrxrB0232,)(变换积分 drxrdxrdxr 232212232 )()()(所以，2220 xRB 220xRq的方向与 方向相同( )或( .0q)于是在圆盘中心 处，磁感应强度x.20B例 8 雨滴下落时，其质量的增加率与雨滴的表面积成正比，求雨滴速度与时间的关系。解：设雨滴的本体为 由物理学知.m(1)(Fvdt1) 在处理这类问题时，常常将模型的几何形状理想化。对于雨滴，我们常将它看成球形，设其半径为 则雨滴质量 是与半径 的三次方成正比，密度,rr看成是不变的，于是， (2)31km其中 为常数。1k2) 由题设知，雨滴质量的增加率与其表面积成正比，即(3),42rkdt其中 为常数。由(2) ，得2k(4).321dtrktm由(3)=(4)，得(5).312kdtr对(5)两边积分： 得,0ratd(6)t将(6)代入(2)，得(7).)(31atkm3）以雨滴下降的方向为正，分析(1)式(8),)()(3131 gatkvtd,00 dttatktv（ 为常数）,)(4)( 34131 katgkt 当 时， ，故tv,3k.)(34atv三 曲线、曲面积分的应用分析 曲线、曲面积分的概念与运算在物理学中应用非常广泛，灵活应用曲线、曲面积分，往往能使问题得到简化。在求磁感应强度、磁通量这类问题时，高斯公式往往是有效的。例 9 设力 其中,kFjiFzyx ,20633ybxazx36abxzF验证 为保守力，并求出其势能。,104ybx,182abz解：为验证 是否为保守力，将题设中力 的表达式代入 ，得FxxFzykjiF kyFxjziy xzxyz )()()( jabziabx18182222kyz )406406( 3333,于是 是保守力。故其势能为FdrFV )(),0dzFydxzyx)0,( )0,( 43233 )16)6x x dybxaba),(018zyxdz.54byz例 10 一个半径为 的球体内，分布着电荷体密度 式中 是径向距离，R,kr是常量。求空间的场强分布，并求 与 的关系。k Er解：(1)由于在球体内电荷是球对称分布的，故产生的电场也是球对称分布的，因此可用高斯定理求解。取与球面同心的球面作为高斯面。1) 当 时， , 而Rrqds01， 24rEs(1)(2),411 400200 rkdrkdvq 由(1)=(2)，得 方向为径向方向。,4)(20rkE2) 当 时，由高斯定理 , 有RrqdsE01, (3)24rdsE(4),411 400200 RkdrkvqR 由(3)=(4)，得 方向沿径向方向。,4)(20rk例 11 一根很长的铜导线，载有电流 10 ，在导线内部通过中心线作一平面A试计算通过导线 长的 平面内的磁感应通量。Sm1S解：由电流分布具有轴对称性可知，其产生的磁场也具有轴对称性，以下用安培环路定理求解。取以轴线为圆心的半径为 的同心圆环为积分环路，由安培环路定理r，有IdlB0, (1)Bdl2(2):)(Rr,1200rRI由(1)=(2)，所以有 .2rB在剖面上取面积微元 ，有lds.20lrRI所以单位长 的导线内通过剖面的磁通量为)1(ml .10426700 WbIdrIdsR 例 12 在半径为 的金属球之外包有一层均匀介质层，外半径为 设电介.R质的相对电容率为 金属球的电荷量为 求：,r