数学论文运用数学方法分析研究社会经济现象与解决实际经济问题的途径

1引言在市场经济活动分析研究中，运用数学方法进行定量分析，对于搞好经济管理工作提高经济效益，具有非常重要的作用。运用数学方法分析研究社会经济现象与解决实际经济问题的途径，最重要的是通过建立数学模型来实现。经济数学模型是一种理论结构，它是某些假定条件下，对现实社会经济现象加以数学描述的一种经济分析方法。当一个经济活动问题的数学模型确定后，随之就要推导出解来，也就是要采用适当的数学方法通过逻辑推理计算出最优化结果。本文试通过日常消费、库存费用、油田开发，以及国家利用利率对经济的宏观调控等方面进行相关数学探讨。1 日常消费A 提价与利润涨价可以提高利润，但是提价过猛会使商品滞销适得其反，怎样才能完成规定的利润指标这是经济生活中决策者常常碰到的一个问题。例 1. 某种消费品每件 a 元，不加收附加税时每件大约销售 6 万件，若政府征收附加税时每 100 元要征税 R 元 (叫税率为 R%),，则每年销售将减少 cR 万件(c 可以在实际统计中各得到)要使每年在此经营中所收取的税金不少于 k 万元，问 R 应怎样确定？解：设销售量为每年 x 万件 ，则每件销售收入为 ax (万元 )从中征收税金为(万元) (1)*%ya在税利 R%的情况下，由已知(2)xbcR把(2)式代入(1)式得()ya本题要求 K即 ()%bcR210a(A) 当 时 240abcK2 24040abcKabacKR这是指导经营者提价的一个数学模型。具体例子如下例 2某种消费品每件 60 元，不加收附加税时，每年大约销售 80 万件，若政2府征收附加税时，每销售 100 元要征收 R 元，则每年销售量将减少 R 万203件，要使每年在此项经营中所得收取的税金不少于 128 万元。问 R 应怎样确定。解：此题的 a=60 , b = 80 , c= , R=128 , 代入模型(A) 中203206*81*83R即 0解得 4要达到税金不少于 128 万元，税率必在 4%至 8%之间。例 3 某种儿童玩具每件 7.5 元，年销量为 120 万件，设每件提价 0.5 元销售量就减少 4 万件，要使总销售收入不低于 900 万元，求玩具的最高提价。解：设每件提价 x 元，则每件价格为(7.5+x) 元， 销售量为万件。(120*).5根据题意，得(7.)1204*).5xx解得 7.2x答：这种玩具的最高提价为 7.5 元。B 供与求、收入与成本例 4 市场上销售种货物，原价 a 元/ 件，销售额为 K 件，价格每提高 b 元/件，需求量将减少 件，试建立需求函数关系。1c解：设需求量为 件，价格为 元/件， 则由题意得yx1Kcb即 (B)1()cykax从此模型知，货物提价不能超过 ， 否则滞销。请看具体例子。1Kac例 5 市场上销售某种手表若原价 70 元/只，销售量为 10000 只，价格每担高 33元/只需求量将减少 3000 只，试建立需求函数关系。解：此题的 ， ， 70,a1K3b10c代入模型(B) 1()cbykax得 1*8)手表的价格不能超过 80 元，否则将滞销。例 6 设某货物的价格为 a 元/ 件，厂方可以提供 K 件；若价格每增加 b 元/件，厂方可多提供 件，试建立供求函数关系。2c解：设供应量为 件，价格为 元/件，由题意得yx( C )2()cxbKa例 5，例 6 两个数学模型组成方程组，得 时， 就是市场平衡价格，低xyK于这个价格的，求大于供，高于这个价格，供大于求。如：设手表价格为 70 元/只，表厂可以提供 10000 只，价格每提高 3 元/只，厂方可以多提供 300 只试建立 供求函数关系。解：由题意知 ，代入 270,1,30abC中2()CbyKax这就是供求函数关系，103解方程组 (80)yx得 7,x70 元/只是市场平衡价格，低于这个价格，求大于供，高于这个价格，供大于求。例 7 某产品总成本中，固定成本为 元，可变成本每单位产品为 元，单位产1a2a品价格为 元，求产量 时，总成本 ，总收入 及利润 的影响，并讨论产量bxCRL为何值时，能达到盈亏平衡？解：由题意： ， ()Rb12()x12()Lxaba总收入与总成本相等时，即可达到盈亏平衡。， ()C12()x( D )12axb4从而 时盈亏平衡，产量小于这 时，则亏损，产量大于12axb12ab时则盈利，如：12产品总成本中，固定成本为 20000 元，可变成本每单位产品为 3000 元，单位产品的价格为 5000 元，讨论产量为何值时，能达到盈亏平衡？解: 此时 元， 元， 元，代入(D)式中120a230a50b2053x当产量为 10(单位)时，盈亏平衡，产量小于 10(单位) 则亏损，产量大于 10(单位)时，则盈利。2库存费用仓储是经济活动中必不可少的重要一环，其能保证生产、消费相统一的再生产过程连续不断地进行。任何商品并不是存储得越多越好，大量的存储会出现积压，而且加重库存费用，但存储过少则会使商品脱销。影响社会再生产。在这“过多”与“过少”之间如何找出其平衡点。这就是下文将要解决的问题。例 8 某商店每年销售某货物 件，为了保证供应，要有计划地进货。若销售量是a均匀的( 即平均库存为进货量的一半) ，每批进货量相同；已知每件货物每月贮存费为 元，每批进货手续费为 元，求全年总费用 与每批进货量 之间的函数关1b2bCx系。并求每批进货量为多少时，全年总费用最省？解：由题意得 ，全年进货批数为 ，进货手续费 ，库存费anx21abx。全年总费用 ( E )211*6xCbx 2116C（常数）112a，即 (取正值) 时， 最小，216bx16abmin126ab如：某商店每年销售某种零件 48000 件，为了保证供应，要有计划地进货，假若销售是均匀的，每批进货量相同，已知每个零件每月贮存费用 0.02 元，每批进货手续费 160 元，求全年总费用 与每批进货量 之间的函数关系，并求每批进货Cx为多少时，全年总费用最小。解：此时 ， ， 480a1.02b160b5，当 ，4768*10.2Cx421768*0.abmin129ab每批进货 8000(件)时，全年总费用最小，此时 元。1920C食盐是国家专营的关系到国计民生的商品，确定存储量对提高盐业运销企业的经济效益，缩短食盐流通时间和货币流通的正常进行，意义重大。如何确定合理的食盐储存数量，主要通过对进货数量、进货费用以及储存费用三者关系作定量的分析建立经济数学模型以计算出最为合理、费用最省的进货量和批数。经常采用的批量法，它从企业进货投入尽可能低的费用和储存费用出发，确定两次费用之和最低的情况下使总成本最低的进货批量。使用这种方法是以保证食盐销售为前提的控制进货量的有效方法。食盐的管理费用主要是进货费用和储存费用。其中进货费用指进货时发生的运杂费，包括运输费、进货人员的差旅费和办公费用等。储存费用包括仓库折旧费、储存中的损耗、库存食盐的财产保险费以及因储存食盐占用资金所发生的资金占用费等。在进货总量的费用价格水平基本确定的情况下，进货批量与进货费用、储存费用的关系是：进货较多会导致较高的储存量和储存费用。但可以减少进货次数和进货费用。相反，较小的进货数量会降低储存费用和储存量，但就要有较多的进货次数和费用。设：N 为年销售量(或年需求量)P 每一次进货的费用M 吨盐的年储存费用Q 合理的采购批一年的进货总费用1Y一年的储存总费用2一年的管理费用总和则 ， 公式中 1*NPQ2*YM12*NQYPMN 、M 、Q 为常量，Y 和 Q 为变量，要求一年的流通费用 Y 为最小值时的批量Q，须对公式中的变量 Q 进行拆分，并令公式等于 0 从而求得 (取正值)例如某盐业公司计划年销售食盐 4.1 万吨，吨储存费用为 160 元，每次进货费用为 102400 元，依此可求得其进货批量6(吨)2*4.107246Q同时可相应地计算出下列相关数据：合理储存量 (吨)732最佳进货次数 (次)4.1*05.6N最佳进货间隔天数 (天)365.总费用最小值 2PM*410*60(万元).9所以进货批量为 7244 吨时，食盐的年管理费用总额 115.90 万元为最低，这时最合理的食盐储存量为 3622 吨。3 油田开发在市场经济中，如何才能实现产出与投入的最大比呢？这是采矿工作者一直为之探索的问题在石油开采方面，如何合理地布署井网显得更重要。油田开发最佳井数必须得保证合理的单井控制面积。这里采用谢尔卡乔夫建立的反映油田的地质条件和流体性质影响的单井控制面积和采油关系式(1 )21axpiNe在(1)式中 为采油量( ) ， 为油藏苦恼储存量( ) ， 为驱替系数，无p3mi 3m1a因次； 为井网效率系数，反映油田地质特点对单井控制面积与采油量关系影响的2a程度，井/ ； 为单井控制面积 ( 井)。其中， 和 可以通过室内实验室数kx2k12值模拟或采用相类似的已开发油田资料回归分析确定。若已知油田面积并确定单井控制面积，则油田开发井数为( 2 ) Anx上式中，n 为油田开发的井数；A 为油田面积( )； 同于(2 )式。2kmx油田总投资费用方程式为：7( 3 )11*EAnx上式中 E 为油田总的投资费用(万元) ； 为折合到单井上的油田总投资费(万元) ；其余符号同于( 2 )式。根据最佳井数必须满足获得的采油量最大和油田总资费用最小两个目标，因此确定目标函数为：油田总采油量 1()maxf油田总投资费用 2in考虑到井数所受的限制：井数最低不能少于一口井；井数最多不能突破油田总投资费用。将上述多目标函数最优化问题，表示为下面的多目标数学规划模型( 4 )12112max()in.()fEAstgx井为对( 4 )式求解，构造一个被称为评价函数的新目标函数 ，将多目标函数转化()hfx为单目标函数，求其最优解作为原问题( 4 )的最优解。构造评价函数方法较多，本文采用乘除法来建立评价函数。方程( 4) 为两个目标的数学规划问题，两个目标归结起来是求油田开发最佳经济效益， ，即用最小的油田总投资费用，获得最大的采油量，也就是单位油田总投资费用的总产油量最大。因此，把求最大的目标作为分子，求最小的目标为分母，构造评价函数( 5 )12()(fxhf把双目标函数转化为单目标函数，然后求 （ 6 12()maaxfhf）经过这样处理，便可以将多目标数学规划问题（ 4 ）转化为如下单目标规划问题（ 7 ）1212()max()ax.()fhfEAstgx井用 Lagrange 乘子法求最优解，方程（ 7 ）为不等式约束问题，引入松弛变量 ，使iw8不等式约束变为等式约束。由于 所以可21211max()(ax(*)axifNeEA以改写为（ 8 ）212122max()(*). 0()axiNhfeEAstgwxw井方程（ 8 ）为等式最优化问题，可用 Lagrange 乘子法求解。引入 Lagrange 乘子 ,得到 Lagrange 函数( 9 )2211(,)()()()LxwhfxEAwxAw井求函数 的平稳点，即解方程组 i=1, ,n : j=1, ,m : k=1, ,k (,)x 00ijkLLw(10)就可以得到原问题的最优解。实例：某油田石油储量 ,油田面积 ,折算到单井上的油田总投资费8310iNm231.5Akm用 ,油田约束总投资费用额 ， ，183E万 元 井 830E万 元 0.71a220.7ak井求油田开发最佳井数。通过对方程（1 0 ）的求解，得 ； ； （11 ）*1x*21xa*3xA井分别将已知数据代入方程（ 11 ） ，就可以得到各 值，再将 值代入方程（ 2 ）ii和方程（ 5 ） ，就可以求得井数和相应的评价函数值，其结果如下：， ， ；*21.3xkm井 10n井 *31()745.hfxm万 元， ， ；2486井 2井 26012万 元， ， ；*23.0井 3井 *33.9f万 元分析上述结果可知， 为， 因此，本例油田开发最佳井数为 22ax()if2()x口。4 利率对经济的调控作用利率是受国家调控，影响资本市场供求关系折关键变量，设为 r，国家一年内可利用的资金总量假定为常数，记为 M，第 i 个单位生产第 j 种产品年资金需要量设为9，i=1,2,m; j=1,2, ,n,ijd则计划模型变为 （） i=1,2, ,m; j=1,2, 11,(),2,(3)0mijijjmnijijxacdMxm在上模型（ 3 ）式表示各单位年资金需求总量不超过 M。考虑市场模型，设第 i 个单位税后利润为 ，由于利率 r 代表了单位借贷资本的成iu本参见【1】故有 （ 4 ）式中的 它表示第1(*)miijijijijjubavdrxijbi 个单位生产第 j 种产品税前和还贷前总利润。由于每个单位都追求利润最大，故其决策模型为 ax()nijijijijvrx10,2,.nijijxn假定第 i 单位在 ，r 已知下作决策，