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第四章 向量与线性方程组,第四章第一节线性方程组的表示、消元法,高斯消元法,设一般线性方程组为,则称矩阵,为方程组(1)的系数矩阵。,称矩阵,为方程组(1)的增广矩阵。,称为方程组（1）的导出组，或称为（1）对应的齐次线性方程组。,线性方程组的三种初等变换：,（1） 用一非零的数乘某一方程,（2） 把一个方程的倍数加到另一个方程,（3） 互换两个方程的位置,可以证明一个线性方程组经过若干次初等变换，所得到的新的线性方程组与原方程组同解用初等变换法将方程组转化为同解方程组的方法称为消元法,对一个方程组进行初等变换，实际上就是对它的增广矩阵做初等行变换,阶梯形矩阵,例1 解线性方程组,方程组的求解过程,可以用方程组的增广矩阵的初等行变换表示:,由最后一个矩阵得到方程组的解x1=1,x2=3,x3=2.,例2：解线性方程组,解：,最后一行有,可知方程组无解。,例3：解线性方程组,解：,对应的方程组为,即,由以上各例可以看出，方程组的解的情形，不能完全由方程的个数及未知量的个数决定，而必须由其增广矩阵的特征决定。但解决问题的思路，都是通过初等行变换，将,则以矩阵（3）为增广矩阵的方程组与方程组（1）同解。,称为阶梯形矩阵,称为非零首元,称为Jordan阶梯型矩阵,例5：设方程组的增广矩阵已化为Jordan型，求其解的一般形式。,自由未知量,通解,引理1.任何矩阵总可以经过有限次初等(行)变换把它变成阶梯形矩阵.,齐次线性方程组总是有解的, 这是因为它的常数项b1=b2=.=bm=0,故至少存在零解.我们要讨论的是它存在非零解的 条件.,定理1.齐次线性方程组AnnX=0有非零解的充要条件是A的行列式为零.,证明：,必要性,推论1.如果齐次线性方程组中方程个数m小于未知量个数
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