与您分享新数学课程标准的解读

关于新数学课程标准的解读,一、此次课标修订最关注的是什么? 二、数学课标有哪些新变化? 课堂教学改革如何跟进？,课程标准与课堂教学的关系,课程标准作为课程的顶层设计，它与一线的课堂教学有什么样的关系呢？,Chongqing Normal University,课程标准的价值取向、基本理念、目标要求及内容标准应该对教师的教学产生重要影响，并成为教师课堂教学的基本依据。,理想的课程制定的课程实施的课程获得的课程 贯通？变异？衰减？落差？拓展？,课程方案、标准,学校实施、课堂教学,课程标准与教学的关系教育目标的 层级性及教学内容的规定性,一级 教育目的二级 课程目标三级 教学目标,教育目标的层级性,课程标准,内容标准,教学内容,教学内容的规定性,教材,搞好课堂教学应该 深入学习、研究数学课程标准,一、此次课标修订最关注的是什么？,此次课标修订特别关注三个方面要求： 时代发展的要求 数学学科的要求 课堂教学的要求,注意体现时代发展 对数学课程的如下要求：,课程改革的核心是人才培养模式变化要加强对学生创新精神和实践能力的培养要以课程为载体实实在在推进素质教育要体现教育的均衡、公平，要为所有学生提供良好的教育要体现义务教育课程的基本特性：普及性、基础性、发展性,如何使课程目标 体现创新意识培养的要求？,基于上述要求思考如何对课程目标做修改，使数学课程目标能更好地适应时代对教育的要求 创新意识与实践能力培养,进一步反思：,数学教育的价值究竟是什么？今日之数学课程究竟应该教给孩子们什么样的数学？数学课程目标、内容设计如何更加合理？,应注意处理好几个基本关系：,注意用科学、辩证的态度处理好数学课程内容及教学中的一些基本关系。如： 重视过程与关注结果 教师讲授与学生自主 面向全体与因材施教 生活化情境化与知识系统性 此外，还有直观形象与抽象思维、合情推理与演绎推理等的关系。,内容的主线、课程的聚焦点,如何清晰地体现数学课程的核心？ 抓住课程内容的主线？ 从6个关键词到10个核心概念,关注课堂实施的数学课程,课改以来数学课堂发生了那些变化？那些该改变？那些该继承？那些该倡导？什么是数学课堂最应关注的事？,二、数学课程标准有哪些新变化？ 课堂教学改革如何跟进？,从数学课标修订看新变化:,1.关于基本理念2.关于设计思路3.关于课程目标4.关于课程内容5.关于课程实施,1.关于基本理念的修改（在前言中增加了课程性质的描述、修改、丰富了基本理念的一些提法）,前言增加了对数学课程性质的表述,数学课程的性质表述为，“义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性。义务教育阶段的数学课程能为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础。数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能；培养学生的抽象思维和推理能力；培养学生的创新意识和实践能力；促进学生在情感、态度与价值观等方面得到发展。”,义务教育阶段数学课程本质属性,事实上，义务教育阶段数学课程这些本应被“突出体现”的属性有被弱化（或“异化”）的倾向。在相当大范围，义务教育阶段的数学课程从一开始就被导入应试升学的轨道，“突出体现”的就是竞争性、区分性和筛选性。标准对义务教育阶段数学课程本质属性的强调颇有“正本清源”之意。,基本理念反映出我们对数学、数学课程、数学教学以及评价等方面应具有的基本认识和观念、态度，它是制定和实施数学课程的指导思想。教师作为课程的实施者，应自觉树立起正确的数学观、数学课程观、数学教学观、评价观等数学教育观念，并用以指导自己的教学实践活动。,什么是课程 的基本理念？,关于基本理念的修改,原课标： 数学课程 数学 数学学习 数学教学 评价 信息技术修改后： 数学课程 课程内容 教学活动 学习评价 信息技术,关于数学观 如何认识数学,原课标：数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程新课标：数学是研究数量关系和空间形式的科学,新课标：揭示了作为一门科学的数学所 表现出的文化特征及应有价值,数学是研究数量关系和空间形式的科学。 数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具 数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养 要发挥数学在培养人的（理性）思维能力和创新能力方面的不可替代的作用,一种观点：两种表述结合起来更好,通过静态表述，揭示数学的学科内涵是一种传统规范，也与高中课标协调将数学视为一种活动、一种过程，今天来看也是很主流的数学哲学观，动态表述能很好支撑注重活动过程的数学新课堂静态与动态结合，有利于辩证看待数学的本质，树立正确的数学观和数学教学观,体现数学课程核心理念的三句话:,人人学有价值的数学人人都能获得必需的数学不同的人在数学上得到不同的发展,人人都能获得良好的数学教育不同的人在数学上得到不同的发展,树立正确的课程观,关于“人人都能获得良好的数学教育”,与过去的提法相比： 出发点不变（人人、不同的人）； 有更深的意义和更广的内涵； 落脚点是数学教育而不是数学内容； 体现了更强的时代精神和要求（公 平的、优质的、均衡的、和谐的、可持 续发展的教育）。,良好的数学教育需要 在各个维度上体现,提出“良好的数学教育”需要我们重新审视数学课程的目标、内容，也需要我们在课堂教学实施中寻找切入点！,我们需要什么 样的数学教学？,教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。 数学教学活动的本质是什么？,树立正确的数学教学观,什么是数学课堂教 学中最需要做的事？,数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。 改变人才培养模式 要从这些方面入手！,最重要的事：学会数学的思考,数学家陈省身：“数学是自己思考的产物，首先要能够思考起来，用自己的见解和别人的见解交换，会有很好效果,原课标：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”,学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等都是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。,原课标：教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能,教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。,原课标：“对数学学习的评价要关注学生学习的结果，更要关注他们学习的过程；要关注学生数学学习的水平。更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心。”,应建立目标多元、方法多样的评价体系。评价既要关注学生学习的结果，也要重视学习的过程；既要关注学生数学学习的水平，也要重视学生在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我、建立信心。,树立正确的评价观,如何看待信息技术的运用？,数学课程的设计与实施应根据实际情况合理地运用现代信息技术，要注意信息技术与课程内容的整合，注重实效。要充分考虑信息技术对数学学习内容和方式的影响，开发并向学生提供丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进教与学的方式,2.关于设计思路的修改,学段划分保持不变对课程目标动词及水平要求的设计基本保持不变，增加了目标动词的同义词对四个学习领域的名称作适当调整对课程内容中的若干核心概念作适当调整，对其意义作更明确的阐释,核心 概念,对课程目标的行为动词及水平作了描述：标准使用“了解、理解、掌握、运用”等术语表述学习活动结果目标的不同水平，使用“经历、体验、探索”等术语表述学习活动过程目标的不同程度。这些词的基本含义如下。了解：从具体事例中知道或举例说明对象的有关特征；根据对象的特征，从具体情境中辨认或者举例说明对象。理解：描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系。,掌握：在理解的基础上，把对象用于新的情境。运用：综合使用已掌握的对象，选择或创造适当的方法解决问题。经历：在特定的数学活动中，获得一些感性认识。体验：参与特定的数学活动，主动认识或验证对象的特征，获得一些经验。探索：独立或与他人合作参与特定的数学活动，理解或提出问题，寻求解决问题的思路，发现对象的特征及其与相关对象的区别和联系，获得一定的理性认识。,在标准中，使用了一些词，表述与上述动词同等水平的要求程度：（1）了解，同类词：知道，初步认识；（2）理解，同类词：认识，会；（3）掌握，同类词：能。（4）运用，同类词：证明。（5）经历，同类词：感受、尝试。（6）体验，同类词：体会。,对四个学习领域名称的修改： 总称呼改为课程内容的四个部分,原课标：数与代数 空间与图形 统计与概率 实践与综合应用修改后：数与代数 图形与几何 统计与概率 综合与实践,关于10个核心概念的分析 原课标也称为“关键词”,原课标：数感 符号感 空间观念 （6个） 统计观念 应用意识 推理能力修改后：数感 符号意识 运算能力 （10个） 模型思想 空间观念 几何直观 推理能力 数据分析观念 应用意识 创新意识,核心概念有何意义？,首先，标准将这些核心概念放在课程内容设计栏目下提出，是想表明，这些概念不是设计者超乎于数学课程内容之上外加的，而是实实在在蕴涵于具体的课程内容之中的。从这一意义上看，核心概念往往是一类课程内容的核心或主线，它有利于我们体会内容的本质，把握课程内容的线索，抓住教学中的关键。,第二，这些核心概念都是数学课程的目标点，也应该成为数学课堂教学的目标，仅以“数学思考”和“问题解决”部分的目标设定来看，标准就提出了：“建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力”；“发展数据分析观念，感受随机现象”；“发展合情推理和演绎推理能力”；“增强应用意识，提高实践能力”；“体验解决问题方法的多样性，发展创新意识”。这些目标表述几乎涵盖了所有的核心概念。,第三，深入一步讲，很多核心概念都体现着数学的基本思想 。数学基本思想集中反映为数学抽象、数学推理和数学模型思想。比如，与“数与代数”部分内容直接关联的数感、符号意识、运算能力、推理能力和模型思想等核心概念就不同程度的直接体现了抽象、推理和模型的基本思想要求。这启示我们，核心概念的教学要更关注其数学思想本质。,第四，从这10个名词的指称来看，它们体现的都是学习主体学生的特征，涉及的是学生在数学学习中应该建立和培养的关于数学的感悟、观念、意识、思想、能力等，因此，可以认为，它们是学生在义务教育阶段数学课程中最应培养的数学素养，是促进学生发展的重要方面。所以，把握好这些核心概念无论对于教师教学和学生学习都是极为重要的。,核心概念之一：数感,关于数感（Number Sense ），在原标准中未作内涵解释，只从外延上指出它所包括的内容。经过这么多年的课改实践，研究者对数感在理论上有了一些探讨，第一线教师在课堂教学实践中也对培养学生的数感做了许多有益的尝试。此次修订，认真听取了各方意见，吸纳了前期实验研究的一些成果，重新对数感的内涵及功能作了表述。,修订后标准关于数感的提法,标准的提法是：“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。”,将数感表述为“感悟”,原来，对数感内涵的认识较多强调其直觉、感知、潜意识、经验等方面，在教学中常常感到“虚” ，找不到教学支点。 将数感表述为“感悟”不仅使这一概念有了较为明晰的界定，也使得这一概念有了更实在的意义，有利于一线教师的理解和把握。它揭示了这一概念的两重属性：既有“感”，如感知，又有“悟”，如悟性、领悟。感悟是既通过肢体又通过大脑，因此，既有感知的成分又有思维的成分,标准将这种对数的感悟归纳为三个方面：数与数量、数量关系、运算结果估计，这主要是基于义务教育阶段数学课程内容的范围并根据学生的实际所作出的要求，这有利于教师在教学中更好地把握数感培养的几条主线。,应结合每一学段的具体教学内容， 逐步提升和发展学生的数感。,在第三学段，随着对数的认识领域的扩大以及数的认识经验的积累，可以引导学生在较复杂的数量关系和运算问题中提升数感，发展更为良好的数感品质。,紧密结合现实生活 情境和实例，培养学生的数感,现实生活情境和实例，与学生的实际生活经验密切相连，不仅能够为学生提供真实自然的数的感悟环境，也能让学生在数的认知上经历由具体到抽象的过程，逐步发展学生关于数的思维。反之，学生数感的提升也使得他们能用数字的眼光看周围世界，正如标准所说：“建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。”,让学生多经历有关数的 活动过程，逐步积累数感经验,在具体的数学活动中，学生能动脑、动手、动口，多种感官协调活动，加之能相互交流，这对强化感知和思维，积累数感经验非常有益比如有关数学的社会调查活动、及一些综合实践活动,比如：交通流量的调查统计 比如，还可组织学生针对一周出版的某种报纸讨论中间出现了哪些与数、数量、运算有关的数学问题，分别表述这些问题中关于数的意义作用，如何用数来解决这些具体问题等等。这样的数学活动有利于学生在相互交流中从多角度去感悟数，丰富自己的数感经验。,核心概念之二：符号意识,（1）何为符号意识？所谓符号就是针对具体事物对象而抽象概括出来的一种简略的记号或代号。数字、字母、图形、关系式等等构成了数学的符号系统符号意识（Symbol sense）是学习者在感知、认识、运用数学符号方面所作出的一种主动性反应，它也是一种积极的心理倾向。,符号感（Symbol Sense） 为何改为符号意识？,英文单词一样，但改动后中文意义有所不同符号感主要的不是潜意识、直觉符号感最重要的内涵是运用符号进行数学思考和表达，进行数学活动，这是一个“意识”问题，而不是“感”的问题,（2）符号意识的含义,标准对符号意识的表述有这样几层意思值得我们体会：其一，能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律。即对数学符号不仅要“懂”，还要会“用”,符号“操作”,其二，知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。这一要求的核心是基于运算和推理的符号“操作”意识。这涉及到的类型较多，如对具体问题的符号表示、变量替换、关系转换、等价推演、模型抽象及模型解决等等,符号表达与符号思考,其三，使学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。这又引出了两个除符号理解和操作之外的要求，即符号的表达与思考。概括起来，符号意识的要求就具体体现于：符号理解、符号操作、符号表达、符号思考四个维度。,例：在下列横线上填上合适的数字，字母或图形，并说明理由。 1,1,2；1,1,2； ， ， ； A,A,B；A,A,B； ， ， ； ， ， ；， ； ， ， ；通过观察规律，使一学段学生能够感悟到：对于有规律的事物，无论是用数字还是字母或图形都可以反映相同的规律，只是表达形式不同而已。,符号表达的多样性,发展符号意识最重要的是运用符号进行数学思考，我们不妨把这种思考称为“符号思考”,例：“房间里有4条腿的椅子和三条腿的凳子共16个，如果椅子腿数和凳子腿数加起来共有60个，那么有几个椅子和几个凳子？” 如果学生没有经过专门的“鸡兔同笼”解题模式的思维训练，他完全可以使用恰当的符号进行数学思考，找到解题思路。如可以用表格分析椅子数的变化引起凳子数和腿总数的变化规律，直接得到答案；也可采用一元一次方程或二元一次方程组的、关于字母的思考方式来加以解决。,核心概念之三：空间观念（1）空间观念的含义,空间观念是指对物体及其几何图形的形状、大小、位置关系及其变化建立起来的一种感知和认识，空间想象是建立空间观念的重要途径空间观念也是创新精神所需的基本要素，没有空间观念和空间想象力，几乎很难谈发明与创造,（2） 标准中空间 观念所提出的要求,标准从四个方面提出了要求：根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。,核心概念之四：几何直观 此次新增的核心概念,（1）对几何直观的认识顾名思义，几何直观所指有两点：一是几何，在这里几何是指图形；一是直观，这里的直观不仅仅是指直接看到的东西（直接看到的是一个层次），更重要的是依托现在看到的东西、以前看到的东西进行思考、想象，综合起来几何直观就是依托、利用图形进行数学的思考、想象。它在本质上是一种通过图形所展开的想象能力。,希尔伯特（Hilbert）在其名著直观几何一书中指出，图形可以帮助我们发现、描述研究的问题；可以帮助我们寻求解决问题的思路；可以帮助我们理解和记忆得到的结果。几何直观在研究、学习数学中的价值由此可见一般。,（2）标准中几何直观的含义,标准指出：“几何直观是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”,它表明：今后数学课程中有两件事需要刻意去做，即针对较抽象的数学对象的“图形表示”和“图形分析”。,前者指教学中要培养学生通过画图来表达数学问题的习惯，能画图时尽量画；后者指引导学生借助图形将相对抽象的、复杂的数学关系直观、清晰地展示出来，通过对图形的分析思考进而寻求解决问题的思路。,（3）几何直观的培养 使学生养成画图习惯,鼓励用图形表达问题可以通过多种途径和方式使学生真正体会到画图对理解概念、寻求解题思路上带来的便利。在教学中应有这样的导向：能画图时尽量画，其实质是将相对抽象的思考对象“图形化”，尽量把问题、计算、证明等数学的过程变得直观,重视变换让图形动起来,几何变换或图形的运动既是学习的对象，也是认识数学的思想和方法。在数学中，我们接触的最基本的图形都是对称图形，例如圆、正多边形、长方体、长方形、菱形、平行四边形等；另一方面，在学习非对称图形时，又往往是运用这些对称图形为工具的。变换又可以看作运动，让图形动起来是指再认识这些图形时，在头脑中让图形运动起来，例如，平行四边形是一个中心对称图形，可以把它看作一个刚体，通过围绕中心（两条对角线的交点）旋转180度，去认识、理解、记忆平行四边形的其他性质。充分地利用变换去认识、理解几何图形是建立几何直观的好办法。,注意寻求一些数学对象的几何意义,学会从“数”与“形”两个角度认识数学,数形结合首先是对知识、技能的贯通式认识和理解。以后逐渐发展成一种对数与形之间的化归与转化的意识，这种对数学的认识和运用的能力，应该是形成正确的数学态度所必需要求的。,数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。,华罗庚：,例如，若每两人握一次手，则3个人共握几次手，4个人共握几次手， n个人共握几次手？ 用归纳的方法探索规律，如下表:,人数 握手次数 规律 2 1 1 3 3 1+2 4 6 1+2+3 n 1+2+3+(n-1),A1,A2,A3,AN,对于七、八年级的学生来说，要发现“1+2+3+(n-1)”这个规律并不容易，计算1+2+3+(n-1)得到 1/2 n（n -1） 也有困难。但是，如果把“人”抽象成“点”，“两人握1次手”抽象成“两点之间连接一条线段”，那么借助图形的直观就能简明地解决问题。如图，对于n点中的任何一个点，它与其它的（n-1）个点共可连接（n -1）条线段，因而n个点共可连接n（n -1）条线段。因为两点之间有且只有一条线段（线段AB与线段BA是同一条线段），所以共可连接 1/2 n（n -1）条线段。,即使是很抽象的数学也可以通过图形直观变得简单,如：,对3长的线段三等分，取一份；对取出的1长线段三等分，取一份；对取出的长线段三等分，取一份；如此类推，中间取出的线段越来越小，无限接近于0,当中间的线段趋向于0时，两边的线段之和都趋向于,这个例子的特点：,特点：能同时演示两个无穷过程，其一是通项趋向于0：其二是部分和趋向于特点：将无穷的过程始终置于我们视野之内的有限图形之中，看得清楚，听得明白，直观、浅显。,用“图形法” 解决问题,掌握、运用一些基本图形解决问题 把让学生掌握一些重要的图形作为教学任务，贯穿在义务教育阶段数学教学、学习的始终。例如，除了前面指出的图形，还有数轴，方格纸， 直角坐标系等等。在教学中要有意识地强化对基本图形的运用，不断地运用这些基本图形去发现、描述问题，理解、记忆结果，这应该成为教学中关注的目标。,核心概念之五：数据分析观念 由统计观念改为数据分析观念,原课标中的“统计观念”，强调的是从统计的角度思考问题，认识统计对决策的作用，能对数据处理的结果进行合理的质疑等要求。此次将其改为“数据分析观念”，就是希望改变过去这一概念含义较“泛”，体现统计与概率的本质意义不够鲜明的弱点，而将该部分内容聚焦于“数据分析”。,（1）数据分析观念的含义 数据分析观念是学生在有关数据的活动过程中建立起来的对数据的某种“领悟”、由数据去作出推测的意识、以及对于其独特的思维方法和应用价值的体会和认识。,一是过程性（或活动性）要求：让学生经历调查研究，收集、处理数据的过程，通过数据分析作出判断，并体会数据中蕴涵着信息二是方法性要求：了解对于同样的数据可以有多种分析方法，需要根据问题背景选择合适的数据分析方法三是体验性要求：通过数据分析体验随机性,（2）数据分析观念的要求：,例. 利用树叶的特征对树木分类,（1）收集三种不同树的树叶，每种树叶的数量相同，比如每种树选10片树叶。 （2）分类测量每种树叶子的长和宽，列表记录所得到的数据。 （3）分别计算出树叶子的长宽比，估计每种树树叶的长宽比。 （4）验证估计的结果。 说明 我们可以抓住树的某些特征对树进行分类，本例是利用树叶的数据特征来对树进行分类。,这一学习活动有利于培养学生的数据分析意识，体会有许多事情，通过数据分析可以抓住本质。知道数据不仅仅是别人提供的，还可以自己收集；对于同一种树，叶子长与宽的比也可能是不一样的，进一步感受数据的随机性；体会只要有足够的数据，就能够分析出一些规律性的结论。,教学中可以作如下设计：（1）建议采用小组活动的形式，学生通过合作交流可以获得较多的数据和信息。（2）为了使分析的结果更加明显，最好选择树叶区别较大的三种（或者更多）树、而每种树选择的树叶的大小要接近，即区别要小一些。（3）“估计每种树树叶的长宽比”的方法可以是多样的，比如，对于每种树的10片树叶都测量了长和宽以后，可以用10个比值的众数，也可以用10个比值的中位数；还可以把长和宽各自相加后，取和的比值，这是10个比值的平均数（教师可以思考：为什么不用通常求平均数的方法计算比值的平均数）。针对这个问题，用平均数是比较合适的。,（4）取一片新的树叶，通过这片树叶的长宽之比、参照（3）的估计结果，来判断这片树叶属于哪种树。学生会发现，即使是同一棵树，叶子长与宽的比值恰好等于估计值的可能性也很小，这表现了数据的随机性。可以进一步启发学生考虑一个合理的方案：只要比值大概等于估计值，就可以认为是同一种树，也就是说，需要构造一个以估计值为中心的数值区间，当新取的树叶的长宽比值属于这个区间时就认为属于这个树种。如何合理地构造这个数值区间是重要的，区间太短则可能拒绝同类树种，区间太长则判断的精度就要差些。（可让学生探索）这个问题可以举一反三。,核心概念之六：运算能力 此次增加的核心概念,运算是数学的重要内容，在义务教育阶段的数学课程的各个学段中，运算都占有很大的比重。学生在学习数学的过程中，要花费较多的时间和精力，学习和掌握关于各种运算的知识及技能，并发展运算能力。,（1）标准对运算能力的要求,标准指出：运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。,（2）对运算能力的认识,运算的正确、有据、合理、简洁是运算能力的主要特征。运算能力并非一种单一的、孤立的数学能力，而是运算技能与逻辑思维等的有机整合。在实施运算分析和解决问题的过程中，要力求做到善于分析运算条件，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，使运算符合算理，合理简洁。换言之，运算能力不仅是一种数学的操作能力，更是一种数学的思维能力。,核心概念之七：推理能力,此次标准提出的推理能力与过去相比，有这样一些特点：一是进一步指明了推理在数学学习中的重要意义。标准指出：“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式”。它对教学的启示是，不仅要引导学生认识到推理是数学的重要基础之一，它与人们的生活息息相关，更重要的是要逐步培养学生运用推理进行思维的方式。,突出了合情推理与演绎推理,二是基于数学推理的特点，突出了合情推理与演绎推理这条主线。指出在数学思维和问题解决的过程中，两种推理功能不同，相辅相成合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。,引导学生多经历“猜想证明”的问题探索过程,三是强调推理能力的培养“应贯穿于整个数学学习过程中”。,其一，它应贯穿于整个数学课程的各个学习内容，其二，它应贯穿于数学课堂教学的各种活动过程其三，它应贯穿于整个数学学习的环节也应贯穿于三个学段，合理安排，循序渐进，协调发展,通过多样化的活动，培养学生的推理能力,反思传统教学，对学生推理能力的培养往往被认为就是加强逻辑证明的训练，主要的形式就是通过习题演练以掌握更多的证明技巧。显然，这样的认识是带有局限性的。,标准强调通过多样化的活动来培养学生的推理能力。如标准提出：“在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力， ”（总目标），“体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多样化形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力”（三学段）,使学生多经历 “猜想证明”的问题探索过程,在“猜想证明”的问题探索过程中，学生能亲身经历用合情推理发现结论、用演绎推理证明结论的完整推理过程，在过程中感悟数学基本思想，积累数学活动经验，这对于学生数学素养的提升极为有利。教师要善于对素材进行此类加工，引导学生多经历这样的活动。,核心概念之八：模型思想,在义务教育阶段提出模型思想主要有如下理由： 第一，模型思想是一种基本的数学思想； 第二，模型思想及相应的建模活动与很多课程 目标点密切相关（如数感、符号意识、 几何直观、发现、提出问题能力、数学 的联系、数学应用意识、改善数学学习 方式等等），提出模型思想能很好地支 撑这些课程目标的实现；,第三，模型思想本身就渗透于各课程内容领域之中，突出模型思想有利于更好理解、掌握所学内容；第四，培养学生的模型思想对义务教育阶段学生来说是可行的。此外还要看到，数学建模已是高中数学课程的学习内容，提出模型思想亦能更好与高中课程衔接。,对数学建模的认识,所谓数学模型，就是根据特定的研究目的和问题，采用形式化的数学语言，去抽象地，概括地表征所研究对象的主要特征、关系所形成的 一种数学结构。在义务教育阶段数学中，用字母、数字及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程、函数、不等式，及各种图表、图形等都是数学模型。,数学建模就是通过建立模型的方法来求得问题解决的数学活动过程。这一过程的步骤可用如下框图来体现：,这些步骤反映的是一个相对严格的数学建模过程，义务教育阶段特别是小学的数学建模视具体课程内容要求，不一定完全经历所有的环节，这里有一个逐步提高的过程。,标准中模型思想的含义及要求,模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。,使学生体会和理解数学与外部世界的联系是这一核心概念的本质要求,标准从义务教育数学课程的实际情况出发，将这一过程进一步简化为这样三个环节：,首先是“从现实生活或具体情境中抽象数学问题”。这说明发现和提出问题是数学建模的起点。然后“用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律”。在这一步中，学生要通过观察、分析、抽象、概括、选择、判断等等数学活动，完成模式抽象，得到模型。这是建模最重要的一个环节。最后，通过模型去求出结果，并用此结果去解释、讨论它在现实问题中的意义。,模型思想的培养,在三学段，主要是结合相关概念学习，引导学生运用函数、不等式、方程、方程组、几何图形、统计表格等分析表达现实问题，解决现实问题。模型思想的渗透是多方位的。模型思想的感悟应该蕴含于日常教学之中，,使学生经历“问题情境建立模型求解验证”的数学活动过程,“问题情境建立模型求解验证”的数学活动过程体现了标准中模型思想的基本要求，也有利于学生在过程中理解、掌握有关知识、技能，积累数学活动经验，感悟模型思想的本质。这一过程更有利于学生去发现、提出、分析、解决问题，培养创新意识。,情境与模型,应杜绝重形式不求实质的数学情境设计,关于因式分解,情境与模型一致吗？,情境与情景,这两者似乎有一定区别：,从内涵看,情境与情景,前者宏观,后者微观;前者包容量较大,内涵更丰富,常常处于动态,具有过程性,而后者是问题的一个背景素材就来源看,后者一般是数学问题的现实生活素材,而前者除了可以来自现实生活外,也可以来源于数学自身和探究中引发的新的情境,即数学情境并不局限于现实生活素材一个好的数学情境,应该是有鲜明的目标指向,能融数学教与学为一体,具有数学教学活动的内驱力,并使数学课堂具有自我生长性的立体的环境,同一模型的多重情境与 同一情境的多种模型,前者不仅反映出数学问题的来源和应用环境是多样的,在教学中运用得当,还有利于学生的知识迁移和融会贯通,培养学生发散性思维;后者则有利于以情境作载体,通过模型形成系列性的问题探讨，有利于培养学生层层深入的探索精神。我们对这两种途径都还缺乏必要的理论和实践研究。,同一模型的多重情境,看图说故事,5,11,15,2,由模型想情境,说明 通过这个活动，激发学生自己思考并构造出满 足模型的实际情境，以加深对函数模型的理解。,学生可以设计多种情境，比如，把这个图看成“小王跑步的s-t图”，可以说出下面的故事：小王以常速度400米/分，跑了5分钟，在原地休息了6分钟，然后以常速度500米/分，跑回出发地。再比如：有一个容积为2升的开口空瓶子，小王以常速度0.4升/秒，向这个瓶子注水，灌了5秒后停水，等6秒后，然后以常速度0.5升/秒，倒空瓶中水。老师可以鼓励学生，创设不同的符合函数关系和实际情况的情境。,若表示“某人从家出发任一时刻到家的距离（s）与时间（t）之间的关系”，也可以说出多种情境故事：,一般可以描述为；在OP上匀速直线运动；在PQ上静止；在QR上匀速直线运动。其实对 PQ还可有多种描述：静止或圆周运动，可以前进也可以后退，有静有动，有进有退 。,由模型想情境,在同一情境中的多种模型,例 “糖水加糖（m）变甜了”（糖水未饱和） 请以这一生活常识为背景提炼数学 模型，然后给出严格的数学证明。,可得到1：若 ，则 .,将3小杯浓度相同的糖水混合成一大杯后一样甜，浓度还相同由这一情境可得2：等比定理：,将几杯浓度不尽相同的糖水混合成一大杯后，大杯糖水的浓度一定比淡的浓而又比浓的淡，于是有3：“中间不等式”：,对 ， ，有,取浓度不等的两杯糖水，它们有一个平均浓度，合 在一起后又有一个浓度，这两个浓度哪个大呢？ 4：这时需比较 与 的大小， 而这两者的关系是不确定的,核心概念之九：应用意识,应用意识有两个方面的含义：一方面有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题 数学知识现实化,另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。 现实问题数学化,核心概念之十：创新意识,创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终。,从基础、核心、方法三个方面指明了创新意识的要素。这为我们培养学生创新意识提出了几个基本的切入点和路径，使创新意识的培养落在了比较实在的载体上，即围绕这三个要素，教师应紧紧抓住“数学问题”、“学会思考”、“猜想、验证”这几个点，做足教学中的“文章”，创新意识培养的目标就有可能得到落实。,3.关于课程目标的修改,在目标的结构上仍按：,总体目标,总体表述,知识技能,数学思考,问题解决,情感态度,学段目标,第一学段,第二学段,第三学段,（1）目标上有哪些变化？,在总体目标中突出了“培养学生创新精神和实践能力”的改革方向和目标价值取向。,变化之一：明确提出四基，即“基础知识、基本技能、基本活动经验、基本思想”变化之二：明确提出“发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力”（四能）变化之三：加强数学联系，提出“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系”变化之四：对于情感态度的培养，进一步明确“了解数学的价值,提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯”变化之五：针对学科精神的培养，明确提出“具有初步的创新意识和科学态度”,数学课程总目标有那些新变化？,数学课程目标的变化分析,变化之一：从“双基”到“四基”注重学生 “双基”的学习， 促进学生的发展历来是我国数学教育目标的重要组成部分。经过长期的教育实践和探索，数学“双基”教学已成为我国数学教育极富自我特点的教学形式。而中国学生基础扎实也成为国际数学教育界所公认的事实。此次课程改革继承了这一传统，促进学生数学“双基”的发展成为三维目标中的重要要求。,为什么要从“双基”到“四基”？,在此次课标修定中，人们在认真总结课改经验之后也对数学“双基”进行了反思：第一，从发展来看，对数学“双基”的理解、认识亦需与时俱进。比如，一些传统的内容需要删减（如繁杂的计算、证明技巧的演练、脱离实际的陈旧的习题等）,一些体现时代要求的内容需要增加（如算法、统计、概率、数学综合与实践问题等）。此外，在实践中以应对考试为目的的“双基”过度训练也导致一些数学课堂教学价值的失衡。,数学课程应给学生以更多 数学思想、精神的浸润,第二，从数学自身来看，“双基”更多的是对数学原理、定理、概念、公式等结论性知识的反映，学习它们固然重要，但其背后更为深层次的东西是什么呢？数学的本质不在于它的结论，而在于它的思想。数学课程不应仅仅满足于教给学生一些结论，而应该能给学生以更多数学思想、精神的浸润。,数学课程应给学生以更多 数学思想、精神的浸润,第二，从数学自身来看，“双基”更多的是对数学原理、定理、概念、公式等结论性知识的反映，学习它们固然重要，但其背后更为深层次的东西是什么呢？数学的本质不在于它的结论，而在于它的思想。数学课程不应仅仅满足于教给学生一些结论，而应该能给学生以更多数学思想、精神的浸润。,数学课程应给学生以更多 数学思想、精神的浸润,第二，从数学自身来看，“双基”更多的是对数学原理、定理、概念、公式等结论性知识的反映，学习它们固然重要，但其背后更为深层次的东西是什么呢？数学的本质不在于它的结论，而在于它的思想。数学课程不应仅仅满足于教给学生一些结论，而应该能给学生以更多数学思想、精神的浸润。,如何能从课程目标上支撑 创新精神和实践能力的培养呢？,第三，从时代要求来看，创新精神和实践能力的培养是数学课程必须加强的目标要求，而这一要求的落实仅靠“双基”是难以支撑的。事实上，学生创新精神的培养除了要掌握必要的数学知识和技能外，还要学会数学的思考，并在多样化的数学活动中积累经验。数学课程目标应该在这些“点”上更鲜明地反映对创新人才培养的要求。,知识 经验 思想 素养 智慧,第四，发展学生的数学素养，形成数学智慧，并非单纯地通过接受数学事实来实现,它更多地需要通过对数学思想方法的领悟,对数学活动经验的条理化以及对数学知识的自我组织等活动来实现。因此，我们应该在课程中提供一个用以支撑它的更为科学的结构框架，,何为数学基本思想？,德国诺贝尔奖获得者、 物理学家冯.劳厄： “教育无非是一切已学过的东 西都忘掉时所剩下的东西”,数学课堂教学应该是有思想的教学！有了思想才有了课堂的生命,什么是数学学习中最本质的东西？,波利亚（美）一贯强调把“有益的思考方式，应有的思维习惯”放在教学的首位。闵山国藏（日本）指出，学生在毕业之后不久，数学知识就很快忘掉了，“然而，不管他们从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、思维方法、推理方法和着眼点（如果培养了这种素质的话），在随时发生作用，使他们受益终身。”,可以讨论的观点：,“数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型，通过抽象，在现实生活中得到数学的概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界的联系”（史宁中，数学思想概论第一辑，东北师范大学出版社，2008.6，第一页）。从数学产生、数学内部发展、数学外部关联三个维度上概括了对数学发展影响最大的三个重要思想。,何为数学基本思想？,数学基本思想是指对数学及其对象、数学概念和数学结构以及数学方法的本质性认识数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中；它制约着学科发展的主线和逻辑架构；是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。如归纳、演绎、抽象、转化、分类、模型、结构、数形结合、随机等。,数学思想的层次性、多样性,以三个重要数学思想为例，下一层次的数学思想，还有很多。例如由“数学抽象的思想”派生出来的：分类的思想，集合的思想，数形结合的思想，“变中有不变”的思想，符号表示的思想，对称的思想，对应的思想，有限与无限的思想，等等。,例如由“数学推理的思想”派生出来的：归纳的思想，演绎的思想，公理化思想，转换化归的思想，联想类比的思想，逐步逼近的思想，代换的思想，特殊与一般的思想，等等。例如由“数学建模的思想”派生出来的：简化的思想，量化的思想，函数的思想，方程的思想，优化的思想，随机的思想，抽样统计的思想，等等。,如何理解？,三个常用的概念： 数学思想 数学方法 数学思想方法,数学基本思想和数学方法,数学基本思想和数学方法既有区别也有密切的联系。如前所述，数学基本思想表现相对宏观，体现的是对数学对象的一种本质性认识；而数学方法常常是受数学思想制约的，表现相对具体，并具有程序性、步骤性、路径性和可操作性。例如归纳，从一般意义上讲，它表现为从特殊到一般的推理的思想，但若具体使用于一个关于自然数命题结论的获得时，它就是所谓的归纳法了。,注意教材中蕴含的数学基本思想,在课程内容和教材中，数学基本思想其实是很丰富的，这些思想常常处于潜形态，教师要成为有心人,如何使数学思想从潜形态转变为显形态呢？分类化归归纳,抽象思想模型思想,类比思想 化归思想 推理思想,经验与思想？,R.柯朗 H.罗宾： “只有靠了数学自身的经验，才能把握数学思想是什么？”,什么是数学活动经验? 黄翔获得数学活动经验应成为 数学课堂教学关注的目标 课程.教材.教法2008.1期,数学活动经验的基本特征：数学活动经验是基于学习主体的，它带有明显的主体性特征，因此也就具有学习者的个性特征，它属于特定的学习