干理论及其应用毕业论文

I摘 要大关 键 字正态分布;概率密度函数;标准差;误差II目 录引言: .11正态分布概念.12.正态曲线的特性.23.参数 和 的意义 .34.标准正态分布及正态分布表.44.1.标准正态分布 .44.2.标准正态分布的分布函数和正态分布表.44.3.正态分布表的几种形式.55.正态随机变量落在区间(x 1,x2)内的概率计算 .75.1.当值机变量 N(0,1)时的概率计算 .85.2.当随机变量 N( ,) 时的概率计算 .95.2.1.服从一般正态分布的随机变量 N(, )的分布函数 .95.2.2.概率计算 .106正态分布在几个领域内的应用实例.126.1已知 , 求某条件下的概率 8.126.2已知某条件下的概率,求参数和 ?.146.3已知 , 和区问(a,b)内的变量数,求总变量数 .156.4已知,及各范围内的概率,求某范围的上、下限 .166.5. 用标堆差确定所需测量次教 .17参考文献.19致谢.201正态分布的若干理论及其应用数学系2004级1班 王文瑞 数学与应用数学 04104141指导老师 李海增引言:正态分布是一种最常见的连续型随机变量的分布,它在概率论和数理统计中无论在理论研究还是实际应用上都占有头等重要的地位,这是因为它在误差理论、无线电噪声理论、自动控制、产品检验、质量控制、质量管理等领域都有广泛应用,数理统计中许多重要问题的解决都是以正态分布为基础的.正态分布也具有许多良好的性质,因此在理论研究中正态分布十分重要.1正态分布概念设连续型随机变量 的密度函数(也叫分布密度,概率密度,概率密度函数)为:(1.1)21xex()x(其中 是常数,且 , 为正态总体的平均值, 为正态总体的标准差, 为正、 0x态总体中随机抽取得的样本值).则称随机变量 服从参数为 的正态分布,记作、,式(1.1)是德国著名数学2N家高斯在找误差分布时于1795年推导发现的,因此正态分布又称高斯分布、误差分布或常态分布.正态分布密度函数 的图形如图1所示,这条曲线x称“正态分布密度函数曲线” 或“正态分布曲线”,简称 “正态曲线”,由于它的形状象只钟,又称“ 钟形曲线 ”,为纪念高20100-10-200.070.060.050.040.030.020.010.00 X密度图 1 正 态 密 度 曲 线 分 布 图2斯又称“高斯曲线 ”1.2.正态曲线的特性对式(1.1)进行数学处理 ,可得正态曲线特性.对式(1.1)求导 ,有(2.1)(21)(2)(3xex令 ,则有 ,即当 时, 有极大值0xx()max1()2对式(2.1)求导有 :(2.2)2251xexx令 ,则有 ,即曲线在: 处有两个拐点.0x2x将正态曲线的特性列入表1.表1 正态曲线特性x(,)(,)(,)(,)0 - - -x0 - - - 0 e21 21 e21曲线 凹 拐点 凸 极大值 凸 拐点 凹由表1和图1可知正态曲线有以下特性:1) 曲线以 为对称轴 ,且在 时取得极大值 ,曲线由 起向xxmax1()2左右延伸时,不断降低,呈现中间高,两头低的钟的形状.2) 曲线在对称轴两侧 处有两个拐点.x33) 的取值范围为整个 轴, 离 越远, 越小,当 时,曲线以 轴为渐xxxx进线.4) 曲线总在 轴上方,它于 轴所围面积等于l,对称轴两边曲线下的面积相等各为0.5.机械加工得到的尺寸是服从正态分布的,如在机床上加工100件中 的轴,m03.1则这100件轴的尺寸有以下统计规律.1) 100个尺寸中,在10附近的占的数量最多、这是正态分布的单峰性.2) 在这100个尺寸中,约有50个左右大于10,有50个左右小于10,这是正态分布的对称性.3) 在这100个尺寸中,大于10.03 的个数和小于9.97 个数都很少,这是正态分布mm的有界性.4) 这100个尺寸与标准尺寸10的差的平均值趋与零,这是正态分布的抵偿性.上述四条规律,零件数量越多就越准确 2.3.参数 和 的意义和 是正态分布的两个参数,当 和 确定后,正态曲线就完全确定了. 和 不同,正态曲线的位置和形状则不同. 是位置参数,它的大小决定曲线在 轴上的位置,x是形状参数,它的大小决定曲线的高矮胖瘦.若 不变只让 变,则曲线形状不变,仅在 轴上平行移动如图2所示;若 不变只让 变,则曲线在 轴上的位置不变,仅形状发生x x变化, 越小则曲线越显的高瘦陡峭; 越大则曲线越显得矮胖平缓,如图3所示:从几何角度看, 是正态曲线极大值的横坐标、 是曲线拐点的横坐标到 之间的距离,或者说 是凸、凹曲线连接点的横坐标;从物理角度看, 是正态曲线与 轴之间的平面图 x4形重心的横坐标.在数理统计中, 是正态分布的数学期望或叫均值, 是标准偏差.在计量学中, 是被测量的真值, 是表征测量值分散特性的一个度量指标 . 越大,观测值落在 附近的概率越小,即观测值分散,测量精度低; 越小,观测值落在 附近的概率越大,即观测值集中,测量精度高.总之, 表明了观测值的集中趋势, 反映了观测值的分散程度.显然我们希望 越小越好 3.4.标准正态分布及正态分布表4.1.标准正态分布称 的正态分布为标准正态分布,将 代入(1.1)式有:10 1,0(4.1.1)2xexx式(4.1.1)为标准正态分布的密度函数,服从标准正态分布的随机变量 1.2,N4.2.标准正态分布的分布函数和正态分布表概率论告诉我们,随机变量的分布函数 等于密度函数 在无穷区间 Fxx,上的广义积分,于是标准正态分布的分布函数(也叫概率分布函数)为:(4.2.1)dtedtxPxFx21通常用 表示标准正态分布的分布函数 ,即:x(4.2.2)dtedtxx x21取不同的 的值,由式(4.2.2)可得不同的 的数值,这就得到“标准正态分布函数数值x表”简称“标准正态分布表 ”或“正态分布表”.有些文献也叫“正态概率曲线下的面积” 、“概率积分函数表 ”、“正态分布积分值”、“误差函数表”、“ 正态曲线下的面积函数表”、“拉普拉斯函数 的值”等不同的名称.dtexx215式(4.2.2)的几何意义是在区间 内正态曲线与 轴之间所围曲边梯形的面积,如,xx图(4) 所示,这也是将“正态分布表 ”称作 “正态概率曲线下的面积”的道理.由于密度函数 可以在整个 轴上取值,由密度函数性质得 : xx 122dte即正态曲线性质4:曲线与 轴所围面积为l 4.4.3.正态分布表的几种形式式(4.2.2)通常称概率积分由于积分的上下限不同,可得到以下几种不同形式的正态分布表.(4.3.1)dtexx21x( ) (4.3.2)tuu02 0u(4.3.3)dtezz21(4.3.4)tttx22(4.3.5)dtekktx020k(4.3.6) tk020106均有现成表可查.02txuzk、 、 、 、 和一种文献只附有一种形式的正态分布表.这六种不同形式的正态分布表,形式虽异,但实质相同,对同一问题,无论用那种形式的表都会得到同一结果.这六种表中,其较为常见而 则出现较少 5.xuzk、 、 、 2t0k和式(4.3.2)的几何意义如图 5所示,式(4.3.3) 式(4.3.4)和式(4.3.5) 的几何意义如图6,式(4.3.6)的几何意义如图 7.只有弄清了这六种表的含义,工作中无论碰到哪种形式的表,都可以运用自如.对式(4.3.1)、式 (4.3.2)所定义的这两种形式的正态分布表,由正态曲线的对称性和曲线与横轴所围面积为l可知:当 ,则有 ,即:0x5.0x 5.02102dte当 则有 ,即:,u5.0u5.02102dte当 且均为正值时有:ux.ux当 为 的相反数时有: 5.0当 时,有:kzxkzu27令 ,由各相应正态分布表查得:10ktzux, , ,843.x341.0u682.0z, , ,62.07.21 682.k157.0k可以看出: ,5.10ku这从图5、图7及曲线性质4(对称轴两边面积各为0.5)容易得出.由正态曲线的对称性和曲线与 轴所围面积为1还可以得到以下关系式:x(4.3.7) xP1(4.3.8)x式(4.3.7)式(4.3.8)的几何意义如图 8,如图9所示 其实由 的几何意义可直接得出式x(4.3.7)和式(4.3.8) 4.5.正态随机变量落在区间(x 1,x2)内的概率计算概率统计指出,连续随机变量 落在区间 内的概率等于它的密度函数 在该21,xx区间上的定积分,即: dxPx211对 有:1,0 N(5.1)dtexx2121对 有:2, 8( )dtexPxt21221 1.5式(5.1)的几何意义如图 10所示.有了正态分布表,计算上面两个积分就十分容易了 对服从标准正态分布的随机变量,可直接查正态分布表,对服从一般正态分布的随机变量,通过变量置换也可以直接查正态分布表.5.1.当值机变量 N(0,1)时的概率计算若 ,则 落在区间 内的概率由式(5.1)和式(4.2.2)得:10N21,x(5.1.1)