高数典型例题

第一章 函数及其图形 例 1： （ ）. A. x | x3 B. x | x0，同时由分母不能为零知 lnx0，即 x1。由根式内要非负可知 即要有 x0、x1 与 同时成立，从而其定义域为 ，即应选 C。例 3：下列各组函数中，表示相同函数的是（ ）解：A 中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当 |x|1 时，两函数取得不同的值。B 中的函数是相同的。因为 对一切实数 x 都成立，故应选 B。C 中的两个函数是不同的。因为的定义域为 x-1，而 y=x 的定义域为（-，+）。D 中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（ -，0）（0，+）和（0，+）。例 4：设 解：在 令 t=cosx-1，得 又因为-1cosx1，所以有-2cosx-10，即-2t0，从而有 。 例 5：f(2)没有定义。注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。例 6：函数是（ ）。A偶函数 B有界函数 C单调函数 D周期函数解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。由函数在 x=0，1，2 点处的值分别为 0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。事实上，对任意的 x，由 ，可得 ，从而有。可见，对于任意的x，有。因此，所给函数是有界的，即应选择 B。例 7：若函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y),则 f(x)是（ ）。A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 奇偶性不确定解：因为 f(x+y)=f(x)+f(y)，故 f(0)= f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)，可知 f(0)=0。在 f(x+y)=f(x)+f(y)中令 y = -x，得 0 = f(0) = f(x-x) = f x+(-x) = f(x)+f(-x)所以有 f(-x) = - f(x)，即 f(x)为奇函数，故应选 A 。例 8：函数的反函数是（ ）。ABCD解：于是，是所给函数的反函数，即应选 C。例 9：下列函数能复合成一个函数的是（ ）。A B C D 解：在(A) 、(B)中，均有 u=g(x)0，不在 f (u)的定义域内，不能复合。在(D)中，u=g(x)=3 也不满足 f(u)的定义域 ，也不能复合。只有(C)中 的定义域内，可以复合成一个函数，故应选 C。例 10：函数 可以看成哪些简单函数复合而成：解： ，三个简单函数复合而成。第二章 极限与连续 例 1：下列数列中，收敛的数列是（ ）A.B. C. D.解：（A）中数列为 0，1，0，1，其下标为奇数的项均为 0，而下标为偶数的项均为 1，即奇偶数项分别趋于不同的常数值，从而可知该数列没有极限，是发散的。由于 ，故（B）中数列发散。由于正弦函数是一个周期为 的周期函数，当 时， 并不能无限趋近于一个确定的值，因而（C）中数列也发散。由于，故（D）中数列收敛。例 2：设，则 a=( )A.0 B.1 C.3 D.1/3解：假设 =0，则所给极限为，其分子趋于，而分母趋于有限值 3，所以极限为，不是 1/5，因而 0。当 0 时，所给极限为，故应选 C。一般地，如果有理函数，其中 、 分别为 n 的 k 次、l 次多项式，那么，当 时，当 k=l 时，f (n)的极限为 、 的最高次项的系数之比；当 kl 时，f (n)的极限为。对于当 x（或+，）时 x 的有理分式函数的极限，也有类似的结果。例 3. A. 0 B. 1 C. D. n解 利用重要极限，故应选 C。注：第一重要极限的本质是，这里的 可以想象为一个空的筐子，里面可以填入任意以零为极限的表达式（三个 填入的内容要相同）。类似地，第二重要极限可以看作是，其中 可以同时填入相同的任意趋于无穷大的表达式。例 4. 求解法 1 解法 2 解法 3 例 5. A. 0 B. 1 C. 1/2 D. 1/4解：由于,故应选 D。例 6. 解: 注意 本题属于“-”型，是个未定式，不能简单地认为它等于 0 或认为是，对于此类问题一般需要将函数进行通分，然后设法进行化简，进而求出其极限值。例 7. 当 x0 时，的（ ）。A. 同阶无穷小量 B. 高阶无穷小量 C. 低价无穷小量 D. 较低阶的无穷小量 解：由于可知是 x 的同阶无穷小量，所以应选 A。例 8. 当等价的无穷小量是( )A.B.C.D.解：由于可知的高阶无穷小量，同时等价的无穷小量，所以选D。例 9. 下列变量在给定的变化过程中是无穷大量的是( )A.B.C.D. 解：由于所以应选 A.例 10要使函数在 x=0 处连续，f(0)应该补充定义的数值是( )A.1/2 B.2 C.1 D.0解：要使函数 f(x)在 x=0 处连续，必须有 因此要令 f(0)=1.故应选 C。例 11设求 k，使 f(x)连续。解：由于函数 f(x)在（-，0）和（0，+）两区间内均由初等函数表示，而且在这两个区间内均有定义，因此在这两个区间内是连续的。函数是否连续取决于它在 x=0 处是否连续。要让 f(x)在x=0 处连续，必须由于= 又由可知 例 12证明方程 在区间（1，2）内必有一根。证：令 ，由于 f（x）是初等函数，它在区间（-，+）上连续，另外 f（1）=-10， f（x）在1，2上连续，故由零点存在定理知，存在 在区间（1,2）内必有一个根.第三章 导数和微分 例 1：