2019版高考数学一轮复习第七章立体几何第39讲空间几何体的三视图直观图表面积和体积学案word

.分享 2018第 39 讲 空间几何体的三视图、直观图、表面积和体积考纲要求 考情分析 命题趋势2017江苏卷，182016全国卷，32016四川卷，132016全国卷，62016全国卷，92016山东卷，51.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构2能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简单组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图3会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式4了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式.分值：5 分空间几何体的结构特征、三视图、直观图、表面积和体积在高考中每年都会考查，主要考查几何体的三视图及已知几何体的三视图求几何体的表面积和体积.1空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征多面体结构特征棱柱有两个面_平行_，其余各面都是四边形且每相邻两个面的交线都平行且相等棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个_公共顶点_的三角形棱台棱锥被平行于_底面_的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台.(2)旋转体的形成几何体旋转图形 旋转轴圆柱 矩形 矩形一边所在的直线圆锥 直角三角形 一直角边所在的直线.分享 2018圆台直角梯形或等腰梯形直角腰所在的直线或等腰梯形上下底中点连线球 半圆或圆 直径所在的直线2空间几何体的三视图(1)三视图的名称几何体的三视图包括：_正视图_、_侧视图_、_俯视图_.(2)三视图的画法在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成_虚线_.三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的_正前_方、_正左_方、_正上_方观察几何体的正投影图3空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用_斜二测_画法来画，其规则是：(1)原图形中 x 轴、 y 轴、 z 轴两两垂直，直观图中， x轴， y轴的夹角为_45或135_， z轴与 x轴和 y轴所在平面_垂直_.(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别_平行于坐标轴_； 平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度_不变_； 平行于 y 轴的线段在直观图中长度为_原来的一半_.4空间几何体的表面积与体积名称几何体 表面积 体积柱体(棱柱和圆柱)S 表面积 S 侧 2 S 底 V_ Sh_锥体(棱锥和圆锥)S 表面积 S 侧 S 底 V_ Sh_13台体(棱台和圆台) S 表面积 S 侧 S 上 S 下V (S 上 S 下13 )hS上 S下球 S_4 R2_ V_ R3_431思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)底面是正方形的四棱柱为正四棱柱( )(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥( )(3)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱( )(4)用斜二测画法画水平放置的 A 时，若 A 的两边分别平行于 x 轴和 y 轴，且.分享 2018 A90，则在直观图中， A45.( )(5)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同( )解析 (1)错误因为侧棱不一定与底面垂直(2)错误尽管几何体满足了一个面是多边形，其余各面都是三角形，但不能保证各三角形具有公共顶点(3)错误因为两个平行截面不能保证与底面平行(4)错误 A 应为 45或 135.(5)错误正方体的三视图由于正视的方向不同，其三视图的形状可能不同，圆锥的侧视图与俯视图显然不相同2用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( C )A圆柱 B圆锥C球体 D圆柱、圆锥、球体的组合体解析 当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面3(2017全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( B )A90 B63C42 D36解析 方法一 由题意知，该几何体由底面半径为 3，高为 10 的圆柱截去底面半径为3，高为 6 的圆柱的一半所得，故其体积 V3 210 3 2663.12方法二 依题意，该几何体由底面半径为 3，高为 10 的圆柱截去底面半径为 3，高为6 的圆柱的一半所得，其体积等价于底面半径为 3，高为 7 的圆柱的体积，所以它的体积V3 2763，选择 B4表面积为 3 的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为_2_.解析 设圆锥的母线为 l，圆锥底面半径为 r，则 rl r23， l2 r，解得r1，即直径为 2.5某几何体的三视图如图所示，其中正视图的等腰三角形腰长为 2，侧视图是半径为1 的半圆，则该几何体的表面积是_2( )_.3.分享 2018解析 由三视图可知此几何体的表面积分为两部分：底面积即俯视图的面积为 2 ；侧3面积为一个完整的圆锥的侧面积，且圆锥的母线长为 2，底面半径为 1，所以侧面积为 2.两部分加起来即为几何体的表面积，为 2( )3一 空间几何体的三视图和直观图(1)三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐” (2)解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系【例 1】 (1)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( B )A B C D(2)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( A )(3)已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为 2 的正三角形，侧视图是有一条直角边为 2 的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能是( C ).分享 2018解析 (1)由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形(2)由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为 ，所以原图形为平行四2边形，位于 y 轴上的对角线长为 2 .2(3)当正视图为等腰三角形时，则高应为 2，且应为虚线，排除 A，D 项；当正视图是直角三角形，由条件得一个直观图如图所示，中间的线是看不见的线 PA 形成的投影，应为虚线，故答案为 C二 空间几何体的表面积和体积(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用(3)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积(4)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解(5)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解【例 2】 (1)(2017北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( B )A3 B22 3.分享 2018C2 D22(2)(2016全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( B )A1836 B54185 5C90 D81解析 (1)由三视图还原为如图所示的四棱锥 A BCC1B1，从图中易得最长的棱为 AC1 2 .AC2 CC21 22 22 22 3(2)由三视图可知，该几何体是底面为正方形(边长为 3)，高为 6，侧棱长为 3 的斜5四棱柱，其表面积 S23 2233 2365418 ，故选 B5 5三 与球有关的切、接问题(1)正方体的内切球的直径为棱长，外接球的直径为正方体的体对角线长，此问题也适合长方体，或由同一顶点出发的两两互相垂直的三条棱构成的三棱柱或三棱锥(2)直棱柱外接球的球心到直棱柱底面的距离恰为棱柱高的 .求球的半径关键是找到由12球的半径构成的三角形，解三角形即可求球的半径(3)球与旋转体的组合通常作出它们的轴截面解题(4)球与多面体的组合，通常过多面体的一条侧棱和球心，或“切点” “接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题【例 3】 (1)(2017全国卷)已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( B )A B 34C D 2 4(2)(2017全国卷)如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角.分享 2018形 ABC 的中心为 O.D， E， F 为圆 O 上的点， DBC， ECA， FAB 分别是以 BC， CA， AB 为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以 BC， CA， AB 为折痕折起 DBC， ECA，FAB，使得 D， E， F 重合，得到三棱锥当 ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为_4 _.15解析 (1)设圆柱的底面半径为 r，则 r21 2 2 ，所以，圆柱的体积 V 1(12) 34 34，故选 B34(2)方法一 由题意可知，折起后所得三棱锥为正三棱锥，设 ABC 的边长为 acm，则 ABC 的面积为 a2， DBC 的高为 5 a，34 36则正三棱锥的高为 ，(5 36a)2 (36a)2 25 533a25 a0，00，即 x42 x30，得 0x2，则当 x 时， f(x) f(2)80， V (0，52) 3 4 .所求三棱锥的体积的最大值为 4 .80 15 15.分享 20181(2017全国卷)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长 2，俯视图为等腰直角三角形该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( B )A10 B12C14 D16解析 由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为 2，直三棱柱的高为 2，三棱锥的高为 2，易知该多面体有 2 个面是梯形，这些梯形的面积之和为212，故选 B2 4222若几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( A )A34 B35 C36 D17解析 由几何体的三视图知它的底面是正方形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，可把它补成一个长、宽、高分别为 3,3,4 的长方体，该长方体的外接球即为原四棱锥的外接球，所以 4R23 23 24 2181634(其中 R 为外接球的半径)，外接球表面积为S4 R234，故选 A3已知点 E， F， G 分别是正方体 ABCD A1B1C1D1的棱 AA1， CC1， DD1的中点，点M， N， Q， P 分别在线段 DF， AG， BE， C1B1上以 M， N， Q， P 为顶点的三棱锥 P MNQ 的俯视图不可能是( C ).分享 2018解析 当 M 与 F 重合、 N 与 G 重合、 Q 与 E 重合、 P 与 B1重合时，三棱锥 P MNQ 的俯视图为 A；当 M， N， Q， P 是所在线段的中点时，三棱锥 P MNQ 的俯视图为 B；当M， N， Q， P 位于所在线段的非端点位置时，存在三棱锥 P MNQ，使其俯视图为 D，故选C4设甲，乙两个圆柱的底面积分别为 S1， S2，体积分别为 V1， V2.若它们的侧面积相等，且 ，则 的值是_ _.V1V2 32 S1S2 94解析 设甲，乙两个圆柱的底面半径分别为 r1， r2，高分别为 h1， h2，则有2 r1h12 r2h2，即 r1h1 r2h2，又 ， ， ，则 2 .V1V2 r21h1 r2h2 V1V2 r1r2 r1r2 32 S1S2 (r1r2) 94易错点 不能巧妙运用长方体和正方体解题错因分析：不能借助长方体和正方体协助解题，使解题受阻【例 1】 某几何体的一条棱长为 m，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 和 的线段，则7 6 5m 的值为( )A3 B2 3C4 D2 5解析 将这条棱放在长方体内，设长方体的长、宽、高分别为 a， b， c，对角线 A C为该棱， CD为该棱的正视图，长为 ； A C为俯视图，长为 ， CB为侧视图，长为7 5，则 Error!则 A C2 a2 b2 c29，则 A C3.6答案 A【跟踪训练 1】 一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为( A ).分享 2018A B 233 476C6 D7