2008年天津市人文类竞赛真题及答案

2008 年天津市大学数学竞赛试题参考答案（人文学科及医学等类）一、填空：（本题 15 分，每空 3 分。请将最终结果填在相应的横线上面。 ）1 设 f (0)0， ，则 1 。同工 10fnnf0lim2 设函数 ，则 。xysi1xyd3 。同工 312cox44 已知 ，则 3 。fhffh2lim05 设函数 由方程 确定，则曲线 上对应于 x = 0 点处的切线xyxyxsinn3 y方程为 。1二、选择题：（本题 15 分，每小题 3 分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。 ）1 设当 时， 是比 高阶的无穷小，而 是比0x221lnxxnx1l nx1l高阶的无穷小，则 n 等于（ B ）lncos（A）4； （ B）3； （C）2； （D）1。2 设函数 ，其中 可导且当 时 则（ C ）xtftF0d2xf,0xf（A） 为 的一个极大值；（B） 为 的一个极小值；x（C）点 是曲线 的拐点，但 不是极值；0,FxFy0F（D）点 不是曲线 的拐点， 也不是极值。3 积分 （ D ）202dminx,（A）0； （B）4；（C） ； （D ） 。8 234设函数 在 的某邻域内有连续的四阶导数，且 。又xf00f01sintax,fxF在 点处连续，则必有（ C ）0x(A) ； (B) ；1f 2f(C) ； (D) 。3 405 （ A ） nnnn cos12cos1cslim（A） ； （B）x0d1 x0dcos1（C） ； （D ） 。xcos三、设当 时，连续函数 与 是等价无穷小， 与 是等价无穷小，求常数0xf230dxtfkAxk 与 A。 （本题 8 分）解：因为 ， 1013230213300 lim6limlimdli13 k-xk-xfk-xkx AAAftf 故 ； 。k,6A四、求由参数方程 所确定的函数 的二阶导数 。 （本题 8 分）tay,txsincos2l xy2dxy解： ，ttttxy ansi21secanod。tatattxyxy 422 cosinsin1secdd 五、求常数 a，b，使.1,arctn,0,1xbxxf在所定义的区间上连续。 （本题 8 分）解：当 x 0,1 时， 在定义区间内其它各点处处连续。xf， 21lim1lilim000 axaf xxx ， ，bfxxlili f于是有 ，即 。a22又 ， ，afxx11lili baf1，2arctnmxx于是有 。2b解方程组 ，得到 。即当 ， 时 在定义区间上连续。0a2baa2bxf六、对 t 的不同取值，讨论函数 在区间 上是否有最大值或最小值，若存在最大21xf),t值或最小值，求出相应的最大值点与最大值或最小值点与最小值。 （本题 8 分）同工三解：显然 的定义域为： ，xf ),(-，得驻点： 。22112xxf 121x,于是有x ,2 , ,21 ,y 0 0 y 极小值 1 0 极大值 1 又： 。lim,lixfxfx记： 与 分别表示 在区间 上的最大值与最小值。tM),t又上表不难看出： 时， ；2t1,21ftMftm 时， ；1,tt 时，无 ， ；2tf 时，无 ， 。1tm21tt七、计算 。 （本题 8 分）40danlx解： 40404040 dcoslnd4cosln2ldcoslndcos2ln lililt1l xxxxx注意到： ，所以原式 。4040 llt t 2l8l0八、过曲线 上点 A 作切线，使该切线与曲线 及 x 轴所围平面图形 D 的面积3xy 3y。43S 求点 A 的坐标； 求平面图形 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积。 （本题 8 分）同工五解： 设 A 点坐标为 ，则切线方程为： ，即 。3t, txty321332ttxy命：y = 0，得此切线与 x 轴的交点横坐标为 ，从而图形 D 的面积为tx0。4304320632d32321 30 ttxttxtttSt。即 A 点的坐标为(1,1)。t 平面图形 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为：。xxV 523015327128d23123103 九、设函数 ，其中 是连续函数，且 。xtfsin0df 0f 求 ；x 讨论 的连续性。 （本题 7 分）同工六解： ，由已知得 。0,d1dsin02sin022 xufxufxxxtu 0 当 时，有； xxfufxx cosin2sid22sin03 2si2在 点处，由导数定义有.203cossin2lmsili 3sincosinlimd1020 2si32 fxxf xxfux xx所以 0.,2 ;,cosinsid2sin032 xxfufx 因为，0232cosin2sidlimli 2sin0302 ffxfufxxx故 在 点处连续；又当 时， 连续，所以 处处连续。 0x十、设函数 ， 在闭区间 a,b上连续，在开区间(a,b) 内可导，且对任意 都有xfg a,bx，0xgfxf证明：如果 在(a,b)内有两个零点，则介于此两个零点之间， 至少有一个零点。 （本题 8 分）xf证明：设 使 。若在区间 内 没有零点，又21,021xff 21,xg，故 。可设 ，0iixgf ,ixgi 21,gfH显然，在区间 上 满足罗尔定理的各项条件，所以至少存在一点 使 ，21, 21,xc0cH即必有 ，与题设条件矛盾，故可知必存在 使a,b,xcgfcf 21,0 0,。0xg十一、设函数 在闭区间0,1上连续，在开区间(0,1)内具有二阶导数，且 。证明：xf xf，n 为正整数。 （本题 7 分）1d10fxfn证明：设 ，有泰勒展开式： ，其中00