几类切换线性系统的最优控制

摘 要 I 摘 要 切换系统在实际生活中有着广泛的应用，它是 一类非常特殊的混杂系统，它由若干个连续或者离散的子系统以及一个切换序列构成. 而最优控制问题又是切换系统研究领域的一个重要课题. 无论是在理论研究中还是实际应用中都有着十分重要的价值. 基于此点考虑，首先，研究一类切换线性系统的最优控制问题 . 假设每个子系统都是不稳定的但每个子系统都是可以镇定的. 首先设计状态反馈控制律使每个子系统镇定并且使整个切换系统是稳定的. 然后在切换序列固定的假设条件下，利用动态规划方法确定最优切换时刻. 其次，研究一类多时滞切换线性系统的最优控 制问题. 利用动态规划方法中的 最后，对全文工作进行总结，并对未来研究方向做出展望. 关键词： 切换系统，动态规划，最优控制I is a of is of or a in of is a It in on on of a of a of a of is in is be a is to is by a of is in By JB is in is of to of of is a of 录 录 第 1 章 绪论 . 课题的研究背景和意义 . 1切换系统研究进展 . 2切换系统稳定性 . 3时滞切换系统研究进展 . 4切换系统最优控制研究进展 . 4本文主要内容和结构安排 . 5第 2 章 研究最优控制问题的基本方法 .最优控制问题描述 . 7一般系统最优控制问题 . 7切换系统最优控制问题 . 8研究最优控制问题的基本方法 . 8一般系统最优控制问题研究方法 . 8切换系统最优控制问题研究方法 . 10第 3 章 一类线性切换系统的最优控制 .切换系统镇定 . 12系统描述 . 12主要果结 . 13目 录 最优控制问题 . 15问题提出 . 15最优控制问题 . 16数值例子 . 20小结 . 21第 4 章 一类线性多时滞切换系统最优控制 .问题描述 . 22主要结果 . 24数值例子 . 28小结 . 29第 5 章 总结与展望 . 谢 .考文献 . 1 章 绪论 1 第 1 章 绪论 课题的研究背景和意义 二十世纪六十年代中期第一次提出了混杂系统的概念， 建立了系统模型并发表在当年的 . 在随后的几十年中，人们对于研究混杂系统的热情逐渐升温，使其成为了控制领域的一大热点，并且在诸多领域有着广泛的应用2 各大国际著名控制杂志也先后为其出版了专刊. 同时国内也对混杂系统进行了深入研究，不仅在理论上取得了大量成果6， 更将其广泛的应用于实践中. 而切换系统作为混杂系统中一类非常重要的特殊类型，对于它的研究也备受人们的关注，并取得了丰富成果7. 上世纪五十年代发展起来的最优控制理论是现代控制理论的重要组成部分，其中心问题是：给定一个控制系统，怎样选择控制规律，使系统在某种意义上是最优的. 目前主要有三种研究方法:古典变分法、前苏联学者 出的动态规划方法. 由于切换系统切换序列、切换时刻的不确定性，并不能直接应用上述方法，这无疑加大了研究的难度. 人们从多个角度对切换系统的最优控制问题进行了研究，取得了很多有效可行的研究方法，如两阶段 法、梯度下降法、嵌入法等 实际操作中往往需要我们综合使用上述各种方法以求得最优解. 此外，在实际系统运行中，往往很多时候设备 运行顺序固定，而每个设备运行时间不明确，假如对每个设备运行时间的设定不恰当，则很可能影响系统的运行结果，甚至导致失败. 因此，在系统运行顺序固定的前提下，怎样确定每个系统的运行时间是很有必要的. 另外，系统在运行中也往往存在时滞，即使这个时间是十分微小的，也可能对系统产生很大的影响，因此对带有时滞项的切换系统的研究也是十分必要的. 综上所述，对于切换序列预先给定，切换时刻 自由的最优控制问题也和带有时滞项的切换系统的最优控制问题是切换系统优化课题中的两类重要课题，其研究成果非常具有理论和应用价值. 章 绪论 切换系统研究进展 切换系统在过去 30 年中一直是控制理论中的热门话题， 吸引着人们的研究兴趣. 这主要是因为切换系统大量应用于实际的系统设计中，由于其结构相对简单，对于研究一般混杂系统可以借鉴和启示. 经过 10 余年的发展完善，已经成为了控制理论中相对成熟的一个分支. 一般的，一个非线性连续切换系统可用如下数学模型描述： ()(,)tx ()(,)ty 其中， ()nx 为系统状态变量； () 1,2, , , 0, + 为切换信号，有时也被称为切换规则，由于切换系统由多个子系统构成，切换信号决定何时发生切换，哪个子系统被激活； () 为控制输入； 为系统输出. 特殊的，如果()么我们得到线性切换系统： () ()x + () ()y + 其中， 1, 2, , .当然不可能全部系统均为连续情况，至于离散 系统的数学模型可根据上述模型类似给出. 切换信号 通常是一个分段常值函数，依赖于系 统的状态或时间或同时依赖于两者. 由于切换系统本身的复杂性，整体性质并不等于各子系统性质的简单相加. 即可以通过选取不同的切换信号达到意想不到的效果，例如：假设每一个子系统都是稳定的，一个子系统都是不稳定的，也可以通过选取恰当的切换信号使整个切换系统稳定. 这表明切换信号在切换系统的研究中占有非常重要的作用， 章 绪论 切换系统稳定性 系统想要正常工作的前提是必须稳 定，这也是系统最基本的性质. 因此目前绝大多数的研究成果也都是关于稳定性的. 文献 8对切换系统的稳定性做出了比较全面的总结，归纳为三大基本问题： (1)当满足怎样的条件时，系统可以在任意切换信号下稳定. 对于这一问题，目前的思路仍然是运用 定性定理. 经过研究，得到了如下结论：如果一个切换系统能够找到一个共同 数，那么该切换系统是全局一致渐近稳定的. 更进一步， 证明了：对于线性自治切换系统，如果 ,1,2,n= 为一组稳定的可交换矩阵，则该系统存在二次共同 数. (2)识别使系统稳定的一类切换信号，即系统在受限切换下的稳定性问题. 对于这一问题，主要有两种思路：一是 出的驻留时间的概念，并在文献 10中证明了当连续切换系统的驻留时间充分大时，则整个切换系统是指数稳定的. 随后 展了他的理论，在文献 11中提出了平均驻留时间的概念. 二是 文 12中对于线性切换系统所提出的多数方法 每个子系统找到一个 函数，只要保证同一个子系统在下一次被激活时 数的终点值小于上一次被激活时 数的终点值， 则切换系统是稳定的 (3)至少构造一个切换信号，使系统镇定. 对于这一问题，即设计切换信号的问题. 目前研究的主要结果是：对于线性系统 ,1,2,x Ax ，如果存在稳定的凸组合1311,1= ，那么一定存在切换信号 ()得切换系统稳定. 上述结论为充要条件当且仅当系统只有两个子系统时. 当然，凸组合并不是唯一的解决方法，其他研究方法有：共同 数、多 数等等 14究了几种不同情况下切换系统的镇定问题. 第 1 章 绪论 时滞切换系统研究进展 带有时滞项的切换系统称为时滞切换系统，它 的研究历史可以追溯到上世纪五十年代. 目前时滞切换系统的研究领域主要有：稳定性、鲁棒稳定性、可控性等. 稳定性方面，主要还是利用单 数和多 数的方法17. 文献 18将平均驻留时间方法从一般切换 系统推广到了时滞切换系统. 文献 19研究了时滞切换系统的的可控性. 文献 20研究了一类带有马尔科夫切换的随机时滞系统的鲁棒稳定性和可控性问题. 切换系统最优控制研究进展 在实际生活中，我们常常需要将系统的某些性 能进行优化以达到节约时间或降低成本的目的. 例如导弹拦截问题、飞船软着陆问题等等，于是人们提出了系统最优控制的概念. 古典变分法、极大值原理以及动态规划方法是研究该问题最基本，最普遍的三种方法. 鉴于切换系统在实际系统设计中的广泛应用， 我们同样需要研究其最优控制的问题. 经过学者们的不懈努力，从多角度研究了各种各样的系统模型，得到了多种多样的解决方法. 在工业生产方面有两种数值方法：其一， 1利用混杂形式的贝尔曼不等式给出了 求解次优解的算法；其二， 2用一种特殊的二次规划讨论了带有线性不等式约束的线性切换系统的最优控制问题. 23基于经典的动态规划方法，提出了二阶段算法. 在第一阶段，先固定切换序列，求出切换系统在此条件下的次优解，在第二阶段，改变切换发生的次数和子系统激活的顺序以求得最优解. 24出了一个非常新颖的方法 6等运用梯度下降法对子系统激活顺序部分可变的情形做了深入研究. 该方法后来被尹增山27等推广，研究了连续切换系统的最优控制问题，并提出了分段梯度下降法， 给出了局部最优解. .、 .28过预先给定切换序列， 研究了一类线性自治切换系统在二次性能指标下第 1 章 绪论 5的最优控制问题，最后以状态反馈的形式给出了该问题的最优解. 尹增山30研究了一类混杂系统的最优控制问题，系统末端状态自由，时间固定，提出了基于可达网路的动态规划方法，在得到全局最优解的同时有效地降低了计算量. 分段仿射系统方面， 1通过设计最优控制器研究了一类分段仿射系统的连续时间优化问题. 2研究了一类连续分段仿射切换系统的最优控制问题，假定切换次数固定、切换序列和切换时刻可变，提出了两种解决方法：基于交替优化的主从优化方法和基于动态规划的切换表法. 对于时滞切换系统方面， 孙希明33通过利用单 数和多 出了状态反馈保成本控制的充分条件及相应的优化设计方法. 翟海峰34利用混合动态规划的方法研究了一类分段线性混杂系统的最优控制，其中连续模态驻留的时延是确定的，然后利用 理证明了混杂系统的稳定性. 丛屾35研究了一类由时滞子系统构成的切换系统的最优控制问题，并给出了设计动态反馈控制和切换策略的方法. 6用共同 数的方法研究了一类带有常时滞项的切换系统在任意切换下的稳定性和2L 增益问题. 文献 3738中找了使一类时滞切换系统的最优控制问题，利用 等式找到了性能指标下界的近似解. 文献 39中求出了线性切换系统的一个最优切换序列. 目前对于多时滞切换系统最优控制问题的研究成果并不多见. 本文主要内容和结构安排 无论在理论研究还是实际应用上，切换系统的 最优控制问题都存在着重要的研究价值. 本文针对一类切换序列预先固定的线性切换系统，讨论了其最优控制问题. 本文共分 5 第 1 章首先介绍了课题的研究背景与意义，其次详细介绍了当前切换系统与切换系统最优控制两方面的研究进展与成果，最后对本文结构安排做出介绍. 第 2 章分别介绍了研究最优控制问题的基本方法：研究一般系统的变分法、最大值原理、动态规划方法和研究切换系统的两步法、嵌入法. 第 3 章利用 .、 我们假设系统切第 1 章 绪论 6换序列预先固定，切换时刻为变量，我们的工作便是找到能使二次性能指标达到最小值的最优时刻. 最后通过数值例子验证所提方法的正确性和可行性. 第 4 章利用动态规划方法中的 等式，通过将最优控制问题转化为最优控制性能指标上界和性能指标下界求取的方法，研究了一类多时滞连续线性切换系统的最优控制问题. 最后通过数值例子验证所提方法的正确性和可行性. 第 5 章对全文工作进行了总结，并对今后切换系统最优控制领域的研究做出展望. 第 2 章 研究最优控制问题的基本方法 7第2章 研究最优控制问题的基本方法 最优控制问题描述 一般系统最优控制问题 最优控制问题通常由以下 4 个部分组成： (1)动态系统的状态方程如下43： (),(),)x 00() 其中， )nx ， m 维输入控制变量 () ， f 为关于 (), (),x 对 (),x 假定控制变量 ()且函数(),(),)f xt ut t 满足一定条件，则方程有唯一解. (2)容许控制 从实际的控制系统中可以知道，控制变量 ()不能任意取值，即 0() , , t t t 其中， 通常为的有界闭集，而容许控制 ()(3)目标集 对于每个系统都有初始状态0()x t 和末端状态 ()fx t ，而末端状态通常是状态空间中的点集 S ( ) ( ), ) 0这样的集合 S 被成为目标集，其中 ( ), )f fx k 维向量函数. 特别的，若末端状态为常向量，则为固定端问题，若，则为自由端问题. (4)性能指标 它是比较控制系统之间孰优孰劣的重要数量指标，通常具有如第 2 章 研究最优控制问题的基本方法 8(形式： 0( ( ), ) ( ( ), ( ), )xt t 这是一个复合性指标，表示它在整个控制过程中对状态和控制以及末端状态的要求. 若 ( ), ) 0 ，则表示它对状态和控制的要求，称为积分型指标. 相反，若 (),(),) 0，则表示它仅对末端状态的要求， 称为终点型指标. 另外，积分型指标可以通过引进新的状态变量转化为终点型指标. 切换系统最优控制问题 考虑如下切换系统的最优控制问题： ()(),(),)tx 00()x 其中，对于每个0， () 1,2, , 为切换信号， ()为限制在凸紧集 上的控制输入. 则性能指标相应的变为如下形式： 0()( ( ), ) ( ( ), ( ), )则切换系统最优控制问题可描述为： 在满足系统方程的前提下， 对每个0, ， () 1,2, , ， ()，找到一对最优控制序列 (,)，使得性能指标达到极值 (极大值或极小值 ).研究最优控制问题的基本方法 一般系统最优控制问题研究方法 (1)变分法 变分法是研究最优控制问题最基本的方法，其 运用前提通常为连续控制函数 ()容许控制域为整个控制空间 方法如下： 首先构造出如下形式的 数 第 2 章 研究最优控制问题的基本方法 9T(), (),) (), (),) 然后列出关于哈密顿函数的伴随方程、边界条件、必要条件三个方程 (, ,)()Hx ( )()()0最后，求解上述方程即可得到最优控制 ()此外，还有固定端、末端受限和终值时刻自由等其他类似问题，也可以由上述方程通过适当变形求解. (2)最大值原理 变分法成功地处理了当 ()而在实际问题中，()这时变分法便不再有效了. 这就迫使人们不得不探讨新的方法. 作为变分法的推广， 人在上世纪六十年代提出了最大值原理，实践证明，它可以有效地求解 ()当 ()该方法求解同用变分法一样. 其主要定理如下： 定理 1 (最小值原理 )43()x t 为对应的积分轨线， ()了使()x t为最优轨线， ()最优控制，则必然存在一个向量函数 ()使 ()x t和()足切换系统 (正则方程： () 和 ()并且在任意时刻 t， 数 H 相对于最优控制 ()极小值，即 (), (), (),) ( (), (), (),)xt = 此处正则方程的边界条件与变分法一样，同为( )()().第 2 章 研究最优控制问题的基本方法 10在 出该原理时，将 H 函数定义为T(, ,) (, ,) + ，也将边界条件定义为( )()()，这样， H 函数就和原来差了一个负号，最小值变为最大值，故此称为最大值原理. (3)动态规划方法 动态规划法是求解最优控制问题的又一种方法 ，来源于多级决策过程，对离散型控制系统尤其有效，由美国学者 出 01,u 是一个最优决策序列，那么1, 仍是一个最优决策序列. 即不管初始决策是什么，当把其中任何一级作为初始决策时，余下的决策仍然是最优决策. 以连续系统为例，动态规划方法如下43： 首先，列出连续动态规划方程及其边界条件： T()(,)( , , ) ( ) ( , , )f = + ( ), ( ), f t xt 然后，通过求解上述两个方程，可以得到关于 (,)而求出最优控制 () 对于离散系统的动态规划方程，可由同样地方法类似导出. 变分法、最大值原理、动态规划方法都是研究 最优控制问题的求解方法，因此三者应该存在着内在的联系 于最大值原理和动态规划方法的关系，可以证明：在一定条件下，从动态规划方程能求出最大值原理的方程. 切换系统最优控制问题研究方法 由于切换系统的复杂性，研究其最优控制 问题的方法更是多种多样，这里主要介绍 2 种方法： u 和 出的两阶段法以及 出的嵌入法. (1)两阶段法 两阶段法的求解方法可概括为：在第一阶 段，固定切换序列，求出在此条第 2 章 研究最优控制问题的基本方法 11件下切换系统的次优解，在第二阶段，改变切换发生的次数和子系统激活的顺序以求得最优解. 第一阶段： (1)固定总切换次数 K 和子系统切换序列 ，将性能指标 J 的最小值表示成最优控制输入 ()此时 1 , )= (2)找到2, ，使性能指标1J 达到 最小值. 第二阶段： (1)改变子系统切换序列，找到在 K 次切换下的最优解； (2)改变切换次数 K ，找到最优控制问题的最优解. (2)嵌入法 文献 14中研究了由二个子系统构成的切换系统 (即 () 0,1 )，并提出了嵌入法这个新颖的思路. 其方法为引入一个新的变量 () 0,1，然后将切换系统 ()() ( (), (),)tx 转化为如下形式 00 11() 1 () ( (), (),) () ( (), (),)x + 同理，性能指标由 0( ( ), ) ( ( ), ( ), )xt t 变为 000 11 ( ), ) 1 () (), (),) () (), (),)xt t xt u t t xt u t t +这样， 就把切换系统嵌入到了更大的一族系统中， 当变量 () 或 1时便为原来的切换系统. 如此便把切换系统最优控制问题转化成了一般系统的最优控制问题. 接着作者证明了一个关键的结论：由切换系统轨线组成的集合在由嵌入系统轨线组成的集合中是稠密的. 随后在这个结论的基础上，作者通过研究嵌入系统的最优控制问题就可以获得切换系统最优控制问题的最优解和次优解，并给出了数值例子. 最后作者将这种方法推广到了三个子系统的情况，得到了类似的结论. 后来文献 44将此方法推广到了 第 3 章 一类线性切换系统的最优控制 12第 3 章 一类线性切换系统的最优控制 众所周知，切换系统的最优控制问题与一般系统的最优控制问题相比较为复杂，主要原因是切换序列与切换时刻都是可变的优化变量. 针对这一问题，u 和 出了两步法. 而对切换序列预先给定的情况 .、 28做了研究，作者运用动态规划的方法研究了一类线性自治切换系统当切换序列预先固定时的最优控制问题. 其研究的切换系统中所有子系统都是稳定的，由于切换序列固定，则只有切换时刻是未知量，也就是唯一的优化变量. 作者从最后一次切换开始求解最优并依次向前，最后求得最优解，并且指出其具有状态反馈的形式. 通过近年来的研究，人们针对各种各样不同情况切换系统的最优控制问题提出了与其对应的解决办法，取得了丰富的成果. 而对于子系统不全稳定的情况则涉及较少. 本章中我们将对 .、 究了一类线性切换系统中部分子系统不稳定的情况，当然研究前提为这些不稳定的子系统是可以镇定的. 为此， 我们需要先设计控制律 ()5，此时就将系统转化成了子系统全部稳定的情形，便可运用动态规划的方法对其最优控制问题进行求解. 先把整个系统运行的时间看成若干小区间，从最后一次切换，即第 造出一个状态空间，当且仅当切换系统的当前状态属于这个区域时最优切换才会发生 次切换，第 2n 次切换 直到第一次切换，此时就可以得到所有最优的切换时刻，实现最优控制，并且性能指标 F 达到极小值. 切换系统镇定 系统描述 考虑如下切换系统： () ()() () ()+ (第 3 章 一类线性切换系统的最优控制 13其中， ()nx 为系统状态变量；() (),为 阶矩阵 () 1,2, , 为切换信号，当 () 时代表第 () 为控制输入. 假设切换系统 (所有子系统都是不稳定的， 但假设每个子系统都是可以镇定的. 根据假设可以设计具有如下形式的反馈控制律： () ()本节我们的目标为：对于每个不稳 定的子系统寻找状态反馈增益矩阵使得切换系统 (闭环系统在周期切换序列 (下是稳定的. 主要结果 下面来研究带有控制项 ()连续切换系统 (状态反馈镇定问题. 首先介绍 2 个引理： 引理 6考虑形如 (连续切换线性系统，其中状态反馈控制律为() ()， 1, 2, , ， 那么它渐近稳定的充要条件是存在一组实数 0 ，使得如下系统是渐近稳定的. 11x =+ 引理 引理 )：对给定 22= ，其中，11S 为 2S 为 阶方阵，则下列条件等价： (1) 0S 的任意数. 证明：由引理 知，包含 2 个子系统的线性切换系统 (稳定性等价于如下系统的稳定性 11 2 2 111 2 22()x =+ + + (构造如下形式的函数 () T()Vx (其中， 显然 ()沿切换系统 (于时间的导数为： Vx 2 111 2 22 11 2 2 111 2 22( ) ( ) A u x u =+ + + + + 2 111 2 2 2( ) A A x B B B =+ + + 2 111 2 2 2( ) x P A A x B B B + 2 1 11 2 22( ) x A A =+ + 11 2 2 111 2 2 2( ) x P A A x B B B + 2 11 2 2 111 2 2 2( ) ( ) 2 x =+ + 则要使 () 0时滞项， 且12, , , ， 通常是常数；1, 2, , 为子系统标识 ； ()系统初始向量 . ()() ()其中，具有适当维数的矩阵. 则切换系统 (闭环系统为： 1() ( ) () ( )ji + + 下面， 我们对其建立最优控制问题 义如下二次型性能指标41： =+其中， 0, 0为正定，半正定加权矩阵 0 , )=其中， J 为性能指标函数， (,)，我们的目的为使性能指标 J 在满足系统方程约束的条件下取得极小值，本章中设 () 根据 态规划方法的最优性原理， 我们知道求解最优控制问题等价于求解如下 程： ( , ) ( , ) 0 =通常情况下，想要求解上述 程是非常困难的. 则我们讨论 等式. 假设 ) 0= ，不等式 0(,)(,)Jf +两边同时对 00() (0) (,) 第 4 章 一类线性多时滞切换系统的最优控制 24这样就得到了性能指标的一个下界. 取控制律 () ()，若不等式 ( (), () ( (), () 0 成立，对满足上述条件的正定函数 J ，收敛速度若快于(), ()xt 则可以保证控制系统的稳定性，即 ) 0= ，同样，上述不等式两边同时对 00() (0) (), () 同理，得到了性能指标的一个上界. 主要结果 在充分考虑了切换连续时滞闭环系统的稳定性 条件后，我们得到如下关于最优性能指标上界的结论. 定理 对于多时滞切换系统 (如果存在矩阵以及对称正定矩阵P ， F ，使得不等