高二数学上学期中的梳理知识点

高二数学上学期知识点第一部分：三角恒等变换1.两角和与差正弦、余弦、正切公式： )sin(sincosi)cos(sincostgtg1注意正用、逆用、变形用。例如：tanA+tanB=tan(A+B)(1 tanAtanB)2.二倍角公式：sin2 = ，cos2 = = = cosin222sinco1cos22sin2 = 。3.升幂公式是 ： 。tan2t112i24降幂公式是： 。2cossincos1cs25.万能公式：sin = cos = tan =2ta12tan12tan16.三角函数恒等变形的基本策略：（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如 1=cos2+sin 2（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：=（+ ），= 等。 （3）降次与升次。 ，sico，sin ，cos 可凑倍角公式； 等 2cosinsi1 2cosini1（4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切） 。注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角。 （5）引入辅助角。asin+bcos = sin(+ )， 所在象限由 a、b 的符号2ba确定， 角的值由 tan = 确定。ab7注意点：三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值第二部分：解三角形1.边角关系的转化：（）正弦定理： = = =2R(R 为外接圆的半径); AasinBbiCcsin注：（1）a=2RsinA;b=2RsinB;c=2RsinC;（2）a:b:c=sinA:sinB:sinC;(3) 三角形面积公式S= absinC= bcsinA= acsinB;（）余弦定理：a =b +c -2bc ,212Acosbca22.应用：（1）判断三角形解的个数;（2）判断三角形的形状;(3) 求三角形中的边或角；（4）求三角形面积 S；注：三角形中 ab AB sinAsinB；内角和为 ；两边之和大于第三边；在ABC 180中有 ，-tanCB)+tan(-cosC B)+cos(AinC=B)+si(A， 在解三角形中的应用。3.解斜三角形的常规思维方法2cossinCBA2sinCBA是：（1）已知两角和一边（如 A、B 、c ） ，由 A+B+C = 求 C，由正弦定理求 a、b （2）已知两边和夹角（如 a、b、C） ，应用余弦定理求 c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用 A+B+C = ，求另一角 （3）已知两边和其中一边的对角（如 a、b、A） ，应用正弦定理求 B，由 A+B+C = 求 C，再由正弦定理或余弦定理求 c 边，要注意解可能有多种情况 （4）已知三边 a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由 A+B+C = ，求角 C （5）术语:坡度、仰角、俯角、方位角（以特定基准方向为起点（一般为北方） ，依顺时针方式旋转至指示方向所在位置，其间所夹的角度称之。方位角 的取值范围是：0360 。第三部分：数列1. 证明数列 是等差（比）数列na（1）等差数列：定义法：对于数列 ，若 (常数) ，则数列 是等差数列。 nadan1na等差中项法：对于数列 ，若 ，则数列 是等差数列。注：后两种方n212n法仅适用于选择、填空： （形如一次函数） （常数项为 0 的二pq2SAB次）（2）等比数列：定义法：对于数列 ，若 ，则数列 是等比数列。等na)0(1qnna比中项法：对于数列 ，若 ，则数列 是等比数列na212.求数列通项公式 方法 (1)公式法：等差数列中 an=a1+(n-1)d 等比数列中 an= a1 qn-1; (2) （ 注意 ：验证 a1 是否包含在 an 的公式中）(0)q)2(,1SaSnn（3）递推式为 f(n) (采用累加法)； f(n) (采用累积法)；例已知数列1 n满足 ， = ，则 =_（答：nan1 2n） （4）构造法；形如 ， （ p,q 为常数且 p2napq1nakb,q）的递推数列，可构造等比数列 ，例 已知 ，求 （答：x1,3nan） ； （5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决：13naAan（ ana n-1）+(a n-1a n-2)+（a 2a 1）a 1 ； an 12n1 （6）倒数法形如 的递推数列如已知 ，求 （答：1nkb1,3na） ；3.求数列前 n 项和 . 常见方法：公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键132naS找通项结构.（1）公式法：等差数列中 Sn= = ；等比数列中 当 q=1,Sn=na1 当da2)1(1)(1naq1,S n= = （注：讨论 q 是否等于 1） 。 （2）分组法求数列的和：如 an=2n+3n ；qan1)(an1（3）错位相减法： , ，如 an=(2n-1)2n；（注cb成 等 比 数 列成 等 差 数 列 ， nnc）（4）倒序相加法求和：如在等差数列 中，前 4 项的和为 40，最后 4 项的和为 80，所有各项的和a为 720，则这个数列的项数 n=_；(答：48);已知 ，则2()1xf_（答： ）1(1)2(3)4)234fff7（5）裂项法求和： ，如求和：)()( CAnBCAnBan =_（答： ）11234(1) 1（6）在求含绝对值的数列前 n 项和 问题时,注意分类讨论及转化思想的应用，总结时写成分段数列。S4. 的最值问题方法（1）在等差数列 中,有关 Sn 的最值问题从项的角度求解： nSna当 ,d0 时，满足 的项数 m 使得 取最小值。11a（2）转化成二次函数配方求最值（注：n 是正整数，若 n 不是正整数，可观察其两侧的两个整数是否满足要求） 。如等差数列 中， ， ，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。 （答：n25917S前 13 项和最大，最大值为 169） ；若 是等差数列，首项 ，n10,a2304a，则使前 n 项和 成立的最大正整数 n 是_ （答：4006）2034a05.求数列a n的最大、最小项的方法（函数思想）：a n+1-an= 如 an= -2n2+29n-3 (an0) ，如 an= 011na10)(9an=f(n) 研究函数 f(n)的增减性 如 an= 5626.常用性质：（1）等差数列的性质：对于等差数列 （ ）n dmnn)(n.若 ，则 。若数列 是等差数列， 是其前 n 项的和，qpmqpmnaS，那么 ， ， 成等差数列。设数列 是等差数列， 是奇数项*NkkSk2kS23 n奇的和， 是偶数项项的和， 是前 n 项的和，则有如下性质：(i) 奇数项偶(ii)偶数项da,531成 等 差 数 列 ， 公 差 为 d2,642成 等 差 数 列 ， 公 差 为若等差数列 的前 项的和为 ，等差数列 的前 项的和为 ，则n112nnb11nT。 （应用于选择、填空，要会推导,正用、逆用）21nSbT（2）等比数列性质：在等比数列 中 （ ） ；.若 m+n=p+q，则 aman=apaq； 如namnqa（1）在等比数列 中， ，公比 q 是整数，则 =_（答：512） ；n384712,51210（2）各项均为正数的等比数列 中，若 ，则 n5693132310loglloga（答：10） 。若数列 是等比数列且 q-1， 是其前 n 项的和， ，那么 ，S*NkkS， 成等比数列。如：公比为-1 时， 、 - 、 - 、不成等比数列kSk23 484S87常见结论：（1）三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,a+d,a+3d；（2）三个数成等比的设法：a/q,a,aq； （3）若a n、b n成等差，则ka n+tbn成等差;（4）若a n、b n成等比，则ka n(k0)、 、a nbn、 成等比;（5）a n成等差,则 ( c0)成等比.1aac（6）b n(bn0)成等比,则log cbn(c0 且 c 1)成等差。第四部分 不等式1两个实数 a 与 b 之间的大小关系作差法或作商法 2.不等式的证明方法（1）比较法（2）综合法 （3）分析法注：一般地常用分析法探索证题途径，然后用综合法 3. 解不等式（1）一元一次不等式 的解法 )0(abxabx,0ax,0（2）一元二次不等式 的解法（三个二次关系）)(,02cbx判别式 400二次函数的图象 cbxay2一元二次方程 相异实根 相等实根 没有实根的根 02cbxa21xabx21解集 R1中 解集 2cx21x注： 解集为 R， （ 对 恒成立）)(0ba 0cbax则（） （）若二次函数系数含参数且未指明不为零时，需验证)0( 0a若 解集为 R 呢？如：关于 x 的不等式 对 恒2cbxa 4)2()(2xxaR成立，则 的取值范围 。略解（） （）中中0420（3）绝对值不等式 如果 a0，那么 | a2 ；xax 或 （4）分式不等式 若系数含参数时，须判断或讨论系数 ，化负为正，写出解集。0主要应用：1.解一元二次不等式；2.解分式不等式；3.解含参的一元二次不等式（先因式分解，分类讨论，比较两根的大小） ；4 恒成立问题（注：讨论二次项系数是否为 0；开口方向与判别式） ；5.已知， ，求 的取值范围；（换元法；线性规划法） 。12xy35xy4xy4简单的线性规划问题应用：（1）会画可行域，求目标函数的最值及取得最值时的最优解（注：可行域边界的虚实） ；（2）求可行域内整数点的个数；（3）求可行域的面积；（4）根据目标函数取得最值时最优解（个数）求参数的值（参数可在线性约束条件中，也可在目标函数中） ；（5）实际问题中注意调整最优解（反代法） 。5.常用的基本不等式和重要的不等式（1） （2） ，则abRba,2中 R,；注：ab 中中2（3） （4） ；),()2 ),(2baba6.均值不等式的应用求最值（可能出现在实际应用题）设 ，则,0xyxy（1）若积 PyxPxy 2(有 最 小 值定 值 ） ， 则 和 （2）若和 即：积定和最小，和定积最大。中中中 SS注：运用均值定理求最值的三要素：“一正、二定、三相等”技巧：凑项，例（x2 ）凑系数 ，例 当 时，求 的最大值；（答：8）yx添负号，例 ；拆项，例 求 的最小值12(2)x2710()xyx（答：9 ）构造法，例 求 的最大值（答：1） 。“1”的灵活代换，0fx若 且 ，则 的最小值是_( 答：16) （3）若用均值不等式求最值，等0,xy19xyxy号取不到时，需用定义法先证明单调性，后根据单调性求最值，例 求 的最小221yx值。第五部分 简易逻辑1、 逻辑联结词，命题的形式：p 或 q(记作“pq” )；p 且 q(记作“pq” )；非 p(记作“q” ) 。2、 “或” 、 “且” 、 “非”的真值判断（1） “非 p”形式复合命题的真假与 F 的真假相反；（2） “p 且q”形式复合命题当 P 与 q 同为真时为真，其他情况时为假；（3） “p 或 q”形式复合命题当 p 与 q 同为假时为假，其他情况时为真4 常见结论的否定形式原结论 否定词 原结论 否定词是 不是 至少有一个 一个也没有都是 不都是 至多有一个 至少有两个大于 不大于 至少有 个n至多有（ ）个1n为为为为p为q为为为为p为q为为为为q为p为为为为为q为p为为为为为 为 为为为为为为为 为为为小于 不小于 至多有 个n至少有（ ）个1n对所有 ，成立x存在某 ，不成x立或pq且pq对任何 ，不成立 存在某 ，成立 且 或5、四种命题：原命题：若 P 则 q； 逆命题：若 q 则 p；否命题：若P 则q；逆否命题：若q 则p。6、四种命题之间的相互关系：一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下关系：(原命题 逆否命题)、原命题为真，它的逆命题不一定为真。、原命题为真，它的否命题不一定为真。、原命题为真，它的逆否命题一定为真。7、如果已知 p q 那么我们说，p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。若 p q 且 q p,则称 p 是 q 的充要条件，记为 pq.8.命题的否定只否定结论；否命题是条件和结论都否定。9、反证法：从命题结论的反面出发（假设） ，引出(与已知、公理、定理)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。第六部分 圆锥曲线定义、标准方程及性质（一）椭圆 1.定义：若 F1，F 2 是两定点，P 为动点，且 （ 为常数）则2121FaPFP 点的轨迹是椭圆。注：（1）若 2a 小于| |，则这样的点不存在；（2）若 2a 等于| |，则动点1的轨迹是线段 .(3) 中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段 、1221 P、2c，有关角 结合起来，建立 + 、 等关系求出 、2F12121的值.注意题目中椭圆的焦点在 x 轴上还是在 y 轴上.2.椭圆的标准方程：（ 0） ， （ 0）( 注： )。 （1）.椭圆的标准方12byaxa2bya22abc程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果 项的分母大于 项的分母，则椭圆的焦点2xy在 x 轴上，反之，焦点在 y 轴上.（2）.求椭圆的标准方程的方法： 定位正确判断焦点的位置； 定量设出标准方程后，运用待定系数法求解 a、b.3.椭圆的几何性质：线段 、 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于 2a 和 2b，a 和1A1B2b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0e1.e 越接ac近于 1 时，椭圆越扁；反之，e 越接近于 0 时，椭圆就越接近于圆.4.点与椭圆的位置关系（1）点 在椭圆 的内部 .0(,)Pxy21(0)xyab201xyab（2）点 在椭圆 的外部0(,)Pxy21(0)xyab201xyab（二）双曲线 1.定义：若 F1，F 2 是两定点， （ 为非零常数） ，则动点221FPP 的轨迹是双曲线。注：（1）若 2a=| |，则动点的轨迹是两条射线；（2）若 2a| |，则无轨1 12迹.（3）若去掉绝对值号，动点 的轨迹仅为双曲线的一个分支。M2.双曲线的标准方程： 和 （a0，b0）注：（1） （与椭2byax2x22cab圆比较） （2）双曲线的标准方程判别方法是：如果 项的系数是正数，则焦点在 x 轴上；如果 项的2y系数是正数，则焦点在 y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于 b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.（3）求双曲线的标准方程，应注意两个问题： 定位正确判断焦点的位置； 定量设出标准方程后，运用待定系数法求解 a，b.3.双曲线的简单几何性质 双曲线 为例 实轴长为 2a，虚轴长为 2b，离心率12byx1，离心率 e 越大，双曲线的开口越大.双曲线的方程与渐近线方程的关系ace（1）若双曲线方程为 渐近线方程：12byax02byaxxab（2）若渐近线方程为 双曲线可设为 （ ）0x20（3）若双曲线与 有公共渐近线，可设为 （ ，若 ，焦点在 x12byax 2byax轴上，若 ，焦点在 y 轴上） 。特别地当 离心率 两渐近线互相垂直，分别0中e为 y= ，此时双曲线为等轴双曲线，可设为 （ ） 。 （4）方程x2yx021xymn表示双曲线的充要条件是 。 （5）注意 中结合定义(,)mn0mn21FP与余弦定理 ，将有关线段 、 、 和角结合起来。aPF2121cosPF21（三）抛物线 1.定义：到定点 F 与定直线 l 的距离相等的点的轨迹是抛物线。定点 F 叫抛物线的焦点，定直线 l 叫抛物线的准线。注：（1）点 F 在直线 l 外， （2）点 F 在直线 l 上，其轨迹是过点 F 且与 l 垂直的直线，而不是抛物线。2抛物线的标准方程有四种类型： 、 、 、 .注：pxy2pxyy2pyx2（1）方程中的一次项变元决定对称轴和焦点位置；（2）一次项前面的正负号决定曲线的开口方向； 3.抛物线的几何性质，以标准方程 为例：p：焦准距（焦点到准线的距离） ；(0)焦点： 准线： 通径 焦半径： 过焦点弦长)0,(p2xAB,2CFy1y2=p 2，x 1x2= ;xCD121 4注：只适合求过焦点的弦长，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求。4.直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x +bx+c=0，当0 时，两者2的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果直线和抛物线只有一个公共点，除相切外，还有直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行，此时，不能仅考虑=0。 注意：) 抛物线上的动点可设为 P 或 Ppxy2),2(yp中)2,(pt pxyx2),(中5.求轨迹的常用方法：（1）直接法：直接通过建立 x、y 之间的关系，构成 F(x,y)0，是求轨迹的最基本的方法；（2）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可；（3）代入法（相关点法或转移法）：若动点 P(x,y)依赖于另一动点 Q(x1,y1)的变化而变化，并且 Q(x1,y1)又在某已知曲线上，则可先用 x、y 的代数式表示 x1、y 1，再将 x1、y 1 带入已知曲线得要求的轨迹方程；（4）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程；（5）点差法，处理圆锥曲线弦中点问题常用代点相减法，主要用于求斜率。 （注意：验证判别式大于零。）（6）参数法：当动点 P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将 x、y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。注：轨迹方程与轨迹的区别，限制范围，根据曲线方程研究曲线类型时注意椭圆与圆的区别，注意次数和符号，.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题。（四）解析几何中的基本公式1.两点间距离：若 ，则)y,x(B),(A21 2121)()(yxA特别地： 轴， 则 |x2-x1| 。 轴， 则 |y2-y1| 。/ /BA2.平行线间距离：若 则：0C:l,0C:l 22121Cd注意点：x，y 对应项系数应相等，方程化成一般式。3.点到直