3_8064985_2.立体几何中的模型方法

2017 年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 539 中国 高考数学母题 (第 160 号 ) 立体几何中的模型方法 长方体是立体几何中的基本几何体 ,其结构对称 ,内涵丰富 ,具有 展开空间想象的 依托 功能 ,是研究 立体 几何体的重要载体 模型 ,也是高考试题的一个重要 模型 载体 . 母题结构 :( )(底面为直角梯形的四棱锥 )在长方体 以顶点在底面上的射影 点位置分类 : 1 1 ( )(底面为菱形的四棱锥 )在如图所示的 长方体 中 ,A、 B、 C、 D、 为 长方体 所在棱的中点 ,则 以 菱形 底面 的四棱锥 有 : ; ( )(长方体的模型功能 ) 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2013 年 福 建高考试题 )如图 ,在四棱锥 ,平面 B B C=5, 00. () 当正视方向与向量 方向相同时 ,画出四棱锥 正视图 (要求标出尺寸 ,并写出演算过程 ); () 若 M 为 中点 ,求证 :平面 ( )求三棱锥 D 体积 . 解析 :( )把 四棱锥 ,如图 ,过点 E 足为 E,则四边形 D=3,D= 4, ;在 , 00 3 正视图如图所示 ; () 取 点 N,则 1D 四边形 平行四边形 平面 平面 ( )三棱锥 D 体积 V=三棱锥 P 体积 =31 3 . 点评 :对 底面为直角梯形的四棱锥的认识 ,最有效的途径是把四棱锥放置到长方体 中 ,依托长方体模型 ,把 握 其结构 . 同 类 试题 : 1.(2011 年 福 建高考试题 )如图 ,四棱锥 ,面 B 点 E 在线段 ,且 )求证 :面 ( )若 B=1,2 , 50,求四棱锥 体积 . 2.(2010 年 江 苏高考试题 )如图 ,在四棱锥 ,面 D=C=1, 00. ( )求证 : ( )求点 A 到平面 距离 . 子题类型 :(2013年 安徽 高考试题 )如图 ,四棱锥 的菱形 , B=, 6 . ( )证明 :( )若 E 为 中点 ,求三棱锥 体积 . 解析 :( )把 四棱锥 ,如图 ,设 于点 O,则 C= 3 ,D=1, D 面 ( )由 三棱锥 三棱锥 三棱锥 41 D=2 3 ,又 6 面 四 棱锥 积 =2 三棱锥 体积 =21. 点评 :对以菱形为底面的四棱锥 ,先把底面菱形放置于长方体的下底面上 ,然后在长方体的上底面内确定顶点 的位置 . 540 备战高考数学的一条捷径 的有效手段 2017 年课标高考 母题 同 类 试题 : 3.(2008年 安徽 高考试题 )如图 ,在四棱锥 底面 长为 1 的菱形 , ,面 A=2,M 为 中点 . ( )求异面直线 D 所成角的大小 ; ( )求点 B 到平面 距离 . 4.(2015 年课标 高考试题 )如图 ,四边形 菱形 ,G 为 交点 ,面 ( )证明 :平面 面 ( )若 200,棱锥 体积为36,求该三棱锥的侧面积 . 子题类型 :(2014 年课标 高考试题 )如图 ,四棱锥 底面 面 为 中点 . ( )证明 :面 ( )设 ,3 ,三 棱锥 体积 V=43,求 A 到平面 距 离 . 解析 :( )设 C 交于点 O,则 O 是 中点 平面 平面 ( )由三 棱锥 体积 V=312133 3;作 ,由 面 在矩形 ,面 面 A 到平面 距离 = ,B 13133 . 点评 :模型化的 根 本 思 想 是把 几何载体 放置于长方体中 ,由此 ,依托 长方体 的 定位功能 ,把 握 其结构 . 同 类 试题 : 5.(2015 年 北京 高考试题 )如图 ,在三棱锥 ,平面 平面 角形 等边三角形 , C= 2 ,O,M 分别为 A 的中点 . ( )求证 :平面 ( )求证 :平面 面 ( )求三棱锥 体积 . 6.(2012年 江西 高考试题 )如图 ,在梯形 、 且 F B=12, 2 , 别沿 F 折起 ,使 A,B 两点重合与点 G,得到多面体 ( )求证 :平面 面 ( )求多面体 体 积 . 7.(2008 年 福 建高考试题 )如图 ,在四棱锥 ,侧面 面 棱 D= 2 ,底面 其中 B D=2,O 为 点 . ( )求证 :面 ( )求异面直 线 成角的余弦值 ; ( )求点 A 到平面 距离 ; 8.(2012 年 广东 高考试题 )如图 所示 ,在四棱锥 ,面 B D= 是 中点 ,F 是 的点且1H 为 上的高 .( )证明 :面 ( )若 ,2 ,求三棱锥 体积 ; ( )证明 :面 9.(2014 年 重庆 高考试题 )如图 ,四棱 锥 ,底面是以 底 面 B=2, ,C 上一点 ,且 1. 2017 年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 541 ( )证明 :平面 ( )若 四棱锥 体积 . 10.(2013 年 浙江 高考试题 )如图 ,在四棱锥 ,平面 B=, D= 7 ,3 , 200,G 为线段 的点 .( )证明 :平面 ( )若 G 为 中点 ,求 平面 成的角的正切值 ; ( )若 G 满足 平面 11.(2015 年 重庆 高考试题 )如 图 ,三棱锥 ,平面 平面 ,点 D、 E 在线段 ,且 E=, C=4,点 F 在线段 ,且 )证明 :平面 ( )若四棱锥 体积为 7,求线段 长 . 12.(2008 年 四 川高考试题 )如图 ,平面 平面 边形 是直角梯形 , 00, 21E 21、 H 分别为 中点 . ( )证明 :四边形 平行四边形 ; ( )C、 D、 F、 什么？ ( )设 E,证明 :平面 平面 ( )由 面 面 面 ( )由 2 , 50 E=1 直角梯形 面 积 =25 四棱锥 体积 V=65. ( )由 面 00 面 C 平面 ( )由 点 A 到平面 距离 =2 倍的 点 D 到平面 距离 =2 倍的 点 D 到 距离 = 2 . ( )把 四棱锥 置到长方体 中 ,如图 ,由 异面直线 成的角 (或其补角 );由 面 A ,M 为 中点 2 ;作 ,由 22 26 =23 直线 成角的大小 =3;( )由 面 点 B 到平面 距离 =点 A 到平面 距离 =点 A 到 直线 距离 d;由 d=23 d=22 2 d=32. ( )由 面 在 菱形 ,平面 平面 面 ( )设 菱形 边长为 a,由 200 C=23a,D=21a;由 213a 2a;由 三棱锥 体积 V=3121466 a=2 面积 =21;由,6 ,6 面积 = 面积 = 5 该三棱锥的侧面积 =3+2 5 . ( )在长方体中作出 三棱锥 图 ,由 O,M 分别为 A 的中点 平面 M 平面 平面 ( )由 三角形 平面 面 面 C 平面 平面 面 ( )由 C=2 , 3 三棱锥 体积 V=33. () 在长方体中作出 几何体 ,如图 ,由 F B=12, 2 , E=3, F=4 F 平面 平面 平面 面 ( )作 ,则 平面 12,又矩形 面积 S=20 多面体 体 积 V=16. 542 备战高考数学的一条捷径 2017 年课标高考 母题 ( )把 四棱锥 置到长方体 中 ,如图 ,由 D,O 为 点 侧面 面 面 ( )由 D=2C=四边形 平行四边形 面 异面直线 成的角 ;由 2 , 3 6; ( )由 点 2倍 的 点 h;由 D= P=2 3;由 1h=3121h=33 点 A 到平面 距离 =332. ( )由 面 面 ( )由 2 , 面积 S=22;又由 B 的中点 点 E 到 平面 距离 h= 211 三棱锥 体积 V=3122. ( )取 中点 G,则 面 面 面面 ( )由 底面 由 3 , 00,3 平面 ( )由 3 四棱锥 体积 V=165. ( )由 平面 由 C,D 平面 )设 于点 O,则 G 与平面 成的角 34;( )由 平面 3. ( )在长方体中作出 三棱锥 图 ,由 , C,C 平面 平面 平面 平面 ( )由 , 3 ;又由四边形 面积 =97倍的 87四棱锥