1_6354480_11.柯西不等式在高考客观题中VIP

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 柯西不等式在高考客观题中 柯西不等式 的 应用技巧 柯西不等式 虽然是高中数 学 的选学内容 ,但却是课标高考的选考部 分 西不等式 主要考查二、三维 柯西不等式 . 母题结构 :( )(二维 柯西不等式 )若 a,b,x,y R,则 (a2+x2+ (ax+; ( )(三维 柯西不等式 )若 a,b,c,x,y,z R,则 (a2+b2+x2+y2+ (ax+by+. 母题 解 析 :( )由 (a2+x2+ax+( (ax+;( )由 (a2+b2+x2+y2+( ax+by+. 子题类型 :(2009 年 华南理工 保送生考试数学试题 )已知 a、 b R,则 a+b 的最小值为 ( ) (A) (B) (D)析 :由柯西不等式 :(1+21)( (a+b)2 (a+b)2 9 a+b 号当且仅当 a=-2,b=成立 C). 点评 :利用二维柯西不等式 (a2+x2+ (ax+,解决相关问题的关键 是根据已知式和待求式 ,选取系数 x,y. 子题类型 :(2015 年 重庆 高考试题 )设 a,b0,a+b=5,则 1a + 3b 的最大值为 . 解析 :由 柯西 不等式 : ( 1a + 3b )2 (12+12)( 1a )2+( 3b )2=18 1a + 3b 的最大值为 3 2 . 点评 :利用二维柯西不等式 不仅可求二元式的最小值 ,还可求最大值 ,其 中 的关键 是 把 待求式 置于 不等式 的哪一边 . 运 用 子题类型 :(2013 年湖南高考试题 )已知 a,b,c R,a+2b+3c=6,则 . 解析 :由 柯西不等式 :(12+12+12) (a+2b+3c)2=36 12. 点评 :若求 最小值 ,则把 待求式 置于不等式 (a2+b2+x2+y2+ (ax+by+的右边 ,否则置于 不等式 的左边 ,然后 ,选取系数 x,y,z,使得另一边为定值 . 1.(2006 年陕西高考试题 )设 x,y 为正数 ,则 (x+y)(1)的最小值为 ( ) (A)15 (B)12 (C)9 (D)6 2.(2011 年 湖南 高考试题 )设 x,y R,且 ,则 (1y)(21x+4最小值为 . 3.(2014 年陕西高考试题 )设 a,b,m,n R,且 a2+,ma+,则 22 的最小值为 . 4.(2008 年全 国高中数学联赛江苏 初赛试题 )如果实数 m,n,x,y 满足 m2+n2=a,x2+y2=b,其中 a,b 为常数 ,那么 mx+最大值为 . 5.(1983 年全 国高中数学联赛 试题 )设 a,b,c,d,m,n 都是正实数 ,P= ,Q=,那么 ( ) (A)P Q (B)P Q (C)P0,b0)在该约束条件下取得最小值 2 5 时 ,a2+ ) (A)5 (B)4 (C) 5 (D)2 9.(2014 年 重庆 高考试题 )若 a+4b)=则 a+b 的最小值 为 ( ) (A)6+2 3 (B)7+2 3 (C)6+4 3 (D)7+4 3 10.(2012 年浙江 高考试题 )若正数 x,y 满足 x+3y=5 3x+4y 的最小值是 ( ) (A)524(B)528(C)5 (D)6 11.(2005年全 国高中数学联赛吉林 初赛试题 )代数式 a 22 b +b 22 a 的最大值是 . 12.(2007年全 国高中数学联赛天津 初赛试题 )已知 a,a b,实数 x,x+y=4( + ),若 x+0,则满足条件的数对 (a,b)的数目为 ( ) (A)1 (B)3 (C)5 (D)7 13.(2007 年复旦 大学 保送生考试 试题 )给定正整数 n 和正 常 数 a,对于满足条件 2 a1,a2,121 ( ) (A)210a(n+1) (B)210 (C)25a(n+1) (D)254.(2007年复旦 大学 保送生考试 试题 )当 a和 函数 f(a,b)=(a+5-3|2+(2所能取 到的最小值是 ( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 15.(2006 年全国高中数学联赛 辽 宁 预赛 试题 )x,y 为正实数 ,并且 x =2 4y x+y 的最大值是 . 16.(2006 年 第 十 七 届“希望杯”全国数学邀请赛 (高 二 )试 题 )若 x,y R,且满足 2x + 5y =6,则 x+2 ,最大值是 . 17.(2009 年第二十届希望杯全国数学邀请赛 (高二 )试题 )若 12 x + 23 y =4,则 2x+3y 的取值范围是 . 18.(2000 年第十一届希望杯全国数学邀请赛 (高二 )试题 )已知 x、 y、 z R+,且x1+y2+,则 x+2y+3小值 是 . 19.(2003 年上海交通大学保送生考试试题 )若 x、 y、 z0,且 x2+y2+,则21x+21y+21 . 20.(2012 年全 国高中数学联赛江西初赛 试题 )若实数 a、 b、 a+b+c=a2+b2+ a+b+ . 21.(1995年全 国高中数学联赛上海 初赛试题 )设 a、 b、 x、 y、 且满足 |x| a,|y| b,|z| c,则 (x+y+z) ( 22 + 22 + 22 )的最大值是 . 22.(2004 年全 国高中数学联赛四川 初赛试题 )若 0a、 b、 c1 满足条件 ab+bc+1,则a11+b11+c11的最小值是 . 由 (x+y)(1) C). 由 (1y)(21x+4 (xx1+2y)2=9. 由 (m2+a2+ (ma+ m2+5 22 的最小值为 5 . 由 (mx+ (m2+x2+mx+最大值为 由 Q=)()()()( 2222 2)( = =A). 由x2+x2+x+2y) (x +2=6+4 2 . 由 (12+12)(b2+ (b+c)2 2(1 a36. 由 直线 与 2 的交点 为 (2,1) 2a+b=2 5 ;由 20=(2a+b)2 (22+12)(a2+ a2+B). 由 a+4b)= 3a+4b=aba4+ a+b=(a+b)(a4+ ( a b =7+4 3 D). 由 x+3y=51=51(x3+ 3x+4y=(3x+4y)51(x3+ C). 由 (a 22 b +b 22 a )2 (a2+4-(a2+ (2 )(4)( 2222 )2=4 最大值是 2. 由 x+y=4( + ) 4 )(11( x+y 16+4 216 a+b=10 (a,b)的数目为 C). 由 121 )(1( 121 nn 1n(3由柯西不等式 3 32+(2+ 10a 3 1211n 号当且仅当 =2=a 时成立 A). 由 f(a,b)=(a+5-3|2+(2=21(12+12)(a+5-3|2+(2|a)221(a+5-3|+ (2|a)2=21(5-3|2|221(5=2,等号当且仅当 a=-1,b=0 时成立 B). 由 (x+y)2=4( 2x + 4y )2 4(12+12)(x+2+y+6) x+y 4 5 +4. 由 36=( 2x + 5y )2 (1+21)(x+2+2 x+2y 32;令 x+2y=t,则 2 + 5y =6 2 )5)(22( =39-t+y 39-t+y 0,且 2+0 t 39+y 39+(1+21t) t 80. 16=( 12 x + 23 y )2 (1+1)(2x+1+3 2x+3y 9;令 2x+3y=t 12 x + 2 =4 2 )22)(12( =17t 17,x=y=y 的取值范围是 9,17. x+2y+3z=(x+2y+3z)(x1+y2+ ( y z =9;等号当且仅当 x :y:z: x=2y =3z x=3,y=6,z=9 x+2y +3z 的 最小值 是 9. 由 :21x+21y+21z=(21x+21y+21z)(x2+y2+ (x+y+z)2=9,等号当且仅当x1:x=y1:y+z1:z,且x2+y2+,即 x=y=z=33时成立 21x+21y+21. 由 3(a+b+c)=(12+12+12)(a2+b2+ (a+b+c)2 a+b+c 3,等号当且仅当 a:1=b:1=c:1,且 a+b+c=a2+b2+a=b=c=1 时成立 a+b+c 的最大值是 3. 由 (x+y+z)( 22