1_6354485_31.掌握递推裂项模型.解决一类求和问题

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 掌握递推裂项模型 一类递推数列求和或求和 不等式 的 母题 关于二次数列 a1=a,= 是高考与竞赛的热点数列模型 ,其中 ,所使 用 的递推关系式的裂项方法值得关注 ,构造母题如下 . 母题结构 :己知 数 列 则 :( )a()1111 )a(an+) 1111;( )(-(a+b) 1111. 解 题 程序 :这里 子题类型 :(2006 年山东高考试题 )己知 ,点 (an,)在函 数 f(x)=x 的 图 像上 ,其中 n=1,2,3. ( )证 明 :数 列 +是等比 数 列 ; ( )设 1+1+(1+a n),求 列 通 项 ; ( )记 11 nn 列 前 证 明 :32. 解析 :( )由 ,点 (an,)在函 数 f(x)=x 的 图 像上 =+1=()2 +)=2+ 数列 +是 首项为 比为 2 的 等比 数 列 ; ( )由 ( )知 ,+21+ 12n 12n 1+1+(1+a n)=302 312 3 12n =3 12n . ( )由 =an()112( 1nn 11( 21 11 nn (11 (11a 1n 321n)+1322 n=1. 点评 :若 数 列 =+ =11 a=2,就得本题 关系式的裂项是解题的关键 . 子题类型 :(2007 年全国高中数学联赛湖北初赛试题 )已知数列 足递推关系式 :=21,n 1,n N. ( )若 ,证明 :(i)当 n 2时 ,有 2 )当 n 1 时 ,有 (23)( )若 ,证明 :当 n 5 时 ,有 nk ,即当 n 2时 , 2( )由于 n 2 时 ,22 2 =21 可得=21 an+1, (23 )1an+1(23)n (n 3)21(23)n+1,用数学归纳法证明 ,假设21(23)k+1212(23)k+1(23)k+1+1. ( )由于 ,而数列 递增数列 ,故 1.由 =21 可得 21nk 21121 以 ,当 n 5 时 ,有 nk 时为增函数 ,所以 20064012 k 当 1 k 2006 时 ,=061ak+ 071 2=01a =(01a +(11a + +(11+207k + k40142007 当 1 k 2006 时 , k40142007 an(n N*); (219.(2008 年第八届中国西部数学奥林匹克试题 )实数 数列 足 0,1,=1n=1,2, )对任意的正整数 n,都有 1a +11a + +=1. 10.(2006 年全国高中数学联赛浙江初赛试题 )已知数列 足 ,=n(n=1,2,3, ),足 ,=n=1,2,3, ),证明 :21 nk 11 an,1 =1111a +211a + +1 =2(1,2). 由 = -1=an(1111( 1 nn 111 111a +21a + + 111 = 0 2111)当 n= ,成立 ;假设当 n 3 时 ,an立 .则 -1=an nn(),而 nn()(n+1)n+1 (n+1)(1+n1)n 3(n+1)成立 .由 -11由 =122 nn a1121111)111111(11nn 1111 11a1+ +111112121a =3,11(0111a =31111 a1+ +123n +1) 123n +1=( 123n )2+ 123n +1= 123n +1 1;由11a =3 为整数及112111由11=ak+ 01a 22 =ak+ak+=1111n 11211- 21n 1 ( )显然 ,所以 =2以 ,对一切 k N*,=21n1 由 =21=121112k.当 n 2 时 ,11a 11 2 11nk k 11 )1(1nk 2 1由 =1 11112123 11111a( ;由 -1=an( 111a +11a + +01a +( 1111111a +1