1_6354537_15.类比函数对称性质,解决一类高考试题

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 类比函数对称性质 ,解决一类高考试题 函数 图像“类对称” 的母题 类似于函数图像的 轴 对称定义 ,我们 定义函数图像的“类对称” :若 x=a是 f(x)在 区间 则称 函数 f(x)的图像 关于直线 x=a“类对称” ;特别的 ,若 x=a 是 f(x)在 区间 D 内的极 大 值点 ,则 称 f(x)是 “ 凸 类对称” ,若 x=a 是 f(x)在 区间 D 内的极 小 值点 ,则 称 f(x)是 “ 凹 类对称” ;显然 “类对称” 是轴 对称 的推广 ,我们现在关心的是 “类对称” ,但不是轴 对称的函数 f(x)的 性质 ,为此我们构造 母题如下 : 母题结构 :己知函数 f(x)的图像 关于直线 x=a“ 凸 类对称” ;若 当 x0 时 ,f (f (a+x)0 恒成立 ,则 : 当 x0时 ,f(a+x)f(即当 xa 时 ,f(x)f(2 当 f(f( ,x1+a; 当 f(f( , f ( 2 21 )0,f(f(x1+ 若 当 x0时 ,f (f (a+x)0 时 ,f(a+x)a 时 ,f(x)0; 当 a,x1,f(f(m 时 ,x1+m 的减小而减小 . 母题 解 析 :( )如图 ,当 令 F(x)=f(a+x)-f(则 F (x)=f (f (a+x)0 F(x)f(即当 xf(x)f(2 当 不妨设 而 f(x)在 直线 x=a 的 左侧 递增 x1+a; 由 x1+a2 21 a,而 f(x)在 直线 x=a 的右 侧 递 减 f (2 21 )2143412着 又 由 且 x1+x2=+12随着 同理可证 . 类 似可构造 “ 凹 类对称”函数 的有关结论 . 函数 是“凹类对称” 子题类型 :(2013 年安徽 高考试题 )设函数 f(x)=+a2)中 a0,区间 I=x|f(x)0. ( )求 I 的长度 (注 :区间 ( , )的长度定义为 ; ( )给定常数 k (0,1),当 1a 1+k 时 ,求 I 长度的最小值 . 分析 :由 f(x)0 00),则 d(a)=)(1ag,g (x)=1当 0g(1+k)0 d(1+k) d(1 d(a)的最小值 =d(1222 1 . 解析 :( )由 f(x)0 +a2) x(0),则 d(a)=)(1ag,g (x)=1当 0g(1+k)0 d(1+k)d(1 d(a)的最小值 =d(1222 1 . 点评 :对于常用的双曲线函数 f(x)=x+a0,x0)是关于直线 x=类对称” ,其基本结论为 :当 0f(a+x). 对称” 函数 的 方法 子题类型 :(2010 年 天津 高考试题 )已知函数 f(x)=x R). ( )求函数 f(x)的单调区间和极值 ; ( )已知函数 y=g(x)的图象与函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称 ,证明 :当 x1 时 ,f(x)g(x); ( )如果 f(f(证明 :x1+. 分析 : 由f(x)=f (x)=1-x)f (1f (1+x)=2(x0) f(x)是 关于直线 x=1 的 “ 凸 类对称” ( )( )正 确 . 解析 :( )由 f(x)=f (x)=1-x)表如下 : 由表知 f(x)在 (- ,1)内是增函数 ,在 (1,+ )内是减函数 ,函数 f(x)在 x=1 处取得 极大值 f(1),且 f(1)=( )由函数 y=g(x)的图象与函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1对称 g(x)= f(2(2-x) x1 时 ,令 F(x)=f(x)-g(x)= F (x)=(x 函数 F(x)在 1,+ )是增函数 F(x)F(1)=0 f(x)g(x); ( )由 f(f(不妨设 f(2而 f(x)在 直线 x=1 的 左侧 递增 x1+. 点评 :研究“类对称”函数 f(x),首先求函数 f(x)的极值点 x=a(即 f(x)的类对称铀 ),并判断 x=a是 f(x)的极大值点 ,还是 f(x)的极小值点 (即确定 f(x)是“凸类对称” ,还是“凹类对称” );然后判定当 x0时 ,f (f (a+x)的符号 . 类对称” 函数 的 问题 子题类型 :(2011 年 辽宁 高考试题 )已知函数 f(x)=2-a)x. ( )讨论 f(x)的单调性 ; ( )设 a0,证明 :当 0f( ( )若函数 y=f(x)的图像与 ,B 两点 ,线段 点的横坐标为 明 :f () f (x)=2( 当 00 f(x)是 关于直线 x= 凸 类对称” ( )( )正 确 . 解析 :( )f(x)的定义域为 (0,+ ),由 f(x)=2-a)x f (x)=2(当 a 0时 ,f (x)0 f(x)在 (0,+ )上递增 ;当 a0 时 ,f(x)在 (0,递增 ,在 ( )递减 ; ( )令 g(x)=f(a1+x)-f(+2 g (x)=+22312 0 g(x)在 0,递增 g(x)g(0)=0 f(a1+x)f( ( )由 ( )知 ,当 a 0时 ,f(x)在 (0,+ )上递增 y=f(x)的图像与 不合题意 ,故 a0;当 a0时 ,不妨设 A(),B(),0f(而 f(x)在 直线 x=侧 递增 x1x1+x2 2 21 而 f(x)在 直线 x= 右 侧 递 减 f (),函数 y=|图像从左至右相交于点A,B,y=|图像从左至右相交于 C,D在 影长度分别为 a,b,当 ) (A)16 2 (B)8 2 (C)834 (D)434 2.(2013 年 湖南 高考试题 )已知函数 f(x)=211 ( )求 f(x)的单调区间 ; ( )证明 :当 f(f( ,x1+4.(2014 年 天津 高考试题 )已知函数 f(x)=a R),x y=f(x)有两个零点 x1, f (x)+f ( )32( x 22)1( )32( x 2)1( (x+3)-()令 g(x)=(x+3)- ()x0),则 g (x)=2(x+1)-() g (x)=21-(2) 时 ,f(x)在 ()上递 增 ,在 (0,+ )上递减 ; ( )令 g(x)=f(x)g (x)=11 )12( 当 ,g(x)在 ( )上递减 ,不合题意 a 的取值范围 是 ( ); ( )由 ( )知 a0,当 x0时 ,由 00 f(x)f(不妨设 x1+. ( )由 f(x)= a= g(x)= g (x)= g(x)在 (- ,1)上递增 ,在 (1,+ )递减 ,g(x)的最大值 =g(1)=当 x1 时 ,g(x)0,所以 ,f(x)