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中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 递缩等比数列前 n 项和的上确界 一类 数列 求和 不等式 的 背景 我们把首项 ,公比 q 满足 00,公比 q 满足 00,00,0n+1n N*. 解析 :( )(法一 )必要 性 :由 0,1 0,1 c 0,1; 充分 性 :由 c 0,1,用数学归纳法 证明 :0,1:当 n=1时 , 0,1; 假设 0,1(k 1),则 =0,且 =c+1 0,1;由 数学归纳法 原理知 ,对任意 n N*,0,1; ( )由 ( )知 ,当 01-(3c)=1c)3c)2(1c) + + 2(3c)+(3c)2+ +(3c)(n+1)+(3c)+(3c)2+ +(3c)n+1-2cc 3(1 n+1 点评 :构造应用的突出特点是题中给出待证的通项不等式 ,该不等式的另一边恰是一个递缩等比数列的函数 ;利用 该不等式 和 递缩等比数列的 上确界 即可证 明 待证的 前 等式 . 1.(2005年 湖南 高考试题 )已知数列 (n N*)为等差 数列 ,且 ,. ( )求数列 通项公式 ; ( )证明 :121 +231 + +nn 11 ,令 n(n N). ( )求 c1,c2, ( )证明 :121n+121nc+ ( )证明 :nk ,anx11( 1x(n=1,2, ; ( )证明 :a1+ +2 ( )设等差数列 的公差为 d,由 , d=1 n n+1; ( )由 n+1nn 11 =(21 )n121 +231 + +nn 11 =1-(21 )nc+ 221n 11414 1212 nn
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