专题9应用题

蓝天家教网 伴您快乐成长专题 9应用题一、基础知识求解应用题的一般步骤是（四步法）：1、读题：读懂和深刻理解，翻译为数学语言，找出主要关系；2、建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；3、求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；4、评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证.在近几年高考中，经常涉及的数学模型，有以下一些类型：数列模型、函数模型、不等式模型、三角模型、概率模型等等.函数模型 函数是中学数学中最重要的一部分内容，现实世界中普遍存在着的最优化问题，常常可归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法去解决. 根据题意，熟练地建立函数模型； 运用函数性质、不等式等知识处理所得的函数模型.几何、三角模型 诸如航行、建桥、测量、规划等涉及一定图形属性的应用问题，常常需要应用几何图形的性质，或用方程、不等式或用三角函数知识来求解.数列模型 在经济活动中，诸如增长率、降低率、存款复利、分期付款等与年（月）份有关的实际问题，大多可归结为数列问题，即通过建立相应的数列模型来解决.在解应用题时，是否是数列问题一是看自变量是否与正整数有关；二是看是否符合一定的规律，可先从特殊的情形入手，再寻找一般的规律.二、典型例题例 1某公司生产陶瓷，根据历年的情况可知，生产陶瓷每天的固定成本为 14000 元，每生产一件产品，成本增加 210 元已知该产品的日销售量 与产量 之间的关系式为 )(xf，每件产品售价 与产量 之间关系2,04()65xf )(gx式 40,50,78)(xxg （）写出该陶瓷厂的日销售利润 与产量 之间的关系式；)(Qx（）若要使得日销售利润最大，每天该生产多少件产品，并求出最大利润例 2一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度 a 成正比，与它dal蓝天家教网 伴您快乐成长的厚度 d 的平方成正比，与它的长度 l 的平方成反比.（1）将此枕木翻转 90（即宽度变为了厚度） ，枕木的安全负荷变大吗？（2）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为 R）的木材，用它来截取成长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？例 3某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形高科技工业园区.已知 ABBC，OA/BC，且AB=BC=2AO=4km，曲线段 OC 是以点 O 为顶点且开口向右的抛物线的一段.如果要使矩形的相邻两边分别落在 AB、BC 上，且一个顶点落在曲线段OC 上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到 0.1km2）. 例 4为迎接 2008 年奥运会召开，某工艺品加工厂准备生产具收藏价值奥运会标志“中国印舞动的北京”和奥运会吉祥物“ 福娃”. 该厂所用的主要原料为 A、B 两种贵重金属，已知生产一套奥运会标志需用原料 A 和原料 B 的量分别为 4 盒和 3 盒，生产一套奥运会吉祥物需用原料 A 和原料 B 的量分别为 5盒和 10 盒.若奥运会标志每套可获利 700 元，奥运会吉祥物每套可获利 1200 元，该厂月初一次性购进原料 A、B 的量分别为 200 盒和 300 盒.问该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该厂月利润最大，最大利润为多少？例 5如图 151，在直径为 1 的圆 O 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中 0xy（）将十字形的面积表示为 的函数；（） 为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？x yyO蓝天家教网 伴您快乐成长例 6某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路 AP、BP运到 P 处（如图所示）.已知 PA=100 m，PB=150 m，APB=60，试说明怎样运土最省工.例 7越野赛在湖滨举行，场地如右图，出发点在陆地 A 处，终点在湖心岛 B处，A、B 南北相距 5km 东西相距 7km，湖岸位于 A 点南侧 2km 是一条东西走向的笔直长堤。比赛中运动员可自选选择路线，但必须先从 A 出发跑步到达长堤，再从长堤处下水游泳到达终点 B。已知运动员甲跑步速度为 18km/h,游泳速度为 6km/h。问他应该在长堤的何处下水才能例比赛用时最少？并求最少用时例 8在 4 月份，有一新款服装投入某商场销售，4 月 1 日该款服装仅销售出 10 件，第二天售出 35 件，第四天销售 60 件，尔后，每天售出的件数分别递增 25 件，直到日销售量达到最大后，每天销售的件数分别递减 15 件，到月底该服装共销售出 4335 件。（1） 问 4 月几号该款服装销售件数最多？其最大值是多少？（2） 按规律，当该商场销售此服装超过 2000 件时，社会上就流行，而日销售量连续下降，并低于 150 件时，则流行消失，问该款服装在社会上流行是否超过 10 天？说明理由。蓝天家教网 伴您快乐成长（理）例 9某人在治疗疾病时使用了一种特效药，每天早晚八时各服用一片。现知该药每片 220 亳克，他的肾脏每十二小时从体内滤出这种药的 60%；并且如果这种药在体内残留量超过 386 亳克，就将产生副作用，请问：（1）该人上午八时第一次服药，问第二天早间服药后，药在他体内还残留多少？（2）若该人长期服用该药会不会产生副作用三、练习1如图，某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为 (单位:米)的,xy矩形,上部是斜边长为 的等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为 8 平方米. x（）求 的关系式，并求 的取值范围；（）问 分别为多少时用料最省?,y ,xy2某单位建造一间地面面积为 12m2 的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度 x不得超过 a 米，房屋正面的造价为 400 元/m 2，房屋侧面的造价为 150 元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为 5800 元，如果墙高为 3m，且不计房屋背面的费用.（1）把房屋总价 y 表示成 x 的函数，并写出该函数的定义域；（2）当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低是多少？蓝天家教网 伴您快乐成长3某租赁公司拥有汽车 100 辆. 当每辆车的月租金为 3000 元时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加50 元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费 200 元. （）当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车？ （）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少元？4某种产品每件成本为 6 元，每件售价为 x 元（x6） ，年销量为 u 万件，若已知 与u85成正比，且售价为 10 元时，年销量为 28 万件。2)1(x（1）求年销售利润 y 关于 x 的函数关系式；（2）求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润。5某工厂统计资料显示，一种产品次品率 p 与日产量 x (xN*, 80x100)件之间的关系如下表所示：日产量 x 80 81 82 x 98 99 100次品率 p 128 127 126 P (x) 110 19 18其中 P (x)= （a 为常数） 已知生产一件正品盈利 k 元，生产一件次品损失元 （k 为给定的常数）1a x k3（1）求出 a，并将该厂的日盈利额 y（元）表示为日生产量 x（件）的函数；（2）为了获得最大盈利，该厂的日生产量应该定为多少件？蓝天家教网 伴您快乐成长6制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100和 50，可能的最大亏损率分别为 30和 10. 投资人计划投资金额不超过 10 万元，要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？7某个体经营者，一月初向银行贷款 1 万元作为开店启动资金，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的 20%，每月月底需要交纳的所得税为该月利润的 10%，每月的生活费开支为 540 元，余额作为资金全部投入下个月的经营，如此不断继续下去。问到这年年底该个体户还贷款前尚余多少资金？假设银行贷款的年利息为 5%，该个体户还清贷款后还有多少资金？（参考数据：1.18 105.23，1.18 116.18，1.18 127.29。结果精确到 0.1 元）（理）8某个 QQ 群中有 n 名同学在玩一个数字哈哈镜游戏，这些同学依次编号为 1,2,n.在哈哈镜中，蓝天家教网 伴您快乐成长每个同学看到的像用数对(p， q)(p q)表示，规则如下：若编号为 k 的同学看到的像为（p，q） ，则编号为 k+1 的同学看到的像为(q，r) ，且 qp = k(p、q、rN *).已知编号为 1 的同学看到的像为（5，6）.（1）请根据以上规律分别写出编号为 2 和 3 的同学看到的像； （2）求编号为 n 的同学看到的像.参考答案例 1. 解：()总成本为 xxc2104)(所以日销售利润 )(cgfQ 40,1402,1402563 xxx ()当 时， 21051032/ xxQ令 ，解得 或 )(/ 7于是 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，所以 在 时取到最大值，x, 40,1 )(xQ40且最大值为 30000；当 时， 40x 31402)(xQ综上所述，若要使得日销售利润最大，每天该生产 400 件产品，其最大利润为 30000 元例 2解:（1）安全负荷 为正常数） 翻转klady(212,90ldaky后，安全负荷变大.4 分当 ，安全负荷变小.2,0,day时当1时（2）如图，设截取的宽为 a，高为 d，则 . 2224,)( RdaR即枕木长度不变，u=ad 2 最大时，安全负荷最大.)(42422 Rda蓝天家教网 伴您快乐成长32222 )(4)(4 dRdRd，当且仅当 ，即取 ，392236取 时，u 最大， 即安全负荷最大.Rda22例 3解法一：以 O 为原点， OA 所在直线为 y 轴建立直角坐标系如图，依题意可设抛物线方程为 ).2,4(),0(2Cpxy且，1故曲线段 OC 的方程为 ).40(2xy设 是曲线段 OC 上的任意一点，)40)(,xP则在矩形 PQBN 中， ，xPNxQ|,2|工业区面积 ，842)4(| 213 xS 0:0,23 12111 xSx得令即： .94,)(3(,4212121 x当 的增函数；xS是时 ,0,)9(当 的减函数；x是时4时，S 取到极大值，此时,382|xPQ5.97638.92| xPN)(.,02maxk时答：把工业园区规划成长为 ，宽为 的矩形时，工业园区的面积最大，km38最大面积约为 9.5km2.解法二：由解法一得：曲线段 OC 的方程为 ).40(xy设 是曲线段 OC 上的任意一点，)0)(,2yP蓝天家教网 伴您快乐成长4x+5y-200=03x+10y-300=0Ao10 xy10050203040则在矩形 PQBN 中， ,4|,2| 2yPNyQ工业区面积 ,84)(| 23 yPS.,30,43212 yy得令.,0当 的增函数；ySy是时 ,)3(当 时， 的减函数，2,是0时，S 取到极大值，此时 ，y 382|yPQ.597638.94|2 PN).(5.,02kmyzx时答：把工业园区规划成长为 的矩形时，工业园区的面积最大，最大面38,宽 为积约为 .259km例 4解：设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为 套，月利润为 元，由题意得,xyz.0,31yx()xyN目标函数为 .1207z作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图： 7 分目标函数可变形为 ，1207zxy473,5120当 通过图中的点 A 时， 最大，这时 Z 最大。zyxz解 得点 A 的坐标为（20,24） ，4,310将点 代入 得 元(2,)A7012zxymax70214280z答：该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为 20，24 套时月利润最大，最大利润为 42800 元-蓝天家教网 伴您快乐成长例 5 （）解：设 S 为十字形的面积，则 2xyS ).24(cossin2（）解法一： ,2cossin21coin1)i5其中 当 最大. .5arcoS,1)i(时即 所以，当 最大,S 的最大值为 S,52rcs14时 .215解法二： 因为 所以,oin2S cosinsico令 ，即 可解得 ,所以，当.2sco20 ,0sinc)2art(12时，S 最大，S 的最大值为 )artn(1 .215例 6剖析：首先抽象为数学问题，半圆中的点可分为三类：（1）沿 AP 到 P 较近；（2）沿 BP 到 P 较近；（3）沿 AP、BP 到 P 同样远.显 然 ， 第 三 类 点 是 第 一 、 二 类 的 分 界 点 ， 设 M 是 分 界 线 上 的 任 意 一 点 .则 有 |MA|+|PA|=|MB|+|PB|.于是|MA| |MB|=|PB|PA|=150100=50.从而发现第三类点 M 满足性质：点 M 到点 A 与点 B 的距离之差等于常数 50，由双曲线定义知，点M 在以 A、B 为焦点的双曲线的右支上，故问题转化为求此双曲线的方程.解：以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 的中点为原点建立直角坐标系 xOy，设 M（x，y ）是沿AP、 BP 运土同样远的点，则|MA|+|PA|=|MB|+|PB|，|MA |MB|=|PB|PA|=50.在PAB 中，由余弦定理得|AB|2=|PA|2+|PB|2 2|PA|PB|cos60=17500， 且 50 |AB|.由 双 曲 线 定 义 知 M 点 在 以 A、 B 为 焦 点的 双 曲 线 右 支 上 ， 设 此 双 曲 线 方 程 为 =1（ a 0， b 0） .2axby 解之得 .2217504bac375062M 点轨迹是 =1（x 25）在半圆内的一段双曲线弧 .于是运土时将双曲线左侧的土沿 AP 运6xy到 P 处，右侧的土沿 BP 运到 P 处最省工.评述：（1）本题是不等量与等量关系问题，涉及到分类思想，通过建立直角坐标系，利用点的集合性质，构造圆锥曲线模型（即分界线）从而确定出最优化区域.（2）应用分类思想解题的一般步骤：确定分类的对象；进行合理的分类；逐类逐级讨论；归纳各类结果.蓝天家教网 伴您快乐成长例 7X=6 ，t= 51081解：（）由题意得： (,),2xyy（）设框架用料长度为 ，则l2lxy当且仅当316()4284.3162,842x（ ） ,满足 ,y0.x2解：（1）由题意可得， 580)1250(3xy)58)6(9axx（2）xy当且仅当 即 x=4 时取等号 若6 .,4,有 最 小 值时a当 2121,0(,4xaa且任 取 )(16)(90 580)6(958221 2xxy 0,16,0.22121 1yaxx ax上是减函数当 x=a 时 y 有最小值0(58)(9y在 580)16(90a3解：（）当每辆车的月租金定为 3600 元时，未租出的车辆数为 ，253所以这时租出了 88 辆车. （）设每辆车的月租金定为 x 元，则租赁公司的月收益为80,42.4xyQ,蓝天家教网 伴您快乐成长， )20(5310()xxf整理得 . 3042)1(5032164582 xx所以，当 x=4100 时， 最大，最大值为 ， )(xf )(f答：当每辆车的月租金定为 4100 元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为 304200 元. 4解：（1）设 ,)421(85ku售价为 10 元时，年销量为 28 万件； .,)0(22解 得 188541xxu .10832)6( 22 xxy（2） )9(6)9106 xx令 ),(20y或舍 去得 显然，当 时， 时，)9,x),(xy当 0y函数 上是关于 x 的增函数；9610832在y在 上是关于 x 的减函数。),(当 x=9 时，y 取最大值，且 .35maxy售价为 9 无耻 时，年利润最大，最大年利润为 135 万元。分5解：（1）根据列表数据可得 ， 108),80()( *NxxP由题意，当日产量为