二元函数连续性、偏导数及可微性的讨论

西安文理学院数学系本科毕业论文开题报告论文题目 二元函数连续性、偏导数及可微性的讨论毕业年份 2010.6 系院 数学系 专业、班级数学与应用数学 06 级 2 班学生姓名 韩晓莉 学号 02101060211 指导教师 胡洪萍一、拟开展研究的价值和意义二元函数的连续性，偏导数及可微性是数学分析中的一个重要概念，深刻理解并掌握此内容及它们之间的关系有着重要的应用价值。在我们的教材中对于该部分的内容比较粗略，比较浅显，二元函数连续性，偏导数及可微性一直也是数学分析学习中的一个难点，使初学者在学习过程中常遇到一些困难，因此有必要对此部分有关内容进行总结、探讨，对教材内容做一适当的补充和扩展，也对初学者学习数学分析有一定的借鉴作用. 二、研究的步骤方法1.选题定内容：根据自己的能力，结合理论意识和现实意义，选择有现实针对性的内容。2.收集资料：在题目所涉及的领域中广泛收集材料，并将材料分为理论材料和现实材料，对所收集的材料进行分析、比较、筛选。3.确定主要参考书目：从相关的材料中筛选与论文密切相关的参考书目为只要参考文献，再进一步进行精读分析。4.写开题报告和资料综述：在开题报告中确定研究内容的范围和论文提纲。5.撰写论文：完成论文写作一稿，二稿，三稿，在此过程中与指导老师联系，请求相关问题。6.答辩前的准备：对自己的论文和资料进行重新阅读，理清思路，抓住重点，实事求是，谦虚谨慎。7.定稿：论文经导师同意后，定稿打印，对打印格式进行校对。8.答辩。三、论文拟定提纲（一）二元函数的连续、偏导及可微的定义1. 连续的定义 2.偏导的定义 3.可微的定义（二）二元函数连续性的进一步研究（三）举例说明二元函数偏导数、可微性之间的关系（四）举例说明二元函数可微性、连续性之间的关系（五）举例说明二元函数连续性，偏导数及可微性之间关系四、主要参考文献1 华东师范大学数学系 . 数学分析（下）M . 北京: 高等教育出版社，2001: 100 112 2 吉米多维奇 . 数学分析习题集M . 北京: 人民教育出版社, 1958: 62-783马振民. 数学分析的方法与技巧选讲M. 兰州: 兰州大学出版社, 1999: 36-54.4 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法M. 北京: 北京高等教育出版社, 1993: 86-97.5 华东师范大学数学系 . 数学分析M . 北京: 人民教育出版社, 1981: 137-160.6 李超. 有关多元函数连续性的几个新结论J. 韶关学院学报（自然科学版）.2002，23（6）: 1-6.7 周良正，王爱国 . 偏导数存在，函数连续及可微的关系J. 高等函授学报（自然科学版）.2005，19（5）: 1-4.8 何鹏，余文辉，雷敏敛. 二元函数连续、偏导、可微等诸条件间关系的研究J. 南昌高专学报. 2005，61（6）: 1-2.9 黄梅英. 浅谈二元函数可微性J. 三名师专学报. 2000，17（1）: 1-5.10 龚俊新. 二元函数连续、偏导、可微之间的关系J. 湖北师范学院学报（自然科学版）.2000，20（3）: 1-3.指导教师意见及建议签字： 胡洪萍09 年 3 月 10 日系（院）主管主任意见及建议签字（盖章）： 年 月 日 注：此表前 4 项由学生填写后，交指导教师签署意见，经主管系主任审批后，才能开题。西安文理学院数学系本科毕业论文进度表论文题目 二元函数连续性、偏导数及可微性的讨论学生姓名 韩晓莉 专业班级 数学与应用数学06 级 2 班指导教师 胡洪萍写作提纲审核指导意见：论文提纲的内容层次清晰，简明扼要，重点突出，基本符合要求，作者对论文内容的结构框架已基本做到了心中有数，建议：进一步搜集更多的资料，并对搜集的资料整理归类，力争丰富论文内容；能在对资料认真分析、研读的基础，有更多的启发，从而写出自己更多的新观点，使文章更具有创新性。签字：胡洪萍年月日初稿审核指导意见：论文涉及的内容对二元函数连续性、偏导数及可微性的认识有一定的指导意义，正文写作思路基本明确，论述比较充分，条理层次清晰。但对于文章的语言不够精炼，个别段落的标题不够恰当，不够准确，文章中的有些衔接语言不够贴切。希望认真阅读论文，纠正类似错误，同时注意第三到第五部分应先写出结论，再给予证明，找出连续与偏导、偏导与可微、连续与可微之间存在的关系。签字：胡洪萍年月日二稿审核指导意见： 在一稿的基础上有了一定的改进，主要问题多已解决，特别是一稿中第三到第五部分的修改。请注意数学语言的准确性,认真斟酌画红线的句子，将第三部分放到最后，并去掉结束语，注意完善。签字：胡洪萍年月日三稿审核指导意见：经过前两次的修改，论文的结构已比较完整，各部分基本符合论文的写作规范。希望对文章中的个别错别字，语句不通顺的地方以及标点符号作全面的检查纠正，并且按照西安文理学院数学系学士学位论文格式要求排版，力求版面整齐和谐。 签字：胡洪萍年月日定稿审核指导意见：经过多次的修改，论文的内容及论述观点已科学合理，能重点围绕二元函数连续性、偏导数及可微性展开论述，有一定的自己的观点，文章结构合理，格式规范，内容充实，排版合理。达到了论文题目对内容的要求,论文可以定稿。签字：胡洪萍年月 日实验方法、技术审核指导意见：在论文的写作过程中，作者能够按照指导教师提供的查找资料途径，合理、有效地利用图书馆、实验室及网络，加强对资料的收集整理与分析。签字：年 月 日读书笔记或实验记录情况：论文完成期间，作者查阅了大量的相关文献资料，并认真地撰写了近万字的读书笔记。通过读书笔记反映了该同学在论文撰写中进行了充分的准备工作，掌握了较为科学的研究问题的手段和方法。签字：胡洪萍2009 年 5 月 31 日分类号： 西安文理学院数学系学士学位论文二元函数连续性、偏导数及可微性的讨论系 院 名 称 数 学 系 指 导 老 师 胡 洪 萍 学 生 姓 名 韩 晓 莉 学 生 学 号 02101060211 专 业、班 级 数学与应用数学 06 级 2 班 提 交 时 间 二一年五月二十一 西安文理学院数学系二元函数连续性、偏导数及可微性的讨论韩晓莉（西安文理学院 数学系，陕西 西安 710065）摘要： 本文对多元函数微分学中连续、偏导数及可微三个概念之间的关系作了较为详细的论述，并给出了简洁全面的证明，同时给出相应的反例加以说明，用实例说明了它们的无关性与在一定条件下所具有的共性.关键词： 二元函数；连续；偏导数；可微多元函数微分学的内容与一元函数微分学的内容大体上是平行的，但在注意多元函数与一元函数的共性的同时，特别要注意多元函数所具有的特性.二元函数的连续性、偏导数及可微性是数学分析中的一个重要概念，在一般的教材中对于该部分内容的介绍比较粗略，比较浅显，本文就二元函数连续性、偏导数及可微性在教材相关内容的基础上进行进一步的探讨、研究，对教材内容做一些适当的补充和扩展，为后继课程的学习奠定基础.1 二元函数连续、偏导、可微的定义定义 1 设 为定义在点集 上的二元函数, (它或者是 的聚点，f 2DR0PD或者是 的孤立点).对于任给的正数 ，总存在相应的正数 ，只要D，就有0(;)PU0(),fP则称 关于集合 在点 连续，也称 在点 连续.f0f0P若 在 上任何点都关于集合 连续，则称 为 上的连续函数.DfD定义 2 设函数 在点 的某一邻域内有定义，当 固定在 ，yxfz,),(0yy0而 在 处有增量 时，相应地函数有增量 x000,ff如果极限 存在，则称此极限为函数 在点xyx0limyxfz,处对 的偏导数.),(0y如果函数 在区域 内每一点 处对 (或对 )的偏导数都存在,那yxfz,Dyx,y么这个偏导数就是 ， 的函数，称它为函数 对自变量 （或对 ）xfz,xy的偏导函数.定义 3 设函数 在点 的某邻域 内有定义，对于yxfz,0,yP0PU中的点 ,若函数 在点 处的全增量可表示为 0PUyx00, f, BAffz,0其中 A,B 是仅与点 有关的常数， ， 是较 高阶的无穷小P2yx量，则称函数 在点 处可微，并称上式中关于 ， 的线性函数 A Bf0 x为函数 在点 的全微分，记作y. yBxAyxdf0,2 二元函数的连续性一元函数若在某点存在左导数和右导数，则这个一元函数必在这点连续，但对于二元函数 来说，即使它在某点 既存在关于 的偏导数yxf, 0,yxPx，又存在关于 的偏导数 ， 也未必在点 连0,yxf 0,fyf0,yP续.不过，我们却有如下定理：定理 1 设函数 在点 的某邻域 内有定义,若xfz,0,yx0U作为 的一元函数在点 = 连续, 在 内有界,则 在yxf,0 y0f yxf点 连续.P证明 任取 , 则x00,0PU0,yfyxf= (1)0000 , yxfyxf由于 在 存在 ,故对于取定的 , 作为 的一元函数fx,PUx在以 和 + 为端点的闭区间上可导,从而据一元函数微分学中的拉格朗日中0值定理,存在 (0 ,1) ,使xyxfyxfyxf x00000 , 将它代入(1) 式, 得000,ff= . (2)0,yxfyxyxx 由于 ,故 有界,因而当y00,0PUf00,时, 有,0.yxfx00x又据定理的条件知, 在 = 连续,故当 时, 又有f,0,yx0.0,yf所以, 由(2) 知, 有 = 0.0limyox00,yxfyxf这说明 在点 连续.f,P推论1 设函数 在点 的某邻域 内有定义，若fz0,0PU作为 的一元函数在点 = 连续, 在点 连续,则yxf,0 yyxf,yx在点 连续.0,yx证明 由于 在点 连续,故 必在点 的某邻域f0xPfx,0,内有界,因而据定理1 , 在点 连续.,y推论2 设函数 在点 的某邻域 内有定义. 若yfz0,0PU在 有界, 存在,则 在点 连续.yxf,0U0xxf,yx证明 由于 存在,故 作为 的一元函数在点 = 连续,因而0fy yf 0据定理1 , 在点 连续.,P推论3 设函数 在点 的某邻域 内有定义，若xfz,0,x0P在点 连续 , 存在,则 在点 连续.yxf,0,y0yyxf,0,yx证明 由于 在点 连续,故 必在点 的某邻域fx内有界. 又由于 存在,故 作为 的一元函数在点 = 连续,因0yxf0 0而据定理1 , 在点 连续.f,yP同理可证如下的定理2及其推论.定理2 设函数 在点 的某邻域 有定义, 在xfz,0,x0PUyxf,内有界 , 作为 的一元函数在点 = 连续,则 在 连0PU0yf 0xf0续.推论1 设函数 在点 的某邻域内 有定义, 在xfz,0,yxP0yxf,点 连续, 作为 的一元函数在点 = 连续,则 在点0yx0yxf连续.0,P推论2 设函数 在点 的某邻域内 有定义, 在xfz,0,yx0PUyxf,内有界 , 存在,则 在点 连续.0U0yfxf0,推论3 设函数 在点 的某邻域 有定义, 在f0,Pfy,点 连续, 存在,则 在点 连续.0yP0xyxf0,yx3 二元函数 在点 偏导与可微的关系fy定理3 若二元函数 在点 可微，则 在该点关于每个自变量的f,f偏导数存在且为 .yxf,证明 如果函数在点 可微， 的某个邻域，则P,yx,0P总成立，当 =0，上式仍成立，Az y此时， ， ，xxff A,xx fxyff,lim0所以 存在，同理可证 存在.fy注意 函数 在某点 可微， 在该点 偏导数必存在;但f,yxf,在某点 偏导数存在，函数在该点却不一定可微.yxf,x例1 证明函数 = 在原点 存在两个偏导数但不可微.yf,x0,证明 由于 =0xffx,lim= 0=0=,yfyffy0,li0= ylim0=0所以函数在原点两个偏导数存在.下证函数在原点不可微，用反证法，设函数在原点可微，于是= + =0df0,x,yf= (0+ ,0+ )- (0,0)= yx特别取 = ，有 = = =xyfyx2=2x所以 = 0xdfxlimli00 1这说明 比 不是高阶无穷小， （当 时）此与可微的定义矛盾，故f 函数 = 在原点 不可微.yz,4 二元函数 在点 可微与连续的关系xf0y定理4 若二元函数 在其定义域内一点 可微，则 在该点必然连f, yx,f续.证明 事实上 ， ，Ayxz 0limzyxfzyxfyxfyx ,lim,lim00 故 在 连续.,注意 函数 在某点 可微，则 在该点 连续;但 在某f,f, yxf,点 连续，函数在该点却不一定可微.yx,例2 证明函数 = 在 点连续，但在该点不可微.yxf,2siny0,证明 ,有20,R 202sisi, yxyxyxff =2 2sinco20yxyx202yxyx0则 0， ，当 时，有202yx0,fyf则 在 连续，即在 点连续.f0,yx,又因为 不存在xxffx sinlm,lim00不存在yyffyy il,li 00所以 在 点不存在偏导数，即在该点不可微.f,5 二元函数 在点 连续、偏导、可微的关系xf0,对于二元函数可微的充分性条件，一般的数学分析教材如华东师范大学编的数学分析是这样叙述的：若函数 的偏导数在点 的某邻域内存在，且 与1定 理 yxfz,0,yxxf在点 处连续，则函数 在点 可微.yf0,xf0关于二元函数可微的充分性条件，如果完全放弃对两个偏导数的连续性要求，从另一个条件出发，仍可得到可微的充分条件的另一命题.定理5 若函数 在点 的邻域G内 连续，yxfz,0,yxPyxf,存在，则函数 在点 可微.0,yxf 0证明 对于邻域G内任意一点 ，函数有全增量yx00,= z00,fyxf= 000 , yxff由于一元函数 在点 的邻域G内满足微分中值定理条件，f0,yx有（0 1） xyxfyfyxf x00000 , 已知 在点 连续，故有P=xfx00,f0,（ ， ）lim 2y又由于 存在，故一元函数 在 可导，于是有0,yf xf,00y（ ）yxfxy0, 0lim从而有= z 000,xff= yyxyyx 而 （ ）或 ，yx于是 yxffzy00,即函数 在点 可微.注意 这个条件是可微的充分条件并非必要条件，即 在yxfz,的邻域G内 存在但 不连续，但 在点 也可0,yx0,yxfyxf,f,0微.例3 设函数 = ，讨论 在yxf,0,1sin22yx02yxyxf,原点 （1） 是否存在 （2） 是否连续 （3）是否可微.,yf xf解 （1）由定义知 = 0,yfyfy0,lim= yy2201sinli=0所以 是否存在.0,yf（2）因为当 时， 偏导数存在，故2xyxf,，,0,1cos1sin, 222yxyfx 02yx而 不存在，故 在原点不连续.fxylim0yxf,（3）因为 ，221sinyxz0illi 200d所以 在原点可微.yxf,对于二元函数 在某点 的连续性与偏导数存在，两者之间没有yxf,0,yx必然的联系，即 在某点 偏导数存在与否，与其在该点是否连续无关.例4 证明函数 = （圆锥）在原点的连续性，但偏导数不yxf,2存在.证明 因为 20,0, limli yxfyxyx=0= ,f所以 在原点连续.yxf,又因为 xfffxx 0,limli00= x0li= x0li此极限不存在，因此 在原点关于 的偏导数不存在，同理可证，yxf,x在原点关于 的偏导数也不存在.yxf,例5 证明函数 = ，在原点存在偏导数但不yxf,0,202yx连续.证明 由偏导数的定义有xfffxx,lim,0= =0 同理可证 =0，即在原点关于 与 的偏导数存在 .0,yf xy又因为当动点 沿直线 而趋于定点 时，由于此时xmy0,21,ff所以 xxmxy ,li,li00, = 21此结果说明动点沿不同斜率 的直线趋于定点时，对应得极限值也不同，故在m原点没有极限，从而不连续.以上两例说明 在某点 偏导数存, 在点 可以不连续；yxf,0yxyxf,0,y在某点 连续， 在点 偏导数也可能不存在.即yxf,0f,0在某点 偏导数存在与否，与其在该点是否连续无关.,结束语本文以上的讨论说明了函数 在某点 的连续、偏导数及其在该yxf,0,yx点是否可微之间的关系，它们虽然没有直接的联系，但当偏导数存在且连续时，其可微性、连续性都存在了.参考文献1 华东师范大学数学系 . 数学分析（下）M . 北京: 高等教育出版社，2001: 100 112 2 吉米多维奇 . 数学分析习题集M . 北京: 人民教育出版社, 1958: 62-783马振民. 数学分析的方法与技巧选讲M. 兰州: 兰州大学出版社, 1999: 36-54.4 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法M. 北京: 北京高等教育出版社, 1993: 86-97.5 华东师范大学数学系 . 数学分析M . 北京: 人民教育出版社, 1981: 137-160.6 李超. 有关多元函数连续性的几个新结论J. 韶关学院学报（自然科学版）.2002，23（6）: 1-6.7 周良正，王爱国 . 偏导数存在，函数连续及可微的关系J. 高等函授学报（自然科学版）.2005，19（5）: 1-4.8 何鹏，余文辉，雷敏敛. 二元函数连续、可偏导、可微等诸条件间关系的研究J. 南昌高专学报. 2005，61（6）: 1-2.9 黄梅英. 浅谈二元函数可微性J. 三名师专学报. 2000，17（1）: 1-5.10 龚俊新. 二元函数连续、偏导、可微之间的关系J. 湖北师范学院学报（自然科学版）.2000，20（3）: 1-3.Dual function continuity, partial derivative and differentiability discussionHAN Xiao-li（Department of Mathematics, Xian University of Arts and Science, Xian 710065,China） Abstract：This article to the function of many va