人寿保险购买情况的回归分析[1].

大学生数学建模承 诺 书我们仔细阅读了数学建模的规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。所属班级（请填写完整的全名）： 2009 级数学与应用数学班 队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. ） 小组负责人 (打印并签名)： 日期： 2012 年 4 月 7 日教师评阅：目录摘 要 1一、问题的提出 1二、符号说明与假设 2三、问题分析 2四、模型的建立与求解 24.1 模型I 的建立与求解 .24 .2 模型II的建立与求解 44 .3 模型I II的建立与求解 .8五、结果分析 9六、模型的评价 11七、模型的改进与推广 12八、参考文献.12九、附录 13保险额与年平均收入和风险保险额- 1 -题目：保险额与年平均收入和风险偏好度的回归分析摘要：为了更好地了解人寿保险额，经理年平均收入，风险偏好度的关系，利用18位35岁44岁经理的数据，建立数学模型，并通过模型建立他们之间的关系，来判断它们有什么关系，利用 MATLAB 软件的统计工具箱结合题中所给数据对各参数的值与其置信区间进行了估计，并很好地通过了回归的检验。在通过对原模型进行改进的基础上 ，以一预测模型各参数的置信区间不应有零点作为该预测模型可行的原则，验证了经理的人寿保险额与其风险偏好度之间存在二次效应，经理的年均收入和风险偏好度对其人寿保险额不存在交互效 应，运用软件对我们的模型进行验证，分析结果然后综合得到。关键词：保险额 年平均收入 风险偏好度回归系数 置信区间 统计回归方法 一、问题提出：下表列出了某城市 18 位 35 岁44 岁经理的年平均收入（千元） ，风险偏好度和人寿保险额（千元）的数据，其中风险偏好度是根据发给每个经理的问卷调查表综合评估得到的，它的数值越大，就越偏爱高风险。研究人员想研究此年龄段中的经理所投保的人寿保险额与年均收入及风险偏好度之间的关系。研究者预计，经理的年均收入和人寿保险额之间存在着二次关系，并有把握地认为风险偏好度对人寿保险额有线性效应，但对风险偏好度对人寿保险额是否有二次效应以及两个自变量是否对人寿保险额有交互效应，心中没底。请你通过表中的数据来建立一个合适的回归模型，验证上面的看法，并给出进一步的分析。序号 y x1 x21 196 66.290 72 63 40.964 53 252 72.996 104 84 45.010 65 126 57.204 46 14 26.852 57 49 38.122 48 49 35.840 69 266 75.796 910 49 37.408 511 105 54.376 212 98 46.186 713 77 46.130 414 14 30.366 3保险额与年平均收入和风险保险额- 2 -15 56 39.060 516 245 79.380 117 133 52.766 818 133 55.916 6（表一）二、符号说明与假设：人寿保险额y经理的年平均收入1x风险偏好度2回归系数（ =0、 1、2、3,4）ii随机误差回归方程的决定系数2R统计量值F与统计量对应的概率值p基本假设：、风险偏好度对人寿保险额有二次效应； 1、风险偏好度和经理年平均收入对人寿保险额有交互效应。 2三、问题分析：在现实生活中，35 岁44 岁之间的经理很关心他们的人寿保险额跟风险偏好度和年平均收入有怎样的关系，本问题研究的是 35 岁44 岁经理的年平均收入与风险偏好度和人寿保险额之间的关系，通过调查发现人寿保险额受经理的年平均收入与风险偏好度的影响，依次来研究它们之间的关系。基于上面的分析，我们利用 x1 和 x2 来建立 y 的预测模型：四 、模型建立4.1 基本模型 ：通过大概的分析并根据题意得 y 与 x1 和 x2 的关系，利用表一的数据分别作出了 y 与 x1 和 x2 的散点图（如下图所示） 。保险额与年平均收入和风险保险额- 3 -图一（y 对 x1 的散点图）图二（y 对 x2 的散点图）通过（图一）我们发现，随着 x1 的增长，y 有明显向上弯曲增加的趋势，图中的曲线可以用二次函数模型y=0+1x1+2x12 + （1）拟合的 （其中 是随机误差） 。而在图二中，当 x2 的增大时，y 有明显增长趋势，图中的直线用线性模型y=0+1x2 + （2）拟合的（其中 是随机误差） 。综合以上的分析，结合模型（1）和（2）建立如下模型：保险额与年平均收入和风险保险额- 4 -y=0+1x1+2x12+3x22+ （3）（3）式右端的 x1 和 x2 称为回归变量（自变量） ， 0+1x1+2x12+3x22 是给定经理的年平均收入 x1、风险偏好度 x2 时，人寿保险额 y 的平均值，其中的参数 0， 1， 2， 3 称为回归系数，由表 1 的数据估计，影响 y 的其他因素作用都包含在随机误差 中，如果模型选择得合适， 应大致服从均值为零的正态分布。模型求解：直接利用 MATLAB 统计工具箱中的命令 regress 求解，使用格式为：【b,bint,r,rint,stats】=regress(y,x,alpha) 其中输入 y 为模型（3）中 y 的数据（n维向量，n=30） ，x 为对应于回归系 =（ 0， 1， 2， 3）的数据阵【1 x1 x2 x22】 （n4 矩阵，其中第 1 列为全 1 向量） ，alpha 为置信水平 （缺省时=0.05） ；输出 b 为 的估计值，常记做 ，bint, 为 b 的置信区间，r 为残差向量 y-x,rint 为 r 的置信区间，stats 为回归模型的检验统计量，有三个值第一个是回归方程的决定系数 R2（R 是相关系数） ，第二个是 F 统计量值，第三个是与 F 统计量对应的概率值 p。得到模型(3)的回归系数估计值及其置信区间（置信水平 =0.05） ，的结果见表 2.：参数 参数估计 参数置信区间0 -62.3486 -73.5025 -51.19471 0.8396 0.3951 1.28402 5.6846 5.2604 6.10893 0.0371 0.0330 0.0412R2=1 F=8.2737 p=0（表二）结果分析； 表 2 显示检查他们置信区间得到， 0， 1， 2， 3 都未包含零点，表明回归变量 x1， x2 都是显著的。表 2 的回归系数给出了模型（3）中 0， 1， 2， 3 估计值 ， 即 0=-62.3486， 1=0.8396， 2= 5.6846， 3= 0.0371。因此，该模型还是可用的，为了更好地理解风险偏好度和经理年平均入对人寿保险额的关系，对此进行改进。 4.2 模型改进 II：模型（3）中回归变量 x1 和 x2 对因变量 y 的影响是相互独立的，即经理的年平均收入 x1 和人寿保险额 y 之间存在二次关系，并风险偏好度与人寿保险额y 有线性关系，保险额与年平均收入和风险保险额- 5 -根据经验可以猜想，风险偏好度对人寿保险有二次关系，于是将模型（3） ，增加一项即：y= 0+1x1+2x2+3 x22 +4 x12 + （5）对 y 和 x12 散点图如下图所示：（y 和 x12 散点图） 下面让我们用表一的数据估计模型的系数，利用 matlab 的统计得到表三：参数 参数估计 参数置信区间0 -60.9101 -72.6072 -49.21301 0.9303 0.4389 1.42182 4.4529 1.6910 7.21493 0.0359 0.0310 0.04084 0.1159 -0.1409 0.3727R2=1 F=8.2737 p0.0033（表三）用模型（5）对人寿保险额做预测，经理的年平均收入 x1 和风险偏好度x2，表 3 的回归系数给出了模型（5）中的估计值 0， 1， 2， 3 ， 保险额与年平均收入和风险保险额- 6 -即 -60.9101， 0.9303， 4.4529， 0.0359， 4=0.1159,则人寿保险额的估计值 y =-60.9101+0.9303x1+4.4529x2+0.0359x22 +0.1159x12, 与模型（3）的结果相比，与表 3 检查它们的置信区间发现只有 4 的置信区间包含零点，表明回归变量 x12 不是太显著的，因此， 4 的估计值是不可靠的，要对模型（5）进行残差分析，首次回归所得图 2.1图 2.1图 2.1 个异常数据，剔除第 3 第 5 数据后再次回归，得到回归分析图 2.2。保险额与年平均收入和风险保险额- 7 -图 2.2再次踢出第五个数据再次得到回归分析图 2.32.3保险额与年平均收入和风险保险额- 8 -再次踢出第 9，10 数据后的回归分析图 2.4图 2.4结果如表四：参数 参数估计 参数置信区间0 -63.2111 -69.8785 -56.54381 1.0998 0.8367 1.36302 3.4542 1.7941 5.11423 0.0340 0.0311 0.03684 0.2450 0.0759 0.4140R2= 1 F= 2.7735 p0.0001表（四）在经过几组数据的踢出，使得模型的各估计值更为有了提升，无异常数据，该模基本可用。所以通过模型二的建立，其各计值 -63.2111， 1.0998， 3.4542， 0.0340， 4=0.2450,则其预测方程为：保险额与年平均收入和风险保险额- 9 -y =-63.2111+1.0998x1+3.4542x2+0.0340x22 +0.2450x12从中我们可知人寿保险额 y 与风险偏好度 x1 有二次关系，该模似乎可以使用了，但是为了得到人寿保险额 y 是否与风险偏好度 x1 和经理年收入 x2 有交互效应，我们将对模型（5）进行再次改进。4.3 模型 为进一步的了解人寿保险额 y 与风险偏好度 x1 和经理的年平均收入 x2 是否有交互效应，不妨简单的用 x1， x2 的乘积表示风险偏好度 x1 和经理的年平均收入 x2 交互效应，于是将模型（5） 进一步改进得到：y= 0+1x1+2x2+3 x22 +4 x12 +5 x1x2 + （6）在这模型中，假设风险偏好度 x1 和经理的年平均收入有关，下面我们通过分析作出了 y 跟 x1，x2 乘积的散点图，见如下表六和表七所示：80070060050040030020010002.01.51.00.50.0-0.5-1.0X1*X2y1y1 与 X1*X2 的 散 点 图（y1 与 x1x2 散点图）利用 matlab 统计工具箱中的命令求解，得到表（ 4）的回归系数估计值及其置信区间（置信水平 a=0.05）结果见表（5）：参数 参数估计 参数置信区间0 -65.3853 -78.7266 -52.04401 1.0172 0.5202 1.51412 5.2172 2.2785 8.15593 0.0358 0.0310 0.04064 0.1661 -0.0956 0.4279保险额与年平均收入和风险保险额- 10 -5 -0.0196 -0.0501 0.0109R2= 1 F= 7.1099 p0.0030表（五）用模型（5）对人寿保险额做预测，经理的年平均收入 x1 和风险偏好度x2，与模型（3）的结果相比，表 3 的回归系数给出了模型（5）中的估计值 0， 1， 2， 3 ， 4， 即 0= -65.3853， 1= 1.0172， 2=5.2172， 3= 0.0358， 4=0.1661, 5=-0.0196则人寿保险额的预测方程为y=-65.3853+1.0172x1+5.2172x2+0.0358x22+0.1661x12-0.0196x1x2根据表（3）检查它们的置信区间发现有 4, 5的置信区间包含零点，表明回归变量 x12，x 1x2不是显著的，对此不能正确判断，需对模型（6）作残差分析，首次进行得到图 3.1图 3.1踢出第 3,5 个数据后的回归分析图 3.2 如下所示：保险额与年平均收入和风险保险额- 11 -图 3.2再出第 5 个数据后的回归分析图 3.3 下所示：图 3.3通过残差分析得到数据如表所示：参数 参数估计 参数置信区间0 -64.7757 -72.7253 -56.82611 1.1075 0.8381 1.37682 3.8722 1.7990 5.94543 0.0347 0.0321 0.0374保险额与年平均收入和风险保险额- 12 -4 0.2917 0.0962 0.48715 -0.0160 -0.0332 0.0011R2=0.0001 F= 2.0635 p0.0001（表七）通过这三次的残差回归分析，踢出几组数据后，各数据都能表示人寿保险额 y 与风险偏好度 x1 和经理年平均收入 x2 的关系，可通过残差回归分析检查得到，最后的数据发现 5的置信区间包含零点，表明回归变量 x1x2（对变量 y 的影响）不是太显著地，我们将变量 x1x2从模型（6）中去掉。五、结果分析：模型（5）：表三显示，p 远小于 ，发现存在问题，通过残差回归分析，几次数据的踢出，得到的使数据更有说服力，模型从整体看上去还是可用的。表明人寿保险额 y 与风险偏好度 x1 有二次关系；所以，型（5）的预测方程为：y =-63.2111+1.0998x1+3.4542x2+0.0340x22 +0.2450x12模型（6）：表七显示，发现 5的置信区间包含零点，并通过残差回归分析，得到最后的数据，还是包含零点，得到最后的结论是去除模型（6）的变量x1x2 ,可知经理当中经理年平均收入 x2 和风险偏好度 x 两个自变量与人寿保险额 y 没有交互效应。六、模型的评价(1) 本文的模型在建立的过程中充分考虑到经济收入方面重要相关因素，得出了对本题的最佳模型。(2) 充分利用 MATLAB 等软件进行画图求证，所以误差较小，数据准确合理。本文在解决问题中使用的数据大部分为实验值，本身存在误差，我们没有使用实际数据进行检验。（3）在应用过程中，结合问题实际背景，在由假设的经理的人寿保险额只与其年均收入和风险偏 好度之间分别存在着二次效应和线性效应的前提下 ，我们利用混合线性回归模型(4)建立起了这三变量之间的函数关系式，并通过对该模型进行改进，验证了经 理的人寿保险额与其风险偏好度之间存在二次效应 ，经理的年均收入和风险偏 好度对其人寿保险额不存在交互效应。七、模型的改进与推广1.该模型不仅可用于人寿保险额与风险偏好度和年平均收入，也可用于其它方面，比如说。保险额与年平均收入和风险保险额- 13 -2. 由于题目给出的统计数据不是很精确，如果我们能对统计的方法进行改进，估计时间可以更加精确。3. 这个模型比较接近现实，它很有实用价值，可以为以后其他新药的推广提供参考。4.考虑到保险行业的特殊性 ，尽管结合调查数据，我们利用混合回归模型建立 起了有关经理的人寿保险额与其年均收入和风险偏好度之间 的函数关系式，然而调查数据量很少，且我们并不能肯定经理的风险偏好度与其平均收入之间没有相关性，所建立的模型也并不能准确的对结果进行预测。八、参考文献（1）数学模型（第三版）.姜启源，谢金星，叶俊.北京，高等教育出版社，2012（2）MATLAB7.X 程序设计.王建卫，曲中水，凌滨.北京，中国水利水电出版社，2007九、附录模型 I 第一次分析： %未踢出前的 一y=196 63 252 84 126 14 49 49 266 49 105 98 77 14 56 245 133 133 ;x0=1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ;x1=66.290 40.964 72.996 45.010 57.204 26.852 38.122 35.840 75.796 37.408 54.376 46.186 46.130 30.366 39.060 79.380 52.766 55.916;x2=7 5 10 6 4 5 4 6 9 5 2 7 4 3 5 1 8 6;x3=4394.36 1678.05 5328.42 2025.90 3272.30 721.03 1453.29 1284.51 5745.03 1399.36 2956.75 2133.15 2127.98 922.09 1525.68 6301.18 2784.25 3126.60;保险额与年平均收入和风险保险额- 14 -x4=49 25 100 36 16 25 16 36 81 25 4 49 16 9 25 1 64 36;x=x0,x1,x2,x3,x4;alpha=0.05;b,bint,r,rint,stats=regress(y,x,alpha);rcoplot(r,rint)（图略）b =-60.91010.93034.45290.03590.1159bint =-72.6072 -49.21300.4389 1.42181.6910 7.21490.0310 0.0408-0.1409 0.3727r =0.72700.4326-2.2943-0.5397-3.3788-1.10242.6367-0.40880.8087-0.2602-0.12972.5586-1.0201-0.82490.67071.41651.8852-1.1770保险额与年平均收入和风险保险额- 15 -rint =-2.5610 4.0149-3.4379 4.3031-4.1867 -0.4018-4.3744 3.2951-6.2877 -0.4699-3.9695 1.7647-0.8425 6.1158-4.1858 3.3682-2.2604 3.8777-4.1121 3.5916-2.9567 2.6972-0.8788 5.9961-4.7723 2.7321-4.1082 2.4584-3.1819 4.5233-0.3912 3.2242-1.4489 5.2193-4.7434 2.3893stats =1.0e+003 *0.0010 8.2737 0 0.0033%踢出 5 数据后 一x4=49 25 36 25 16 36 81 25 4 49 16 9 25 1 64 36;y=196 63 84 14 49 49 266 49 105 98 77 14 56 245 133 133 ;x3=4394.36 1678.05 2025.90 721.03 1453.29 1284.51 5745.03 1399.36 2956.75 2133.15 2127.98 922.09 1525.68 6301.18 2784.25 3126.60;x1=66.290 40.964 45.010 26.852 38.122 35.840 75.796 37.408 54.376 46.186 46.130 30.366 39.060 79.380 52.766 55.916;x2=7 5 6 5 4 6 9 5 2 7 4 3 5 1 8 6;x0=1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ;x=x0,x1,x2,x3,x4;alpha=0.05;b,bint,r,rint,stats=regress(y,x,alpha)保险额与年平均收入和风险保险额- 16 -rcoplot(r,rint);%踢出 3,5 数据后 一x4=49 25 36 25 36 81 25 4 16 9 25 64 36;y=196 63 84 14 49 266 49 105 77 14 56 133 133 ;x3=4394.36 1678.05 2025.90 721.03 1284.51 5745.03 1399.36 2956.75 2127.98 922.09 1525.68 2784.25 3126.60;x1=66.290 40.964 45.010 26.852 35.840 75.796 37.408 54.376 46.130 30.366 39.060 52.766 55.916;x2=7 5 6 5 6 9 5 2 4 3 5 8 6;x0=1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ;x=x0,x1,x2,x3,x4;alpha=0.05;b,bint,r,rint,stats=regress(y,x,alpha)rcoplot(r,rint)模型 II第一次回归分析：%踢出3,5，后的 二x4=49 25 36 25 16 36 81 25 4 49 16 9 25 1 64 36;y=196 63 84 14 49 49 266 49 105 98 77 14 56 245 133 133 ;x3=4394.36 1678.05 2025.90 721.03 1453.29 1284.51 5745.03 1399.36 2956.75 2133.15 2127.98 922.09 1525.68 6301.18 2784.25 3126.60;x1=66.290 40.964 45.010 26.852 38.122 35.840 75.796 37.408 5