伴随矩阵的性质及其应用

1伴随矩阵的性质及其应用摘要：在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它我们可以推导出逆矩阵的计算公式，使方 阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性 质和应用有着与众不同的特点。伴随矩 阵不仅仅 可以求矩阵的逆，它还有很多重要的性质。本文介绍了伴随矩阵的十四条性质，每一条都给出了详细的证明，同时也给出了应用伴随矩阵性质的例子。伴随矩阵是矩阵学习中的重点和难点，它的性质及其应用更是学习中的重中之重，掌握这些性质、证明及其应用将有利于我们今后的数学学习.关键词：伴随矩阵 可逆矩阵 方阵性质Adjoint matrices properties and applicationsAbstract Adjoint matrices is matrix and linear algebra, is an important concept of an important branch of mathematics study many tools, through which we can deduce that the inverse matrix calculation formula of inverse square, is the problem can be solved, the status of adjoint matrix in the matrix, it is special the properties and application has unique characteristics. In university mathematics study, adjoint matrices is only used for the inverse matrix solution, not too deep understanding of adjoint matrix, actually there are many important properties, this paper introduces the properties of adjoint matrix 12 is given, every single detail of the proof and the partial nature, and introduces the application of the development process, along with matrix matrix was the key and difficult point matrix learning, it is also learning the properties and applications of priority, master these properties, proof and application will benefit our future mathematics learning. Keywords Adjoint matrix Reversible matrix The phalanx Properties矩阵是高等数学中非常重要的一个概念，而且应用相当广泛，它是线性代数的核心，矩阵的运算、概念和理论贯穿整个线性代数的学习中。伴随矩阵是一种特殊矩阵，它和矩阵的逆矩阵有着紧密的联系，方阵的伴随矩阵是在求可逆矩阵的逆矩阵时提出来的，是大学数学学习的重点和难点，而且也有很多的应用价值，和数学2其他分支的联系也很广泛，学习好伴随矩阵对学好大学数学是很重要的.本文将全面总结出一些有关方阵的伴随矩阵的性质及其应用，让我们对伴随矩阵的认识和理解更加全面.1.伴随矩阵的定义首先我们给出伴随矩阵和逆矩阵的定义。定义 1：设 是矩阵 A= 中元素 的代数余子式，则矩ijAnnnaaaa 212211ij阵 A =* nnnA 212211称为 A 的伴随矩阵。定义 2：设 A 为 n 阶方阵，如果有矩阵 B 满足 AB=BA=E,则 B 就称为 A 的逆矩阵，记为 B= 。1由以上定义我们看到只有方阵才有伴随矩阵和逆矩阵。2.伴随矩阵的性质2.1 伴随矩阵与逆矩阵之间的关系性质 1：设 A 为 n 阶方阵，AA =A A= E . *A证明：由行列式按一列（行）展开的公式得出:AA =A A= = E, 其中 = 。 * dd00 dA（1）该性质可以用来求矩阵的逆和伴随矩阵，是最直接常用的方法，也是最一般的3用法.性质 2：n 阶矩阵 A 可逆的充分必要条件是矩阵 A 的行列式不等于零，即. A*1,0且证明：由性质 1 知 AA =A A= E，故 A = A=E = .*1A*该性质用来直接求逆矩阵，对于求逆矩阵和矩阵的证明问题非常有用.性质 3：若 A 为非奇异矩阵，则 .1*1)(证明：因为 ，由性质 2 两边取逆可得11)(k故 ，*A1)(另一方面，由性质 2 有 ， A1)()*()() *1*11 （由 .1*1)(A该性质说明了 A 的逆的伴随矩阵和 A 的联系，也是常考的部分，有效的掌握对于解题很有帮助.2.2 伴随矩阵秩的性质性质 4：设 A 为 n 阶矩阵，则秩 A = .*时， 当 秩 时， 当 秩 时 ， 当 秩 2011n证明：（1）当秩 A= 时，则 A 是可逆的，即有 存在，所以,1A.1*可见，秩 = 。*An反之，当秩 =n 时， 可逆时，则有 存在，所以*1*)(A= ,1*)(必有 0，否则，由上式知 A=0，从而 =0，这与秩 = 矛盾，所以A*n0，于是秩（A）= ；n4（2）当秩（A）= 时，则 A 必有一个 阶子式不为 0，即 中至少有一个1n1n*A元素不为 0，所以，秩（ ） ，另外秩（A）= .则 =0，于是，*A.0*E从而，秩（A）+秩（ ）* .1.1),*）这 便 知 秩 （故 秩 （n反之若秩（ ）=1，则 中必有一个 ，即是说 必有一个 阶子式不为零，故秩* ij0n-但不能有秩（A）= ，否则，有秩 = ，而 这样与秩 矛盾，n-1 *A，2)(*A所以秩（A） ，则秩（A） ，因此,秩（A）= . 1n1（3）当秩（A） 时，则 A 中一切 阶子式均为 0，于是一切 ,0ij所以，这时有秩 反之，若秩 则 亦即 A 的一0*,0)(*,)(*，即 一 切,ij*A切 阶子式为 0，所以秩（A） .1n1n这是矩阵一章中综合性较强的问题，一方面注意到矩阵 A 的秩等于 A 的非零子式的最高阶数，另一方面注意到 的元素都是 A 的元素的 阶子式.该性质可以用来求 A* 1n的伴随矩阵的秩，A 的秩可以直接求出，通过 A 的秩可以直接求出 A 的伴随矩阵的秩.性质 5：秩 .A秩*2.3 伴随矩阵行列式的性质性质 6： = ，其中 A 是 n 阶方阵（n 2）.*1n 证明：若 0， AA = E， = = =A*An*An*1n若 =0，这时秩 A 1， =0，而也有 =1综合得 = .*1n性质 7：若 A 是 n 阶非零实矩阵， .0,*A则证明：用反证法，若 令一方面，设 A=， 则0EnijaR）（5= = =0 （2）A* niinii aa1212n1i2i 由（2）式主对角元素均等于 0，可得 此即 A=0，这与非),(,0njij 零矩阵的假设矛盾， .A条件 A 是实方阵中“实”字不能少，否则，比如设 A= 则,1i2.4 伴随矩阵的继承性0,*但性质 8 令 A,B 为 n 阶矩阵，则（1）A 对称 对 称 ；*（2）A 正交 正 交 ；（3）若 A 与 B 等价，则 也 等 价 ；与 *BA（4）若 A 与 B 相似，则 也 相 似 ；与（5）若 A 与 B 合同，则 也 合 同 ；与 *（6）A=B ；*（7）A 正定 正 定 ；（8）A 为可逆矩阵 为 可 逆 矩 阵 ；*A（9）如果 A 是可逆矩阵，那么 A 为反对称 .*为 反 对 称证明：这里只证（1） ， （2） ，其余的这里就不再证明了。(1) ;为 对 称 矩 阵*,)()T(2) 因为 A 是正交矩阵， 故是正交矩阵.EAETTT *)()(, *A6从该性质我们看到方阵有很多的性质是能“遗传”给它的伴随矩阵的，因此我们在不求矩阵伴随的时候就能通过原矩阵的性质去判断伴随矩阵的性质了。2.5 的性质*)(A性质 9： .TA)(*这个证明比较简单，在这里就不详细证明了，读者可自行证明.性质 10 一切 （不一定 A 非奇异）都有n .)(2*An证明： ,1*A（i）当秩 A=n 时， 用 左乘式子 A 两边得，可 逆 ，,01- E*用 A 换 A 得， 1*Ann2* )()()( (ii)当秩 A n-1 时，则秩 则,1*，从 而 秩 （ 0,0*,综合即证2-n*0)(.)(2n该性质讨论了 A 的伴随矩阵的伴随矩阵和 A 的关系，一些问题会涉及此性质，应多加注意.2.6 伴随矩阵的其他性质性质 11：若 A 为 n 阶矩阵，则 =a A . (a 为实数)*)(a1n*证明：设 A= 再设 = ，ija)(Aijb那么 为行列式 中划去第 行和第 i 列的代数余子式（n-1 阶行列式） ，ijb其中每行提出公因子 a 后，可得 ，),.21,(1njianij 由此即证 =a A .*)(a1n*数乘矩阵的伴随矩阵可以用该性质很好的得出，本性质是一些选择、填空常考点.性质 12 设 A,B 均为 n 阶方阵，则 .*)AB（证明：当 由公式，时 ， 这 时 00AAB，1可得 结论成立.,)() *11*（7当 由于 A 和 B 都最多只有,)(,0 EBAAB ）（时 ， 考 虑 矩 阵限个特征值，因为存在无穷多个 使 （3）0那么由上面的结论有（A( )B( )） = *)(*（4）令（A( )B( ) = （ ）A ，则有*,)(Bfnij)(*nijg)(21,(gfijij （5）由于有无穷多个 使（5）式成立，从而有无穷多个 使（5）式成立，但 都是多项式，从而（3）式对一切 都成立，特别令 =0，这时有)(,ijijgf.* )0()0()( ABBA该性质是一些题目的常考点，把求 AB 的伴随矩阵转化为求 A 的伴随矩阵和 B 的伴随矩阵的问题，可以很有效的解决问题.性质 13：如果矩阵 A 可逆，令 为它的特征值， 是 A 的属于 的特征向量，则 的特征值是 , 是 的属于 的特征向量.*A1*1证明： 由于 A 可逆，所以 0，由于 A = ，左边乘以 得， A =*，故 = .*1性质 14：若 A 为 n 阶方阵且矩阵的行列式不为零，那么 可表示为 A 的多项式*形式.证明：A 的特征多项式是 因为 A 可逆，所以.)( 011aLafnn由哈密顿-凯莱定理知 即.0)1(0an ,0)(Af11EnnaLann)(1210右乘 ,*A得8*1210 )( AEaLAann 故 .)()1121*Ann该性质把 A 的伴随矩阵转化为 A 的多项式形式，这是求 A 的伴随矩阵的简单有效方法.3.伴随矩阵性质的应用例 1 设 .*11* )()(,3021 AAA的 伴 随 矩 阵 ， 则 求是解 ： 由性质 1， 因为 本题 所.),1*11*1E有 （ ，6A以 . 2103630261)*A（此题是求 A 的逆矩阵的伴随矩阵，若用伴随矩阵的定义求解则太复杂，可用性质 1 方便简捷的求出.例 2 若 .1,01求 ，解 ： 1011* AAA.12*1得 ，由 性 质此题比较常见，求 A 的逆矩阵问题，可以根据性质 2 的公式求出.例 3 已知 3 阶矩阵 A 的逆矩阵为 试求伴随矩阵 的逆矩阵.,31 *A9解： ， ,由性质 3 得， ,所312A1025)(*1A *1*)()(A以 .05)(1*此题把求 A 的伴随矩阵的逆矩阵问题转化为求 A 的逆矩阵的伴随矩阵问题，这样根据性质3 可以很容易的得出.例 4 若 .*,52031则 求解 ： .166,4)( 2*3 AA得 ，由 性 质例 5 已知 A= .*),201A求 （解： ， = ,由性质 10 知 =,A201*)A（.40213例 6 若已知 A = .* *2,10）求 （ A解 ： 由性质 11 可直接得 .404)(*2*此题考查的是数与矩阵的乘积的伴随矩阵问题，用性质 10 可以很方便的得出.例 7 设 A 为三阶矩阵，A 的特征值为 1，5，7.试求行列式 .EA2*解 ： 因为 = 由性质 13 知， 的特征值分别为 35,7,5.于是,3751*10的特征值为 35-2=33,7-2=5,5-2=3.故 .EA2* 49532*EA例 8 求矩阵 A 的伴随矩阵 .*A= .20134解 :矩阵 A 的特征多项式为： = ,因)(f 25423AE所以 A 可逆，由性质 14 知 = . ,020a )54()123*A13086本题是利用矩阵 A 的特征多项式求伴随矩阵问题，用伴随矩阵的定义求解太麻烦，用性质 14