信号与系统复习题

1.3 信号的基函数表示法,信号的表示方法,1、抽象符号：f(t)、x(t) 2、图形表示： 3、解析表达式：f1(t)=Asint，f2(t)=u(t) 4、统一的形式：用一组基本的时间函数的线性组合,基函数,需要解决的问题： (1)选择最佳基函数集n(t) (2)确定相应的系数an 函数之间具有正交性、系数具有终结性,1.4 正交函数,一、正交矢量,当两个矢量A1、A2相互垂直时，称A1、A2为正交矢量,总结,（1）平面上的任何一个矢量都可以用一个二维正交矢量集的分量组合来表示。 （2）三维空间中的任何矢量都可以用一个三维正交矢量集来表示。 （3）n维空间同理。,正交矢量之间相互不包含分量,二、正交函数,类似于正交矢量，正交函数之间相互也不包含分量，即分量的系数为0。数学表示为：,则f1，f2在区间(t1，t2)内正交 若不满足上式，则说明f1(t)包含f2(t)的分量,三、正交函数集,若在区间(t1，t2)内满足如下条件，则称此函数集为正交函数集,类似于矢量的表示方法，任意一个函数f(t)在区间(t1，t2)内可以用这n个正交函数的线性组合来近似表示：,信号的基函数表示方法,四、完备正交函数集,常用的完备正交函数集： 1、三角函数集,2、复指数函数集,第二章 傅里叶变换 Fourier Transform-FT,2.1 周期信号的频谱分析傅里叶级数 2.2 典型周期信号的频谱 2.3 非周期信号的频谱分析傅里叶变换 2.4 典型非周期信号的频谱 2.5 傅里叶变换的性质 2.6 周期信号的傅里叶变换 2.7 抽样信号的频谱 2.8 已调信号的频谱,频域,2.1 周期信号的频谱分析 傅里叶级数(Fourier Series),一、三角形式的傅里叶级数,在区间(t0，t0+T1)内，三角函数集组成正交函数集，周期为T1（其中T1=2/1）的周期函数f(t)，可以由这些三角函数的线性组合来表示，称为f(t)的三角傅里叶级数展开：,其中三角函数集满足如下关系：,周期函数应满足如下条件：狄利赫莱条件,(2)在一周期内，函数的极大值和极小值的数目是有限个,(1)在一周期内，信号绝对可积，,(3)在一周期内，间断点的数目是有限个,各傅里叶级数的系数：,傅里叶级数的意义： 1、函数在一个周期的平均值等于信号的直流分量,2、n从1到，即f(t)由无穷多的正弦信号叠加而成 a1cos1t+b1sin1t合成一频率为 1的正弦分量基波分量， 1称为基波角频率（基频）；ancosn1t+bnsinn1t合成一频率为n1的正弦分量n次谐波分量，n1称为n次谐波角频率 3、在一定的时间间隔内，任意一个信号都可以表示为一直流分量和无限多个谐波分量之和,幅度和相位,幅频：幅度随频率的变化而变化； 相频：相位随频率的变化而变化,例1：把方波信号展开为三角形式的傅里叶级数,所以，该方波信号在一个周期内的傅里叶级数展开为：,n取奇数，说明该方波信号只含有奇次谐波,实际中，不可能取到无限多项，当只取有限项时，得到为近似的结果，所取项数越多，近似的程度越高，误差越小。,有限项傅里叶级数的近似结果：,跃变变成了渐变，由于跃变由高频信号产生，当N取有限值时，去掉了信号中的高频成分，因此跃变消失。,幅度为1的地方出现了振荡，称为Gibbs现象，N越大， Gibbs现象越小，但不能消除。,二、指数傅里叶级数,指数函数集完备正交函数集,周期为T1（其中T1=2/1）的周期函数f(t)在区间(t0，t0+T1)内，可以由这些指数函数的线性组合来表示，称为f(t)的指数傅里叶级数展开：,指数傅里叶级数的系数：,利用欧拉公式从三角傅里叶级数导出,两系数之间的关系：,三、函数波形的对称性与傅里叶系数的关系,1、偶函数 f(t)=f(-t) 信号波形关于纵轴对称,因此，偶函数的傅里叶级数中不包含正弦项，只含有直流项和余弦项,2、奇函数 f(t)=-f(-t) 信号波形关于原点对称,因此，奇函数的傅里叶级数中不包含直流项和余弦项，只含有正弦项,3、奇谐函数,f(t)= -f(t T/2) 半周期反对称,奇谐函数的傅里叶级数中不包含直流分量和偶次谐波分量，只含有奇次谐波分量,4、偶谐函数,f(t)=f(tT/2) 半周期对称,偶谐函数的傅里叶级数中只含有偶次谐波分量,利用函数的对称性可以简化计算，可以适当移动坐标轴使函数具有对称性 任意信号可以分解为：f(t)=1/2fodd(t)+feven(t) fodd(t)=1/2f(t)+f(-t)， feven(t)=1/2f(t)-f(-t),作业：2-4（2）、2-5（1）、2-7,2.2 典型周期信号的频谱,一、周期矩形脉冲信号,各项系数分别为：,所以，周期矩形脉冲信号的三角傅里叶级数为：,由此可得：周期矩形脉冲信号的直流分量、基波和各次谐波分量的幅度：,将各分量的幅度在频率轴的相应位置上标示出来，即得信号的幅度频谱图。,周期矩形脉冲的频谱(1)：,将幅度频谱和相位频谱合在一起。,将n随n的变化而变化的结果在图形上表示出来，即得信号的相位频谱图。,将周期矩形脉冲信号展开为指数傅里叶级数为：,周期矩形脉冲的频谱(2)：,若按指数级数的复系数画出频谱，则谱线在原点两侧对称分布，谱线长度为幅度的一半。,周期矩形脉冲频谱的特点：,1、频谱是离散的，谱线间的间隔为1 2、谱线的幅度包络线按抽样函数Sa(n1/2)的规律变化，在为2/的整数倍处是包络线的过零点。 3、谱线幅度呈收敛状，主要能量集中在第一过零点以内。=02 /范围称为信号的占有频带，B= 2 / 信号频宽与时宽成反比！ 4、当T不变时， 1=2 /T不变，频谱的间隔不变， 减小时，各分量的幅值减小， 2 /值增加，包络线第一过零点右移，信号频宽增大；当 不变时，包络线第一过零点位置不变，T增大，各分量的幅值减小，基波频率减小，频谱变密。 5、频谱中的负频率只是数学运算需要，无物理意义,二、周期锯齿脉冲信号的频谱,其傅里叶级数系数为：,周期锯齿脉冲信号的频谱图：,周期锯齿脉冲信号为奇函数，其频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以1/n的规律收敛。,三、周期三角脉冲信号的频谱,其傅里叶级数系数：,周期三角脉冲信号的频谱图：,周期三角脉冲信号为偶函数，其频谱只包含直流、基波和奇次谐波频率分量，谐波的幅度以1/n2的规律收敛。,四、周期半波余弦信号的频谱,其傅里叶级数展开为：,周期半波余弦信号为偶函数，其频谱只包含直流、基波和偶次谐波频率分量，谐波的幅度以1/n2的规律收敛。,五、周期全波余弦信号的频谱,全波余弦信号为：,其波形为：,这是一个偶函数，周期为T0=T/2， 0=2/T0=21；若以余弦信号的周期T为参数，即为一个偶谐函数,周期全波余弦信号的频谱：,以全波余弦信号参数0表示，其傅里叶级数展开为：,周期全波余弦信号的频谱包含直流分量，0的基波和各次谐波分量。,以余弦信号参数1表示，其傅里叶级数展开为：,周期全波余弦信号的频谱包含直流分量，及1的偶次谐波分量。谐波的幅度以1/n2的规律收敛。,作业：2-2、,2.3 非周期信号的频谱分析傅里叶变换,周期信号和非周期信号的关系：,1、傅里叶级数用来分析周期信号的频谱，若分析非周期信号，则要利用傅里叶变换。 2、当周期信号的周期T时，周期信号则转化为非周期信号；将有限时间信号以其宽度T进行周期延拓，则转化为周期信号。 3、当T时，谱线的间隔1=2/T10；此时离散频谱变成了连续谱；即非周期信号的频谱是连续的。 4、当T时，信号各频率分量的幅度An0，但由于信号的总能量不变，因此各分量的振幅相对间仍有差别，频谱密度函数用来描述这种差别。,推导：,F()具有单位频带的频谱值，称为函数f(t)频谱密度函数,如何用频谱密度函数F()表示时间函数f(t)？,傅里叶变换对：,三角函数形式：,总结：,非周期信号包含了从0到的所有频率分量，任一能量有限信号在各频率点上的分量幅度趋于无穷小。,2.,2.4 典型非周期信号的频谱,一、矩形脉冲信号,由傅里叶变换得频谱函数为：,幅度频谱和相位频谱分别为：,幅度频谱是偶函数，相位频谱是奇函数，实际的频谱图只用 0的部分。,频谱图：,非周期单脉冲的频谱图与周期矩形脉冲的离散频谱包络线形状完全相同，都具有抽样函数的形状，都具有收敛性，信号的绝大部分能量集中在低频段。,二、单边指数信号,由傅里叶变换得频谱函数为：,幅度频谱和相位频谱分别为：,实部和虚部分别为：,三、双边指数信号（实偶信号）,由傅里叶变换得频谱函数为：,幅度频谱和相位频谱分别为：,实偶信号的频谱只含有实部（偶函数），虚部为0,四、双边奇指数（实奇信号）,由傅里叶变换得频谱函数为：,幅度频谱和相位频谱分别为：,实奇信号的频谱只含有虚部（奇函数），实部为0,五、钟型脉冲信号（高斯脉冲）,由傅里叶变换得频谱函数为：,幅度频谱和相位频谱分别为：,奇异信号的傅里叶变换,一、单位冲激信号,含有无穷多的频率成分，每种频率成分的幅度均为1,信号的时宽与频宽成反比,二、单位阶跃信号,不能直接应用公式计算：,借助单边指数信号间接计算：,所以，单位阶跃信号的频谱为：,单位阶跃信号的频谱有一冲激函数，因为单位阶跃信号中包含一直流分量,三、直流信号,类似阶跃信号，借助双边指数信号间接计算：,四、符号函数,类似阶跃信号，借助双边奇指数信号间接计算：,2.5 傅里叶变换的性质,一、线性,线性特性的两个含义： 齐次性（均匀性）：常数系数 可加性,二、奇偶虚实性,1、当f(t)是实函数时，,a、当f(t)是实偶函数时， f(t)=f(-t),b、当f(t)是实奇函数时， f(t)=-f(-t),2、当f(t)是虚函数时，f(t)=jg(t),三、时移特性,意义：,信号在时域中平移，信号本身波形不变； 频域中幅度不变，每种频率成分的强度不变，相位发生变化因此，信号的幅度频谱由信号的波形形状决定，与信号在时间轴上出现的位置无关；信号的相位频谱则由信号的波形形状和信号在时间轴上出现的位置共同决定,四、频移特性,意义：,f(t)cos 0t表示一个低频信号将高频载波信号调制， 低频信号的频谱被搬移到高频部分，向左和向右 各平移0，且幅度减小一半,例：求矩形调幅信号f(t)=G(t)cos0t的频谱函数,门函数（矩形脉冲）G(t)的频谱为：,根据频移特性得：,五、尺度变换特性（展缩特性）,当a1时，信号在时域中压缩，在频域中扩展； 当a1时，信号在时域中扩展，在频域中压缩。 当a=-1时，f(-t)F(-)，信号在时域中反折， 在频域中频谱也反折,六、对称特性,例：矩形脉冲的频谱为抽样函数，抽样函数的频谱为矩形函数；直流信号的频谱为冲激函数，冲激信号的频谱为常数（直流信号）,例,作业：2-12、2-13(1)(2)、2-14(1)(3)(5)(7)、2-15(b),七、微分特性,例：求如图所示梯形脉冲的傅里叶变换,对梯形脉冲求导得高度为E/(b-a)的正负两个矩形脉冲,对矩形脉冲求导得强度为E/(b-a)的正负四个冲激函数,九、卷积定理,八、积分特性,应用：利用(t)的频谱计算u(t)的频谱。 u(t)等于(t)的积分,例：求如图所示截平斜坡信号的频谱,2.6 周期信号的傅里叶变换,一、正弦、余弦信号的傅里叶变换,目的：周期信号的频谱用傅里叶级数表示，非周期信号的频谱用傅里叶变换表示，为了把周期信号和非周期信号的分析方法统一起来，用傅里叶变换来表示周期信号的频谱,二、周期信号的傅里叶变换,则周期信号的傅里叶变换由一些冲激函数组成，这些冲激函数位于信号的谐波频率（0， 1， 2， ）处，每个冲激的强度等于f(t)的指数傅里叶级数的系数cn的2倍,例1：求周期单位冲激序列的傅里叶级数与傅里叶变换,周期冲激序列以T(t)表示，T为周期，即：,将T(t)展开成傅里叶级数：,对T(t)进行傅里叶变换得：,周期信号的FS与FT的区别：,1、两者之间相差一个常数2，但不影响频谱本身的性质； 2、FS中Cn表示每个频率分量的幅度，FT中为冲激信号的强度 3、FS以n为变量，n是离散的，取整数值；FT以为变量，是连续的，但只在1的整数倍有量值,周期冲激序列的应用： 1、形成周期信号,2、形成抽样（离散）信号,例2：求周期矩形脉冲信号f(t)的傅里叶级数和傅里叶变换,f(t)的傅里叶系数Cn为：,f(t)的傅里叶变换为：,2.7 抽样信号的频谱,抽样,利用抽样脉冲序列p(t)，从连续信号f(t)中抽取一系列的离散样值，得到离散的抽样信号fs(t),用离散的抽样信号fs(t)替换连续信号f(t)所要解决的问题： 1、抽样信号fs(t)的傅里叶变换是什么？ 2、抽样信号的傅里叶变换和连续信号的傅里叶变换有什么关系？ 3、从抽样信号无失真的恢复出原信号，要满足什么条件？,一、抽样信号的频谱,以上表明，连续信号经抽样后，其频谱由Fs()由连续信号的频谱F()以抽样脉冲的频率s为间隔周期重复（周期延拓）得到。cn取决于抽样脉冲序列的形状 时域周期频域离散；时域离散频域周期,1、冲激序列抽样“理想抽样”,若抽样脉冲p(t)为周期冲激序列，,其傅里叶系数cn为：,此时， 抽样信号的频谱F()以抽样脉冲的角频率s为周期等幅重复。,例,2、矩形脉冲抽样,若抽样脉冲p(t)为周期矩形脉冲，其傅里叶系数cn为：,此时， 抽样信号的频谱F()以抽样脉冲的角频率s为周期重复的过程中幅度以 的规律变化。,例,二、抽样定理,一个频带有限的信号f(t)，如果其频谱只占据-m+m的范围，则信号f(t)可以用时间间隔Ts小于(等于)1/2fm的抽样唯一地确定。 即：对于频带有限的信号，当抽样频率大于信号最高频率的两倍时(s2m)，抽样后能恢复原信号,实际信号是有限时间信号，频谱一定是无限的。抽样后频谱必然产生混叠,最低允许的抽样率fs=2fm称为奈奎斯特(Nyquist)频率，最大允许的抽样间隔Ts=1/2fm称为奈奎斯特间隔,例,作业：2-18、20、21(2)(4),2.8 已调信号的频谱,信号的调制,调制的原因 （1）声音、图像等信号的频率很低，所需发射天线的尺寸不可行； （2）发射低频信号，会造成相互干扰，无法接收； （3）调制的过程能将每一个信号的频谱搬移到互不重叠的频率范围，使得一个信道中可以传输多个信号信道的“频分多路复用”；,频谱的搬移,调制：由低频信号（调制信号）控制一个高频振荡（载波信